濾光片帶寬對(duì)光電效應(yīng)測(cè)量普朗克常數(shù)的影響

魏高堯，盧 忠，隋成華

(浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

濾光片帶寬對(duì)光電效應(yīng)測(cè)量普朗克常數(shù)的影響

魏高堯，盧 忠，隋成華

(浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023)

在光電效應(yīng)測(cè)量普朗克常數(shù)實(shí)驗(yàn)中，由于濾光片和固體能帶都具有一定的帶寬，對(duì)測(cè)量的精度會(huì)產(chǎn)生影響.將帶寬更窄的干涉濾光片取代帶寬較寬的色玻璃濾光片，利用零點(diǎn)法、拐點(diǎn)法和曲率法分別測(cè)得365，405，436，546，577 nm五個(gè)波長(zhǎng)光的反向遏止電壓，并應(yīng)用最小二乘法分別進(jìn)行直線擬合求出普朗克常數(shù).實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：曲率法的相對(duì)誤差較其他兩者小，且利用曲率法測(cè)得干涉濾光片的普朗克常數(shù)相對(duì)誤差為0.04%，遠(yuǎn)小于色玻璃濾光片的相對(duì)誤差(2.75%).因此利用帶寬更窄的干涉濾光片可以進(jìn)一步提高普朗克常數(shù)的測(cè)量精度，這有助于進(jìn)一步加深理解能量量子化的概念.

普朗克常數(shù)；濾光片；帶寬；精度

實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心是目前高校培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新實(shí)踐能力的重要陣地，因此實(shí)驗(yàn)教學(xué)在高校教育中占舉足輕重的地位.目前，實(shí)驗(yàn)教學(xué)主要分為傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)[1]及虛擬實(shí)驗(yàn)教學(xué).而量子理論又是近代物理學(xué)的基礎(chǔ)之一，其中的普朗克常數(shù)h對(duì)其發(fā)展起著不可估量的作用.因而如何簡(jiǎn)單、快速而又準(zhǔn)確地求出普朗克常數(shù)一直以來(lái)是一個(gè)研究熱點(diǎn).目前最常用的實(shí)驗(yàn)是光電效應(yīng)測(cè)量普朗克常數(shù)，該實(shí)驗(yàn)在眾多高校的近代物理實(shí)驗(yàn)中占據(jù)重要的地位，是各大學(xué)普遍開設(shè)的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容[2-7].利用光電效應(yīng)測(cè)量普朗克常數(shù)實(shí)驗(yàn)，主要是通過測(cè)量遏止電壓Ua與頻率ν的關(guān)系，利用最小二乘法擬合間接求出h值.然而，光電效應(yīng)測(cè)量普朗克常數(shù)實(shí)驗(yàn)也存在著眾多影響測(cè)量精度的因素，例如暗電流的影響導(dǎo)致遏止電壓難以精確測(cè)量、光源單色性不好及曲線擬合誤差等[8].如何提高測(cè)量精度一直以來(lái)也是一個(gè)研究熱點(diǎn)，周永軍等[9]利用零點(diǎn)法、拐點(diǎn)法和曲率法確定遏止電壓，普朗克常數(shù)的相對(duì)誤差低至1.60%；田凱等[10]將光源的波長(zhǎng)設(shè)計(jì)為連續(xù)可調(diào)，以此希望通過增加測(cè)試數(shù)據(jù)提高測(cè)量精度；趙加強(qiáng)等[11]用半導(dǎo)體激光器替換高壓汞燈，以此提高特定波長(zhǎng)的單色性，其測(cè)量誤差降低至0.449%.在提高光源單色性方面，由于半導(dǎo)體激光器其波長(zhǎng)是固定的，要獲得不同波長(zhǎng)的光，需要不同的激光器，這大大增加了實(shí)驗(yàn)的成本.目前通常使用的濾光片有一定的帶寬，不能很好的將所需譜線以外的其它譜線濾除；另一方面，在非絕對(duì)零度情況下，固體能帶也有一定的帶寬，兩者相互作用使測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生偏差.

