鑲嵌正方格子上鐵磁Ising模型的相變

尹訓(xùn)昌

(安慶師范大學(xué),安徽 安慶 246011)

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鑲嵌正方格子上鐵磁Ising模型的相變

尹訓(xùn)昌

(安慶師范大學(xué),安徽 安慶 246011)

應(yīng)用等效變換的方法，把鑲嵌正方格子鐵磁Ising模型轉(zhuǎn)化為可求解的正方格子。采用重整化群變換，得到了正方格子上Ising模型的臨界點(diǎn)。通過(guò)得到的兩個(gè)變換關(guān)系，求得鑲嵌正方晶格上Ising模型的臨界點(diǎn)為K*=0.405。

相變；Ising模型；重整化群

0 引言

相變是自然界中廣泛存在著的一種現(xiàn)象，它是凝聚態(tài)物理范圍中的一個(gè)研究熱點(diǎn)。1944年，Onsager通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到了二維正方晶格上Ising模型的嚴(yán)格解[1]，此后相變的研究一直得到人們的重視[2-7]。Ising模型是一種最簡(jiǎn)單的自旋模型，它的自旋只能取±1兩個(gè)值，可以模擬自然界中鐵磁材料的相變，研究Ising模型的相變具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文研究的鑲嵌正方格子是典型的平移對(duì)稱晶格，與典型的正方晶格相比較，更加貼近自然界中的真實(shí)系統(tǒng)。研究利用等效變換和鍵移重整化群的方法，討論鑲嵌正方格子上Ising模型的相變。

在正方晶格上，在每個(gè)頂點(diǎn)上各放置一個(gè)自旋，再把一個(gè)自旋放在每個(gè)邊長(zhǎng)的中點(diǎn)上，把中點(diǎn)的自旋格點(diǎn)連接起來(lái)，通過(guò)恰當(dāng)?shù)呐帕芯托纬闪髓偳墩礁褡?，如圖1所示。

分析可知，該格子可以分成單元A和單元B兩個(gè)部分。為了簡(jiǎn)便，在單元A中我們假設(shè)只有近鄰相互作用，則此部分上Ising模型的有效哈密頓量為

(1)

其中，K表示約化的近鄰相互作用參數(shù)，它只能取±1兩個(gè)值。本文所研究的是K>0的鐵磁Ising系統(tǒng)。

1 等效變換過(guò)程

圖2表示等效變換的過(guò)程。單元A等效變換前的近鄰相互作用用K表示，L表示變換后的近鄰相互作用。由表達(dá)式(1)，可以得到單元A的哈密頓量

HA=H1+H2

(2)

其中

H1=K(sas1+sbs1+sbs2+scs2+scs3+sds3+sds4+sas4),

H2=K(s1s2+s2s3+s3s4+s4s1),

應(yīng)用等效變換，約去內(nèi)部中點(diǎn)上的4個(gè)自旋si(i=1,2,3,4)，此過(guò)程表示為

(3)

上式中Q是一個(gè)積分常數(shù)，等效變換后的哈密頓量用H′表示。

(4)

其中

(5)

(5)式為等效變換關(guān)系。

通過(guò)等效變換過(guò)程，單元A系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為熟知的可以求解的正方形格子。分析得知，單元B也相應(yīng)地轉(zhuǎn)化成正方形格子，本文所研究的鐵磁Ising系統(tǒng)就變成正方形格子上的鐵磁Ising模型的相變問(wèn)題。

2 正方形格子上的鐵磁Ising模型

正方格子上鐵磁Ising模型重整化群過(guò)程如圖3所示。令相互作用參數(shù)和鍵一起移動(dòng)，用鍵移動(dòng)的數(shù)目形象地描述相互作用的大小，即相互作用參數(shù)與鍵的數(shù)目成正比。分析可知，圖3(Ⅰ)通過(guò)鍵的移動(dòng)后變成圖3(Ⅱ)，它的哈密頓量的表達(dá)式為

H=3L(sas1+s1s2+s2sb)

(6)

消去內(nèi)部格點(diǎn)自旋變量后圖3(Ⅱ)變?yōu)閳D3(Ⅲ)，系統(tǒng)的哈密頓量為

(7)

采用與上面相同的方法，可以得出重整化群的遞推關(guān)系為

(8)

由遞推關(guān)系(8)，得正方格子上鐵磁Ising模型模型的相變點(diǎn)為

L*=0.2406

(9)

3 結(jié)論

應(yīng)用上面的結(jié)果，把表達(dá)式(9)代入式(5)，得到了鑲嵌正方格子上鐵磁Ising模型，模型的相應(yīng)點(diǎn)為K*=0.405。先通過(guò)等效變換方法，把本文所討論的系統(tǒng)變成正方格子系統(tǒng)，然后應(yīng)用格點(diǎn)消約重整化群得到正方格子上鐵磁Ising系統(tǒng)的遞推關(guān)系，通過(guò)兩個(gè)遞推關(guān)系，得到討論系統(tǒng)的相變點(diǎn)。由結(jié)果知，本文所研究系統(tǒng)的相變點(diǎn)和單純的正方格子的Ising系統(tǒng)有明顯的不同。

[1] Onsager L.Crystal statistics.I.A two-dimensional model with an order disorder transition[J].Phys.Rev.,1944,(65):117-149.

[2] Gefen Y,Mandelbrot B,Aharony A.Critical phenomena on fractal lattices[J].Phys.Rev.Lett.,1980,(45):855-858.

[3] Li S,Yang Z R.Real-space renormalization-group study of the phase transition in a Gaussian model of fractals[J].Phys.Rev.E,1997,55(6):6656-6660.

[4] Kong X M,Lin Z Q,Zhu J Y.Critical behavior of the Gaussian model on fractal lattices in external magnetic field[J].Sci.China A,2000,43(7):767-779.

[5] 孫春峰.鉆石分形晶格上Ising模型的配分函數(shù)與關(guān)聯(lián)函數(shù)[J].物理學(xué)報(bào),2005,54(8):3768-3773.

[6] 尹訓(xùn)昌,劉萬(wàn)芳,祝祖送,等.Sierpinski地毯上S4模型的臨界特性[J].物理學(xué)報(bào),2015,64(1):235-239.

[7] 尹訓(xùn)昌,劉萬(wàn)芳,趙玉杰,等.嵌套正方格子上反鐵磁高斯模型的相變[J].原子與分子物理學(xué)報(bào),2016,(1):153-155.

The Phase Transition of Ferromagnet Ising Modelon Square Decorated Lattice

YINXun-chang

(AnqingNormalUniversity,Anqing246011,China)

Using the equivalent transformation technique, the ferromagnet Ising model on square decorated lattice is translated into the solvable square lattice. Then according to the renormalization group (RG), it deduces the critical pointK*=0.405 of Ising model on square lattice. Combining two recursion relations obtained in this paper, the critical point of Ising model on square decorated lattice is given.

phase transition; Ising model; renormalization-group

2017-01-08

安徽省自然科學(xué)基金(AQKJ2014B019)

尹訓(xùn)昌(1979-),男,碩士,安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院副教授，研究方向：凝聚態(tài)物理。

O414.13

A

1674-3229(2017)02-0023-02