對(duì)奇異p(x)-Laplace方程正解存在性定理的應(yīng)用

張曉麗

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

對(duì)奇異p(x)-Laplace方程正解存在性定理的應(yīng)用

張曉麗

（赤峰學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，內(nèi)蒙古 赤峰 024000）

本文應(yīng)用文獻(xiàn)[1]中的主要結(jié)果,即p(x)-Laplace方程正解的存在性定理給出了一些結(jié)論及證明.

解的存在性；p(x)-Laplace算子；上下解

1 預(yù)備知識(shí)

定理 1.1[1]如果(A1)和(A3)成立，問(wèn)題（1）在空間W1,p(x)

（?。?A2)成立并且

或

（ⅱ）(A4)成立，

則問(wèn)題（1）存在一個(gè)位于有序區(qū)間[u,u]中的解.

其中的問(wèn)題(1)是如下的奇異p(x)-Laplace方程Dirichlet問(wèn)題

這里Ω是RN上的一有界C2域，N≥3，p算子 Δp(x)u=-div(|▽u|p(x)-2▽u)是所謂的p(x)-Laplace算子，f是Ω×(0, +∞)上的Caratheodory函數(shù)，滿足

(A1)a0(x)≤f(x,t)≤a1(x)t-γ(x),(x,t)∈Ω×(0,t0),這里a0(x)，a1(x)是可測(cè)函數(shù)，并且a1(x)≥a0(x)>0，γ(x)>0，t0>0，γ(x)∈C(Ω).

注 滿足上述條件的f(x,t)在t=0點(diǎn)可能出現(xiàn)奇性.

除上述兩個(gè)條件外，本文主要結(jié)果還用到假設(shè)(A3)存在一屬于的非負(fù)函數(shù)φ滿足其中r(x)＜p*(x)，并且代表一個(gè)一般的正常數(shù).

定理1.2[2]如果f滿足條件這里則泛函Φ在W01,p(x)(Ω)存在全局最小值u，并且u是問(wèn)題的弱解.

定義1.3[3]u∈W01,p(x)(Ω)稱為問(wèn)題(2.1.1)的下解(resp.上解)，如果u滿足

2 本文的主要結(jié)論及證明

定理2.1 如果條件 (A1),(A2),(A3)成立,并且存在一個(gè)t1>t0，使得f(x,t1)≤0,x∈Ω.則（1）存在一個(gè)解小于等于t1.

存在一個(gè)解t1.

由于

所以有t1≥u.

故由上式和條件(A1),f(x,t1)≤0,可以得到如下的不等式

所以t1是問(wèn)題（1）的一個(gè)上解,并且t1∈L∞(Ω).又條件(A1),(A2),(A3)成立,所以依據(jù)定理1.1可以得到問(wèn)題（1）的一個(gè)解u≤t1.

定理2.2 如果條件(A1),(A2),(A3)成立,并且

其中B為常數(shù),1≤β＜p-，則問(wèn)題（1）存在一個(gè)解.

存在一個(gè)解u由于

故由上式和條件(A1)，(2)可以得到如下的不等式

記這就是p(x)-Laplace方程的第一特征值.我們知道，如果p(x)恒等于常數(shù)p,則第一特征值為正，并且第一特征值為正對(duì)于研究p-Laplace問(wèn)題是十分重要的，然而對(duì)于一般的函數(shù)p(x)，第一特征值一般是等于0的.只有在極為特殊的情況下，第一特征值為正.在以下的討論中我們假設(shè)：存在一個(gè)向量l∈RN{0}使得對(duì)于任意的x∈Ω，f(t)=p(x+tl)對(duì)t∈Ix={t|x+tl∈Ω}是單調(diào)的.

定理2.3 如果條件(A1),(A2),(A3)成立，并且

對(duì)某一個(gè)0≤λ＜λ1成立，則問(wèn)題（1）存在一個(gè)解.

證明 設(shè)

則有如下不等式成立

所以有下面的不等式成立

因?yàn)?/p>

即存在一個(gè)常數(shù)C滿足

所以

所以

因?yàn)棣耍鸡?,p->1，所以當(dāng)||u||→∞時(shí),Φ(u)→∞又由于Φ是弱下半連續(xù)的,所以泛函Φ在空間W01,p(x)(Ω)存在全局最小值點(diǎn)即

存在解u.所以由條件(A1)可以得到如下的不等式

故依據(jù)上式,(3)式和條件(A1)有如下的不等式成立

面定理1.1可以得到問(wèn)題(1)存在一個(gè)解.

定理2.4 如果條件(A1),(A2),(A3)成立，并且存在t1≥t0,使得

Caratheodory函數(shù)，滿足

這里

并且在一個(gè)正測(cè)度集上有

成立，則問(wèn)題（1）有一個(gè)解.

證明 取h∈C(T,[0,1])，使得當(dāng)t≤t1時(shí)，h(t)=1；存在t2，使得當(dāng)t≥t2>t1時(shí)，h(t)=0,并且令

只需證明具有

的泛函Φ是有下界的而且為強(qiáng)制的.

我們有當(dāng)t≥t2時(shí)，所以有

所以有如下的不等式成立

所以

所以依據(jù)(5)知Φ有下界.下證Φ是強(qiáng)制的.

假設(shè)Φ不是強(qiáng)制的，即

但

則子列

在W01,p(x)(Ω)中弱收斂于u?.因?yàn)?/p>

則

所以依據(jù)(6)和Fatou's lemma有

與假設(shè)矛盾，所以Φ是強(qiáng)制的.

〔1〕張曉麗.奇異p(x)-Laplace方程正解的存在性[J].赤峰學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2014.

〔2〕Qingzeng song,Existence of Solutions for Singular Quasilinear Elliptic Equation[D].

〔3〕Fan,X.L,On the sub-supersolution method for p(x)-Laplacian equations,J.Math.Anal.Appl.(2006),doi:10.1016/j. jmaa.2006.07.093.

〔4〕郭大鈞.非線性泛函分析(第二版)[M].山東：山東科學(xué)技術(shù)出版社，2001.

O175

A

1673-260X（2017）06-0010-03

2017-03-04