因此，在不改變光源的情況下，提高濾光片的單色性是增加普朗克常數(shù)測(cè)量精度較為有效的途徑，而此方法的研究卻鮮見報(bào)道.利用窄帶寬的干涉濾光片替換寬帶寬的色玻璃濾光片，有效地減小了單色光的帶寬，通過測(cè)量遏止電壓與頻率的關(guān)系，利用最小二乘法擬合得到普朗克常數(shù)，最終將普朗克常數(shù)的測(cè)量誤差降低至0.04%.

1 實(shí)驗(yàn)原理

當(dāng)光照射在物體上時(shí)，物體以熱的形式吸收光的能量只占光能的一部分，而另一部分則被物體中某些電子所吸收轉(zhuǎn)換為電子的能量，這些電子獲得能量后便可逸出物體表面，這種現(xiàn)象稱為光電效應(yīng).實(shí)驗(yàn)表明：光電效應(yīng)是實(shí)時(shí)發(fā)生的，發(fā)射電子與光照射之間的時(shí)差小于3 ns.對(duì)于每一種金屬，只有入射光頻率ν大于一定頻率ν0才能發(fā)生光電效應(yīng)現(xiàn)象.ν0稱為“紅限”，是金屬的特性.發(fā)生光電效應(yīng)時(shí)，出射電子氣的動(dòng)能可用有限深的勢(shì)箱模型[12]分析：設(shè)金屬的溫度為T，電子發(fā)射的必要條件是電子氣的動(dòng)能Ek必須超過某臨界值，滿足

Ek≥EF+Φ

(1)

式中：EF為電子氣的費(fèi)米能量；功函數(shù)Φ為電子氣在勢(shì)箱外無(wú)窮遠(yuǎn)處的勢(shì)能E∞與EF之差.

1905年愛因斯坦提出了“光量子”假設(shè)，解釋了光電效應(yīng)現(xiàn)象，即頻率為ν的光子其能量為hν，即提出“紅限”對(duì)應(yīng)的光子能量就是金屬的功函數(shù)，即Φ=hν0.在頻率ν>ν0的光照射下，物體中的電子吸收了光子能量hν之后，一部分能量消耗于電子的逸出功Φ，另一部分則被電子吸收轉(zhuǎn)換為電子的動(dòng)能Ek,光電子動(dòng)能的最大值為

Ekm=h(ν-ν0)

(2)

索末菲自由電子氣模型[12]指出：電子氣服從費(fèi)米-狄拉克分布，在溫度為T時(shí)，在費(fèi)米能級(jí)以上的能態(tài)存在電子，因而光電子動(dòng)能最大值只有在絕對(duì)零度是嚴(yán)格成立.

光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)原理[13]示意圖如圖1所示.在光電管的A和K之間可獲得從-U到0再到+U連續(xù)變化的電壓.正常光照時(shí)，加速電位差UAK轉(zhuǎn)變?yōu)樨?fù)值時(shí)，陰極電流會(huì)急劇減少，當(dāng)加速電位差UAK減小到一定的負(fù)值時(shí)，陰極電流變?yōu)榱?，與此對(duì)應(yīng)的電位差稱為遏止電位差.這一電位差用Ua來(lái)表示.|Ua|的大小與光的強(qiáng)度無(wú)關(guān)，只是隨著照射光的頻率的增大而增大.

GD—光電管；K—光電管陰極；A—光電管陽(yáng)極；G—微電流計(jì)；V—電壓表；E—電源電動(dòng)勢(shì)；R—滑線變阻器，調(diào)節(jié)R可以得到實(shí)驗(yàn)所需要的加速電位差UAK圖1 光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of photoelectric effect experiment

Ua∝ν的關(guān)系可用愛因斯坦方程表示為

(3)

實(shí)驗(yàn)時(shí)用不同頻率的單色光(ν1，ν2，…)照射陰極，測(cè)出相對(duì)應(yīng)的遏止電位差(Ua1，Ua2，…)然后作出Ua—ν圖，由此圖的斜率即可以求出h.

以上是單色光照射，如果有一定帶寬的光照射，由于金屬能帶也具有一定的帶寬，兩者相互作用使實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生偏差.

