化零為整系統(tǒng)思考

【摘要】函數(shù)是數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一.本節(jié)課通過一個(gè)問題的四次追問，建立各類函數(shù)模型，引導(dǎo)學(xué)生把點(diǎn)狀、零散的函數(shù)知識(shí)整體化、系統(tǒng)化，使之形成較為完整的知識(shí)和能力體系，從而深刻體會(huì)知識(shí)之間緊密的內(nèi)在聯(lián)系，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)模型；整體建構(gòu)；系統(tǒng)思考

1背景

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是研究運(yùn)動(dòng)變化的有效數(shù)學(xué)工具，是促進(jìn)數(shù)與式、方程、不等式之間更和諧統(tǒng)一的利器.然而，由于函數(shù)概念的高度抽象性，使得學(xué)生的認(rèn)知水平僅僅停留在解函數(shù)題目上，而對(duì)函數(shù)與函數(shù)之間、函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系，總是“霧里看花”，朦朦朧朧，不甚明了.為使學(xué)生能站在代數(shù)學(xué)的系統(tǒng)上，以聯(lián)系的觀點(diǎn)看函數(shù)，筆者設(shè)計(jì)了一節(jié)函數(shù)復(fù)習(xí)課，通過層層遞進(jìn)的問題串，環(huán)環(huán)相扣的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)中系統(tǒng)思考并構(gòu)筑數(shù)學(xué)知識(shí)體系，獲得思維和能力的發(fā)展.

2教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.內(nèi)容

復(fù)習(xí)人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》第四冊(cè)“第19章：一次函數(shù)”、第五冊(cè)“第22章：二次函數(shù)”及第六冊(cè)“第26章：反比例函數(shù)”的函數(shù)概念、性質(zhì).

2.內(nèi)容解析

函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型.函數(shù)概念的出現(xiàn)是客觀實(shí)際需要，也是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要.初中階段的函數(shù)知識(shí)主要分布在八、九年級(jí)，其類型有正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)和簡(jiǎn)單的二次函數(shù).要使學(xué)生真正理解函數(shù)概念，掌握函數(shù)的核心內(nèi)容，就應(yīng)從運(yùn)動(dòng)變化的角度對(duì)客觀事物進(jìn)行數(shù)量化研究.為此，函數(shù)的學(xué)習(xí)，不僅要關(guān)注知識(shí)內(nèi)容，即了解函數(shù)解析式，掌握函數(shù)圖象和性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決一些生活和其他學(xué)科中的問題，更應(yīng)注重促進(jìn)學(xué)生對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解和函數(shù)之間內(nèi)在的聯(lián)系，函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系，以及在教學(xué)過程中提煉并應(yīng)用探究未知函數(shù)的一般思路，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打好扎實(shí)的基礎(chǔ).

基于以上分析，可以確定本課的教學(xué)重點(diǎn)是：建立函數(shù)知識(shí)樹，溝通函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

（二）目標(biāo)及目標(biāo)解析

1.目標(biāo)

①通過函數(shù)知識(shí)的回顧與思考，進(jìn)一步掌握函數(shù)及各類函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).

②結(jié)合具體實(shí)例，經(jīng)歷完整的函數(shù)建模過程和探究函數(shù)圖象、性質(zhì)的過程，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想和建模思想.

③通過合作學(xué)習(xí)建立函數(shù)知識(shí)樹，培養(yǎng)學(xué)生的整理、歸納、抽象能力，學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看函數(shù).

2.目標(biāo)解析

目標(biāo)①的要求是：學(xué)生熟練掌握函數(shù)及各類函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，能準(zhǔn)確區(qū)別各類函數(shù).

目標(biāo)②的要求是：以探索簡(jiǎn)單實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律為背景，學(xué)生再次經(jīng)歷“建立函數(shù)模型表示變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，討論函數(shù)模型，解決實(shí)際問題”的過程，掌握研究函數(shù)知識(shí)的一般方法，體會(huì)到蘊(yùn)涵其中的數(shù)形結(jié)合、建模等數(shù)學(xué)思想方法.

