淺談高考解析幾何中的最值問(wèn)題

劉漢軍　杜洽鋒

高考解析幾何中的最值問(wèn)題，以直線(xiàn)或圓錐曲線(xiàn)為背景，綜合函數(shù)、不等式、三角等知識(shí)，所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，對(duì)解題能力考查的層次要求較高，因而這類(lèi)最值問(wèn)題已成為歷年高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)和難點(diǎn).考生在解答該類(lèi)問(wèn)題時(shí)，常常表現(xiàn)為無(wú)從下手，或者半途而廢.筆者認(rèn)為解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于：通觀全局，設(shè)量建模，選法求最.下面，我通過(guò)具體例題把這類(lèi)問(wèn)題常用的解法簡(jiǎn)要梳理，供大家參考，批評(píng)指正.

一、利用定義法求最值

【例1】（2009四川）已知直線(xiàn)和直線(xiàn)，拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)和直線(xiàn)的距離之和的最小值是（ ）

解析：答案，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，將點(diǎn)到直線(xiàn)的距離轉(zhuǎn)化為的距離，問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，求得值為2.

【點(diǎn)評(píng)】在解決解析幾何相關(guān)最值問(wèn)題的選擇或填空題時(shí)，要緊扣圓錐曲線(xiàn)的定義，利用轉(zhuǎn)化思想快速求解.

二、利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)法求最值

在解析幾何最值問(wèn)題中，我們常常根據(jù)題意設(shè)置適當(dāng)?shù)淖兞?，?gòu)造所求問(wèn)題的函數(shù)模型，并利用函數(shù)的性質(zhì)或?qū)?shù)來(lái)解決最值問(wèn)題.

【例2】（2015浙江）已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求面積的最大值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

解析：（1）由題意知：，可設(shè)直線(xiàn)的方程為

所以當(dāng)時(shí)，由最大值，即面積的最大值為.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解析幾何中的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系以及函數(shù)的最值問(wèn)題。根據(jù)對(duì)稱(chēng)性設(shè)出直線(xiàn)的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，這是高考中解析幾何解答題的常規(guī)解題套路.求面積最大值時(shí)，引入變量，簡(jiǎn)化計(jì)算，得到面積關(guān)于的表達(dá)式，將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

【例3】（2014浙江）已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線(xiàn)上，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，.

（1）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求面積的最大值.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系以及拋物線(xiàn)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，涉及到函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸于轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.將面積的表達(dá)式得出后，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題，根據(jù)函數(shù)的特征恰當(dāng)選用導(dǎo)數(shù)的方法求解最值，也體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決解析幾何問(wèn)題的思想.

三、利用基本不等式法求最值

【例4】（2014四川）已知橢圓：的焦距為4，其短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，為直線(xiàn)上任意一點(diǎn)，過(guò)作的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn).①證明：平分線(xiàn)段（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；②當(dāng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).

解析：（1）（過(guò)程略） （2）①（證明過(guò)程略）

所以當(dāng)最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3，1）或（-3，-1）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性比較強(qiáng)。通過(guò)引入變量，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用距離公式和弦長(zhǎng)公式分別表示出，進(jìn)而得到關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合式子特征，簡(jiǎn)單變形，利用基本不等式輕松求解.

四、利用三角代換法求最值

【例5】（2008江蘇）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.

解析：由題可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，其中.

因此

所以當(dāng)時(shí)，取最大值2.

【點(diǎn)評(píng)】在解析幾何中，尤其是涉及有關(guān)圓或橢圓的最值問(wèn)題，可根據(jù)圓或橢圓的參數(shù)方程，利用三角代換的方法解決相關(guān)最值問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題還可以根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)學(xué)結(jié)合的思想求解.