基于稀疏優(yōu)化字典的圖像去噪算法

金 燕，王衛(wèi)靜

(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

基于稀疏優(yōu)化字典的圖像去噪算法

金 燕，王衛(wèi)靜

(浙江工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，浙江 杭州 310023)

稀疏表示算法是用過完備字典表示圖像信息從而去除圖像中的無用信息，達到去噪目的.KSVD字典是過完備字典中的一種，但是KSVD字典過于冗余，導(dǎo)致圖像處理過程中冗余無用的圖像信息降低算法的效率，為了提高KSVD字典的高效性和稀疏表示算法去噪能力，筆者提出了一種基于稀疏優(yōu)化字典設(shè)計的圖像去噪新算法.新算法的去噪步驟為首先運用正交匹配追蹤算法求出稀疏系數(shù)；其次運用迭代算法用稀疏系數(shù)對初始DCT字典進行更新學(xué)習(xí)，在迭代的過程中逐漸去除噪聲，得到去噪后的圖像.仿真結(jié)果表明：與DCT字典算法、Global字典算法以及原有的KSVD字典算法進行對比，新方法的系數(shù)矩陣更加稀疏，去噪效果較好.

噪聲；稀疏算法；正交匹配追蹤；字典學(xué)習(xí)

噪聲會導(dǎo)致信息判斷出錯，去除圖像噪聲成為研究的熱點.圖像去噪意義重大，在工業(yè)、交通安防領(lǐng)域以及醫(yī)學(xué)中應(yīng)用廣泛[1-2].現(xiàn)代生活中，由于接觸到的圖像信息非常大，對圖像的存儲內(nèi)存空間帶來嚴(yán)重負荷，有時關(guān)心的只是海量信息的一部分，噪聲中不含有有用信息，就可以對圖像進行稀疏處理，將高維信號，壓縮到低維，獲得有用信息，去除噪聲等雜余信息，即節(jié)約了空間又達到去噪的效果[3-4]，理論研究證明，對圖像的處理越稀疏，得到的有用信息越多，噪聲的去除越徹底[5].稀疏算法最關(guān)鍵的一步就是找到一個恰當(dāng)?shù)淖值浔硎驹盘?超完備字典的提出開啟了稀疏算法的先河[6]，信號在冗余的基函數(shù)集上進行分解，選擇符合圖像信號特征的基函數(shù)，可以充分表達圖像信息[7]，而且圖像信號越稀疏，恢復(fù)出的信號就越接近原信號.貪婪算法的提出更是對稀疏算法的求解問題的研究提升了一個高度，由最初的匹配追蹤算法(Matching pursuit,MP)到后來經(jīng)典的正交匹配追蹤算法(Orthogonal matching pursuit,OMP)而后是由OMP改進的其他貪婪算法，例如壓縮采樣匹配追蹤[6]、正則化正交匹配追蹤[9]、分段式正交匹配追蹤[10]和子空間追蹤等[11].

字典一般分為分析字典和學(xué)習(xí)字典，分析字典分為小波字典和DCT字典，分析字典簡單易于實現(xiàn)，但是不能精確的恢復(fù)原始信號，學(xué)習(xí)字典分為MOD字典和KSVD字典，KSVD相對于MOD噪聲的收斂速度更快[12].由于KSVD字典過于冗余，使得更新后的字典含有不必要的信息，有用圖像信息不能充分表達，筆者對KSVD字典進行改進，在稀疏表達的過程中逐漸剔除無用的信息，使得KSVD字典表達圖像信息更加充分，去噪效果更好.新方法的圖像去噪算法分為兩步，首先對圖像進行分塊處理，運用OMP對圖像求稀疏系數(shù)，利用求得的稀疏系數(shù)用改進的字典進行更新，從而恢復(fù)出較好的無噪圖像.