目標(biāo)③的要求是：學(xué)生通過建立函數(shù)知識(shí)樹加深對(duì)各類函數(shù)的認(rèn)識(shí)，感受知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系，能構(gòu)建和發(fā)展相互聯(lián)系的知識(shí)體系，能把方程、不等式與函數(shù)聯(lián)系起來.

（三）教學(xué)問題診斷分析

由于教材的編排，各類函數(shù)知識(shí)相對(duì)獨(dú)立，學(xué)生學(xué)得比較零散，且缺乏系統(tǒng)性，難以用聯(lián)系的觀點(diǎn)看各類函數(shù)的關(guān)系，并真正理解函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系，再加以構(gòu)建知識(shí)體系.又函數(shù)的學(xué)習(xí)需要學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的眼光，把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的函數(shù)圖象結(jié)合起來認(rèn)識(shí)、分析并解決問題，抽象性較強(qiáng)，這對(duì)學(xué)生而言有一定的難度.因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)函數(shù)觀點(diǎn)的統(tǒng)率作用，感受函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系，并從運(yùn)動(dòng)變化的角度建立函數(shù)模型，提高綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

基于以上分析，可以確定本課的教學(xué)難點(diǎn)是：從聯(lián)系的角度感受函數(shù)的統(tǒng)率作用，并用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問題.

（四）教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

問題1：為慶祝元旦，學(xué)校決定在門口設(shè)計(jì)一個(gè)矩形花壇來增添節(jié)日氛圍.已知矩形花壇的一邊長(zhǎng)是3 m，你能幫著提供設(shè)計(jì)方案嗎？有幾種方案？

追問1：若設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)是x m，面積為y m2，則y與x之間有怎樣的關(guān)系？

追問2：若設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)是x m，周長(zhǎng)為y m，則y與x之間有怎樣的關(guān)系？

追問3：若要求矩形的面積為18 m2 ，設(shè)矩形的兩邊長(zhǎng)分別是x m，y m，則y與x之間又有怎樣的關(guān)系？

追問4：若設(shè)矩形的另一邊長(zhǎng)為x m，原來的邊長(zhǎng)增加x m，現(xiàn)在的面積為y m2，則y與x之間有怎樣的關(guān)系？

師生活動(dòng)：教師用電腦展示，學(xué)生觀察，并回答問題.教師在黑板上板書：y=3x，y=2x+6，y=18x，y=x2+3x.

設(shè)計(jì)意圖從學(xué)生熟悉的實(shí)際問題出發(fā)，提出問題，激發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，并為建立函數(shù)模型，復(fù)習(xí)函數(shù)概念做好準(zhǔn)備.

2.觀察抽象，建立模型

問題2：這四個(gè)式子中，變量y與x之間具有怎樣的共同特征？

追問1：也就是說，變量y與x之間具有什么關(guān)系？

追問2：什么叫函數(shù)？

追問3：函數(shù)的核心內(nèi)容是什么？

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察、思考，復(fù)習(xí)回憶函數(shù)的概念：一般地，在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x與y，如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù).其核心內(nèi)容：y隨著x的變化而變化，當(dāng)x確定一個(gè)值時(shí)，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng).

設(shè)計(jì)意圖通過學(xué)生的觀察、思考，讓學(xué)生充分感受生活中變量之間的共同特征，進(jìn)一步理解函數(shù)的概念，體會(huì)函數(shù)概念中最基本的內(nèi)容.

3.化零為整，構(gòu)筑體系

問題3：你學(xué)習(xí)了函數(shù)的哪些知識(shí)？

追問1：函數(shù)的表示方法有哪些？

追問2：函數(shù)有哪些類型？在各類函數(shù)中，我們分別學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？請(qǐng)與同伴合作交流.