2 儀器改進(jìn)及數(shù)據(jù)分析

光電效應(yīng)測(cè)量普朗克常數(shù)實(shí)驗(yàn)的測(cè)量裝置如圖2所示，主要包括汞燈光源、濾色片、光電管和測(cè)試儀等部件.汞燈通過濾光片過濾得到365，405，436，546，577 nm波長(zhǎng)的光.實(shí)驗(yàn)中分別采用帶寬較大的色玻璃濾光片和帶寬較窄的干涉濾光片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量遏止電壓并計(jì)算普朗克常數(shù).

1—汞燈電源；2—汞燈；3—濾色片；4—光闌；5—光電管； 6—基座；7—測(cè)試儀圖2 儀器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Instrument structure diagram

利用Ocean HR2000+光譜儀測(cè)出五個(gè)波長(zhǎng)的色玻璃濾光片和干涉濾光片的透過率，如圖3所示.圖3(a)為汞燈光譜，其光強(qiáng)主要集中在365，405，436，546，577 nm五個(gè)波長(zhǎng)處.從圖3(b～f)可以看出：干涉濾光片在五個(gè)波長(zhǎng)處的透過率高于80%，其帶寬分別為64，26，28，28，25 nm；而色玻璃濾光片在365，405，436，546 nm四個(gè)波長(zhǎng)處的透過率低于50%，且四個(gè)波長(zhǎng)處的帶寬分別為39，35，57，41 nm.因此，無(wú)論是從透過率還是從帶寬方面看，干涉濾光片都優(yōu)于色玻璃濾光片.

圖3 汞燈光譜及兩種濾光片對(duì)五個(gè)波長(zhǎng)的透過率譜Fig.3 Mercury lamp spectrum and five wavelength transmittance spectrum of two filters

遏止電壓的確定方法[9,14]有：零點(diǎn)法、拐點(diǎn)法和曲率法.用零點(diǎn)法確定遏止電壓，由于暗電流及本底電流的存在，使得測(cè)定的電壓U并不等于遏止電壓Ua，存在實(shí)驗(yàn)誤差；用拐點(diǎn)法確定遏止電壓，由于光電流被遏止的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的電壓選取隨意性較大，因此也存在誤差；用曲率法確定遏止電壓，由于I—U曲線中直線與曲線分段點(diǎn)的選用存在不確定因素，因此也會(huì)產(chǎn)生誤差，曲率法還存在數(shù)據(jù)處理繁瑣的問題.實(shí)驗(yàn)表明[14]曲率法中利用Boltzmann函數(shù)對(duì)I—U曲線進(jìn)行不分段擬合，并利用擬合函數(shù)計(jì)算光電流為零的電壓值，即遏止電壓來(lái)測(cè)定普朗克常數(shù)，不僅處理簡(jiǎn)單而且誤差也較小.筆者利用零點(diǎn)法、拐點(diǎn)法和Boltzmann函數(shù)擬合法來(lái)確定遏止電壓.

分別利用色玻璃濾光片和干涉濾光片進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別測(cè)得五個(gè)波長(zhǎng)下陰極電流與加速電位差的I—U曲線關(guān)系，零點(diǎn)法及拐點(diǎn)法確定遏止電壓可以從I—U曲線中直接得出，如表1所示.

表1 兩種濾光片測(cè)得的遏止電壓

曲率法是利用Boltzmann函數(shù)擬合，其擬合函數(shù)為

I=A2+(A1-A2)/[1+exp((U-x0)/dx)]

(4)

式中：I為陰極電流；U為加速電位差；A1，A2，x0，dx為擬合系數(shù).以436 nm波長(zhǎng)為例，色玻璃和干涉玻璃測(cè)得的I—U曲線、擬合曲線及擬合系數(shù)值如圖4(a，b)所示.根據(jù)式(4)和擬合系數(shù)可以計(jì)算出色玻璃濾光片和干涉濾光片I等于零時(shí)的U分別為-1.211，-1.189 V，即為遏止電壓.利用相同的方法，測(cè)出色玻璃濾光片和干涉濾光片其余四個(gè)波長(zhǎng)的遏止電壓，如表1所示.