1 基于KSVD字典的稀疏表達去噪算法

由于DCT字典由數(shù)學(xué)變換得到，不能有效的表達圖像信息，而全局字典雖然易于實現(xiàn)，但是去噪效果不夠理想，KSVD字典能夠克服以往字典的不足，獲得較好的去噪效果.KSVD算法是字典訓(xùn)練算法，是將圖像分成若干塊，運用正交匹配追蹤算法(OMP)求出系數(shù)A，再由系數(shù)和圖像塊，根據(jù)誤差最小原則，對誤差項進行SVD分解，選擇使誤差最小的分解項作為更新的字典原子和對應(yīng)的原子系數(shù)，經(jīng)過不斷的迭代從而得到優(yōu)化的解.令f∈RN，D∈RN×K，A∈RK分別代表訓(xùn)練信號、字典和訓(xùn)練信號的稀疏系數(shù)向量，KSVD字典設(shè)計算法步驟可以分為兩部分。

1.1 初始化

1.2 迭代進程

使用OMP算法計算稀疏系數(shù)矩陣aj=OMP(f,dj),A={a1,a2,…,aj}，字典原子更新階段使用已經(jīng)處理好的稀疏圖像樣本fi，計算k次迭代產(chǎn)生的殘差，即

(1)

KSVD算法步驟如圖1所示.

圖1 KSVD字典算法迭代過程Fig.1 KSVD dictionary algorithm iterative process

2 優(yōu)化的稀疏算法去噪

一個信號f∈RN的稀疏表示可以用字典原子D中少量原子的線性組合來實現(xiàn)，即f≈DA滿足‖f-DA‖p≤ε，其中A∈Rk包含表示信號f的所有系數(shù)，且系數(shù)的零范數(shù)盡可能的小(通常是小于閾值).在給定字典D的情況下，求解信號f的稀疏系數(shù)是NP-hard的，一般的，用零范數(shù)表示向量的稀疏度，可以進一步建立稀疏模型，即

(2)

其中T1表示稀疏表達系數(shù)中非零分量的數(shù)目的上限，系數(shù)中非零元素越少，信號越稀疏.

DCT字典算法和Global字典算法不能根據(jù)圖像自身的特點自適應(yīng)的進行學(xué)習(xí)，而KSVD字典原子過于冗余，導(dǎo)致在求解字典過程中，冗余信息反復(fù)迭代，造成字典中不必要的空間浪費，圖像有用信息表達不完整，去噪效果欠佳.新方法既能自適應(yīng)的學(xué)習(xí)圖像信息，保證非凸的時候?qū)ο∈柚械牧阍剡M行標(biāo)記，同時又能保證系數(shù)矩陣的完整性.由于KSVD算法將達到閾值要求的殘差運用奇異值分解得到更新的字典原子，這種計算方法，是將所有與原子相對應(yīng)的系數(shù)矩陣進行了遍歷，將過程復(fù)雜化，不利于更加稀疏的表達圖像.

新方法定義一個限制因子p右乘殘差，即

(3)

更新字典原子的目的是用來移除無關(guān)列，既能避免和系數(shù)矩陣中的零矩陣相乘，簡化復(fù)雜度，提高系數(shù)的稀疏度，又能將圖像的去噪效果有所提高.矩陣p的行數(shù)和殘差的列數(shù)相對應(yīng)，稀疏系數(shù)等于零的位置標(biāo)記為1，這樣做只標(biāo)記了非零元素，能大大的提高訓(xùn)練的收斂速度.

更新字典的一個原子為

(4)

將殘差進行奇異值分解得dj←U0，aj←Λ0V0；對字典進行標(biāo)準(zhǔn)化處理，?k，dj←dj/‖dj‖2；計算Gram矩陣，互相干性反映了字典原子之間的相干程度，相干系數(shù)越小，字典原子間的相干程度越小，稀疏表達信號越精確；字典原子間的相關(guān)程度采用Gram矩陣G=DTD，可以增加字典原子表達圖像的效率.最終得到的字典為

D′=((βfAT)+β(1/λmaxλmin)D)+D

(5)

其中：0≤β≤1；f為待處理的圖像塊；A為系數(shù)矩陣；λmax,λmin分別為將初始字典進行奇異值，分解得到φ0=U0Λ0V0,λmax=λ1，λmin=λm.

最終圖像由公式得

(6)

其中：I為N階矩陣，它的所有元素為1；Rij是從圖像f中提取的圖像塊；λ=30/σ.