師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立思考，再小組交流后，在教師的引導(dǎo)下完成函數(shù)知識(shí)樹的構(gòu)建，教師電腦演示如下所示：

設(shè)計(jì)意圖通過獨(dú)立思考、合作交流，設(shè)置主干問題，一步步引導(dǎo)學(xué)生自主建立函數(shù)知識(shí)樹，構(gòu)建起知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，既整合零散知識(shí)，又能從整體上把握函數(shù)知識(shí)，初步完成用聯(lián)系、整體、系統(tǒng)的觀點(diǎn)看函數(shù)問題，深化對(duì)函數(shù)問題的認(rèn)識(shí).

追問3：兩個(gè)變量中，取定一個(gè)變量的值，你能求出另一個(gè)變量的值嗎？

追問4：兩個(gè)變量中，給出一個(gè)變量的取值范圍，你又能解決什么問題呢？

師生活動(dòng)：學(xué)生思考后回答，教師結(jié)合黑板上的解析式進(jìn)行說明，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)函數(shù)與方程、不等式之間的聯(lián)系.

設(shè)計(jì)意圖通過追問，讓學(xué)生感受到函數(shù)與方程、不等式之間存在的密切聯(lián)系，體會(huì)到函數(shù)的統(tǒng)率作用，培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點(diǎn)看問題的意識(shí).

4.關(guān)注本質(zhì)，感受聯(lián)系

問題4：已知函數(shù)y=（k-2）xk-3，當(dāng)k為何值時(shí)，此函數(shù)是正比例函數(shù)？

變式1：當(dāng)k為何值時(shí)，此函數(shù)是反比例函數(shù)？

變式2：當(dāng)k為何值時(shí)，此函數(shù)是二次函數(shù)？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，并口答.教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正比例函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)的解析式之間的區(qū)別與聯(lián)系.

設(shè)計(jì)意圖通過一題多變，讓學(xué)生對(duì)這三類函數(shù)的解析式有了更深刻的認(rèn)識(shí)，即不同類型的函數(shù)，其自變量x的指數(shù)不同，從而使學(xué)生從“數(shù)”的角度體會(huì)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系與本質(zhì)區(qū)別，進(jìn)一步用聯(lián)系的觀點(diǎn)看函數(shù)解析式.

5.應(yīng)用知識(shí)，解決問題

問題5：若矩形的周長(zhǎng)為1，你能求出該矩形面積的最大值嗎？

追問：本問題可以歸結(jié)為哪類數(shù)學(xué)問題？如何轉(zhuǎn)化？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型中的最值問題，學(xué)生獨(dú)立完成，一生板演，教師點(diǎn)評(píng).

設(shè)計(jì)意圖借助簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧解決實(shí)際問題的基本思路：通過建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，也就是函數(shù)中的最值問題，滲透建模思想，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力.

6.探究學(xué)習(xí)，發(fā)展能力

問題6：若矩形的面積為1，則該矩形的周長(zhǎng)有無最大值或最小值？若有，最大（?。┲凳嵌嗌?？

師生活動(dòng)：通過比較、分析，由學(xué)生得出周長(zhǎng)與矩形一邊長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=2（x+1x）（x>0）.

追問1：如何探索函數(shù)y=2（x+1x）（x>0）的最值.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶以前探索函數(shù)性質(zhì)的一般方法，即畫出圖象——觀察猜想——實(shí)驗(yàn)論證的過程.

追問2：畫函數(shù)圖象的方法是什么？有哪些步驟？

師生活動(dòng)：學(xué)生回答，并完成列表、描點(diǎn)、連線整個(gè)畫圖過程，教師電腦演示.

追問3：當(dāng)x為何值時(shí)，該函數(shù)有最值？

師生活動(dòng)：讓學(xué)生觀察圖象，猜想得出當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)y=2（x+1x）（x>0）有最小值4.

追問4：你能用配方法證明你的猜想嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考后再進(jìn)行交流，在教師引導(dǎo)下完成配方的過程，教師在黑板上板書：y=2（x-1x）2+4，當(dāng)x=1x，即x=1時(shí)，函數(shù)y=2（x+1x）（x>0）有最小值4.