圖4 436 nm色玻璃濾光片和干涉濾光片的I—U關(guān)系及擬合曲線Fig.4 I-U curves and fitting curves of 436 nm stained glass and interference filters

根據(jù)表1所列數(shù)據(jù)，分別畫出三種方法下兩種濾光片的遏止電壓與頻率的關(guān)系曲線，如圖5所示.利用最小二乘法對(duì)其進(jìn)行線性擬合，得到零點(diǎn)法、拐點(diǎn)法和曲率法的色玻璃濾光片的斜率分別為-4.014×10-15，-4.299×10-15，-4.024×10-15；干涉濾光片的斜率分別為-4.131×10-15，-4.057×10-15，-4.138×10-15.擬合的R2都大于0.99，擬合度較高.根據(jù)式(3)可計(jì)算出普朗克常數(shù)，根據(jù)普朗克常數(shù)的公認(rèn)值為6.626 068 96×10-34J·s，可計(jì)算出相對(duì)誤差，如表2所示.從表2可以看出：曲率法測(cè)得的相對(duì)誤差較其他兩者要小，其計(jì)算出的相對(duì)誤差分別為2.75%，0.04%，三種方法下干涉濾光片的相對(duì)誤差都比色玻璃濾光片的要小.因而采用帶寬更窄的干涉濾光片可以有效提高光電效應(yīng)測(cè)量普朗克常數(shù)實(shí)驗(yàn)的測(cè)量精度.

圖5 三種方法下兩種濾光片遏止電壓與頻率的關(guān)系及其擬合曲線Fig.5 Voltage-frequency of two filters and fitted curves utilizing three methods

方法名稱斜率h/(J·s)相對(duì)誤差/%零點(diǎn)法色玻璃濾光片-4．014×10-156．43043×10-342．95干涉濾光片-4．131×10-156．61786×10-340．12拐點(diǎn)法色玻璃濾光片-4．299×10-156．88727×10-343．94干涉濾光片-4．057×10-156．49943×10-341．91曲率法色玻璃濾光片-4．024×10-156．44528×10-342．72干涉濾光片-4．138×10-156．62892×10-340．04

3 結(jié) 論

在不增加實(shí)驗(yàn)復(fù)雜度的情況下，利用帶寬更窄的干涉濾光片替代色玻璃濾光片，可以有效的提高普朗克常數(shù)測(cè)量的精度，通過零點(diǎn)法、拐點(diǎn)法和曲率法分別測(cè)量遏止電壓并利用最小二乘法擬合遏止電壓與頻率的關(guān)系曲線，最終相對(duì)誤差可以降低至0.04%.通過兩種不同帶寬的濾光片測(cè)量普朗克常數(shù)，可以進(jìn)一步加深對(duì)能量量子化概念的理解.

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(責(zé)任編輯：陳石平)

Effects of filter bandwidth on measurement of Plank constant using photoelectric effect

WEI Gaoyao, LU Zhong, SUI Chenghua

(College of Science, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

In the experiment of Plank constant measurement with photoelectric effect method, the accuracy of measurement will be affected by the bandwidth of filter and solid energy band. The reverse cut-off voltages of 365, 405, 436, 546, 577 nm wavelengths are measured by using null point, turning point and curvature methods with the interference filter with narrow bandwidth in place of stained glass filter with broad bandwidth . Then the Plank constant is determined by using line fitting with least square method. The experimental results show that the relative error using curvature method is less than the other two. The relative error of Plank constant measured by curvature method using interference filter is 0.04%. It is far less than that using stained glass filter (2.75%). The interference filter with narrow bandwidth can improve the measuring accuracy of Plank constant. It can further comprehend the concept of energy quantization.

Plank constant; filter; bandwidth; accuracy

2016-10-08

國(guó)家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(11404286)；浙江省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目(jg2015029)；2015高等學(xué)校教學(xué)研究項(xiàng)目(DWJZW201523hd)

魏高堯(1962—)，男，浙江諸暨人，高級(jí)實(shí)驗(yàn)師，主要從事物理實(shí)驗(yàn)、光電子學(xué)和儀器開發(fā)等教學(xué)與科研工作，E-mail：wgy@zjut.edu.cn.

O431.2

A

1006-4303(2017)03-0342-05