追問5：你能命名函數(shù)y=2（x+1x）嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試命名，教師引導(dǎo)學(xué)生從圖象的角度給出此函數(shù)是雙鉤函數(shù).

追問6：對(duì)于函數(shù)y=x+9x（x>0），當(dāng)x為何值時(shí)，該函數(shù)有最小值，最小值是多少？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)照y=2（x+1x）的配方過程，得出當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)y=x+9x（x>0）有最小值是6.

追問7：倘若是函數(shù)y=x+ax（x>0，a>0），又將如何？

師生活動(dòng)：教師提問，學(xué)生回答，容易得到：當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)y=x+ax（x>0，a>0）有最小值是2a.

設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，既是對(duì)學(xué)生建模思想的再次應(yīng)用，也是為后面學(xué)生的探索一個(gè)新函數(shù)作準(zhǔn)備.在探索新函數(shù)的最值問題中，讓學(xué)生在經(jīng)歷“實(shí)踐操作、觀察猜想、推理論證、得出結(jié)論、知識(shí)遷移”的探究學(xué)習(xí)過程中掌握研究函數(shù)的一般方法，為學(xué)生今后探究學(xué)習(xí)新知提供研究方法，真正做到授之以漁.

問題7：已知某汽車的一次運(yùn)輸成本包含以下三個(gè)部分：一是固定費(fèi)用，共360元；二是燃油費(fèi)，每千米為16元；三是折舊費(fèi)，它與路程的平方成正比，比例系數(shù)為0001.設(shè)該汽車一次運(yùn)輸?shù)穆烦虨閤千米，求當(dāng)x為多少千米時(shí)，該汽車平均每千米的運(yùn)輸成本最低？最低是多少元？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生列出運(yùn)輸成本與路程x之間的關(guān)系式，并運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)解決該問題.

設(shè)計(jì)意圖本問題是函數(shù)y=x+ax（x>0，a>0）在實(shí)際生活中的應(yīng)用，旨在提高學(xué)生實(shí)踐意識(shí)與綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.

7.歸納反思，提煉方法

問題8：對(duì)于一個(gè)未知函數(shù)，我們都是如何展開學(xué)習(xí)的？經(jīng)歷了哪些學(xué)習(xí)活動(dòng)？

師生活動(dòng)：教師與學(xué)生一起回顧問題6和問題7的解決過程，引導(dǎo)學(xué)生厘清學(xué)習(xí)函數(shù)的流程：給出解析式，下定義，畫圖象，得性質(zhì)，會(huì)應(yīng)用.

設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)出探究學(xué)習(xí)后的方法和經(jīng)驗(yàn)，理清思路、整理經(jīng)驗(yàn)，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握研究套路.

8.課堂小結(jié)，梳理歸納

教師引導(dǎo)學(xué)生參照下面問題回顧總結(jié)：

1.本節(jié)課我們復(fù)習(xí)了哪些知識(shí)？體會(huì)到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

2.通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，談?wù)勀銓?duì)初中所學(xué)的基本函數(shù)的認(rèn)識(shí).

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生回顧課堂經(jīng)歷的基礎(chǔ)上，從知識(shí)、思想方法等角度總結(jié)自己的收獲，并通過交流、分享、提升學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用聯(lián)系的觀點(diǎn)看函數(shù).

9.布置作業(yè)，獨(dú)立完成

梳理函數(shù)知識(shí)，獨(dú)立完成函數(shù)知識(shí)樹，并與同伴交流.

設(shè)計(jì)意圖通過課后獨(dú)立建立函數(shù)知識(shí)樹，完成知識(shí)的自我構(gòu)建過程，完善學(xué)生自己的知識(shí)體系.

3教后反思

本節(jié)課是在函數(shù)知識(shí)全部學(xué)完的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的一節(jié)起點(diǎn)低、探究強(qiáng)、價(jià)值高的拓展課，是對(duì)初中三年所學(xué)的函數(shù)知識(shí)作一整體梳理.整節(jié)課以問題為主線，讓學(xué)生在經(jīng)歷“初遇問題——建立模型——回顧函數(shù)——構(gòu)筑體系——衍生問題——探究新知——解決問題——提升能力”的過程中，掌握學(xué)習(xí)函數(shù)的一般思路，用聯(lián)系的觀點(diǎn)構(gòu)筑函數(shù)知識(shí)體系，體會(huì)函數(shù)是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要.

3.1從聯(lián)系角度看函數(shù)

在函數(shù)復(fù)習(xí)課中，教師通常分割為“函數(shù)及其圖象”、“一次函數(shù)”、“二次函數(shù)”、“反比例函數(shù)”進(jìn)行復(fù)習(xí)，僅僅把復(fù)習(xí)停留在函數(shù)知識(shí)的解題上，并沒有用聯(lián)系的觀點(diǎn)看函數(shù).因此，在學(xué)生的認(rèn)知中，各種類型的函數(shù)之間、函數(shù)與方程（組）、不等式之間是各個(gè)割裂的知識(shí)獨(dú)立體.為使學(xué)生能從聯(lián)系的角度看函數(shù)，系統(tǒng)思考函數(shù)與函數(shù)、函數(shù)與方程（組）、不等式之間的關(guān)系，本節(jié)課通過“設(shè)計(jì)矩形花壇”問題的四次追問，初步讓學(xué)生感知到同一個(gè)問題中，引進(jìn)適當(dāng)?shù)淖兞炕虺Ａ浚梢越⒏鞣N函數(shù)模型，從而學(xué)會(huì)從運(yùn)動(dòng)變化的角度對(duì)客觀事物進(jìn)行數(shù)量化研究，體會(huì)函數(shù)是解決實(shí)際生活問題的需要；通過學(xué)生自主、合作完成“問題3”、“問題4”，構(gòu)建函數(shù)知識(shí)樹，讓學(xué)生感受函數(shù)與函數(shù)之間、函數(shù)與方程、不等式之間的密切聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生把點(diǎn)狀、零散的函數(shù)知識(shí)整體化、系統(tǒng)化，使之形成較為完整的知識(shí)和能力體系，真正起到化零為整、系統(tǒng)思考知識(shí)體系的目的.

3.2從發(fā)展角度建函數(shù)

學(xué)習(xí)一種函數(shù)大致包括以下四個(gè)內(nèi)容：①通過具體實(shí)例認(rèn)識(shí)函數(shù)；②研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)；③探索函數(shù)與相應(yīng)方程的聯(lián)系；④利用函數(shù)解決實(shí)際問題.為使學(xué)生掌握函數(shù)的學(xué)習(xí)套路和方法，能用學(xué)過的函數(shù)的研究方法類比地學(xué)習(xí)新函數(shù)，本節(jié)課設(shè)置了“問題6”、“問題7”，讓學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)函數(shù)的一般過程：建立模型——概括概念——畫出圖象——研究性質(zhì)——實(shí)際應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)形結(jié)合地研究函數(shù)性質(zhì)，并在活動(dòng)的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的概括，使學(xué)生不僅學(xué)到函數(shù)的有關(guān)知識(shí)，而且在知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中不斷提高學(xué)習(xí)的能力，形成可遷移的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展了學(xué)生一般觀念的遷移能力和繼續(xù)學(xué)習(xí)的能力，這對(duì)今后的函數(shù)學(xué)習(xí)有著積極的促進(jìn)作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京師范大學(xué)出版社.2012.

[2]見海榮.關(guān)注學(xué)生發(fā)展，整體把握概念教學(xué)——以函數(shù)教學(xué)概念為例[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2014（10）：22-24.

作者簡(jiǎn)介徐曉紅（1977—），女，中學(xué)高級(jí)教師，主要從事教學(xué)設(shè)計(jì)及中考命題研究.