新方法的流程圖如2所示.

圖2 算法流程圖Fig.2 The algorithm flow chart

新方法首先對輸入的圖像進行分塊處理，設(shè)置DCT字典為初始字典，固定圖像塊和字典，運用正交匹配追蹤算法計算稀疏系數(shù)，固定圖像塊和稀疏系數(shù)，運用奇異值分解對字典原子進行更新，遍歷所有的圖像塊，最終得到無噪的圖像.

新方法運用殘差右乘標(biāo)記矩陣，對系數(shù)中的非零元素進行標(biāo)記，同時保證系數(shù)的完整性和稀疏性.奇異值分解的時候，采用隨機序列，每迭代一次，更新一個原子，將原子歸一化處理.迭代完成后將得到的字典進行奇異值分解，得到對角矩陣的最大和最小的特征值，將得到的特征值代入式(5)得到優(yōu)化的字典，該字典比KSVD字典表達圖像信息更加完善.

3 仿真分析

由于正交匹配追蹤(OMP)算法收斂性好，優(yōu)化字典高效簡潔，新方法運用OMP和優(yōu)化字典進行迭代，并做了詳細的仿真實驗，并分別與DCT字典算法[13]、Global字典算法[14-15]和KSVD字典算法[16-17]進行了對比.其中DCT字典和Global字典為標(biāo)準(zhǔn)正交基字典，運用高斯隨機矩陣進行圖像的初始化計算；KSVD字典和新方法設(shè)置DCT字典為初始字典，圖3(b)為新方法訓(xùn)練出的新字典，該字典對信號有著良好的分解能力.新方法的仿真實驗結(jié)果如圖4，5所示，其中(a)為原始無噪圖像，(b)為噪聲強度為15的含噪圖像，(c)為新方法去噪算法去噪后圖像.峰值信噪比是常見的衡量圖像去噪效果的指標(biāo)，新方法以峰值信噪比作為衡量指標(biāo)說明圖像去噪效果的優(yōu)劣，公式為

(7)

圖5 新方法對噪聲為15的house處理結(jié)果Fig.5 The results of house processing for 15 noise are presented in this paper

圖像去噪算法的研究意義重大，應(yīng)用廣泛[18].稀疏去噪算法為當(dāng)前去噪效果較好的去噪算法之一，筆者在前人研究的基礎(chǔ)上，提出的KSVD算法的改良算法并用實驗證明其高效性.表1分別列出了不同噪聲強度下，DCT字典、全局字典、KSVD字典以及新算法的去噪效果對比，可以看出更新后的字典表達圖像信息更加完備.圖6為算法去噪效果對比圖，圖7列舉出了KSVD字典和新方法迭代次數(shù)與所耗時間的對比圖.

表1 稀疏算法仿真結(jié)果的峰值信噪比

Table 1 The peak signal to noise ratio of the simulation results of sparse algorithm

σ/PSNR峰值信噪比/dbDCTGlobalKSVD新方法5/33．9837．7637．9137．9738．0210/28．1534．1434．5134．6334．7215/24．5832．3032．7332．9633．6220/22．2130．3930．8731．2631．1525/20．2229．4830．0130．3029．7730/18．6628．2328．7828．8928．66

圖6 新方法與經(jīng)典方法的比較Fig.6 Comparison between the classical method and the method of this paper

圖7 KSVD與新方法消耗時間隨迭代次數(shù)的對比Fig.7 Comparison of KSVD and new method consumption time with iteration number

基于這四種構(gòu)造字典的稀疏表達去噪算法對圖像的處理結(jié)果較原圖的圖像質(zhì)量有了較大的提高，其中新算法和KSVD算法效果較好.新算法在一定噪聲強度下，去噪效果優(yōu)于，DCT、全局以及KSVD算法，新方法在噪聲水平10～20時，效果更佳，從客觀數(shù)據(jù)可以看出這兩種算法所處理的圖像結(jié)果都比較清晰.而DCT字典和全局字典的效果欠缺，處理效果沒有前兩種效果好，圖7可以看出KSVD算法和新方法復(fù)雜度相當(dāng).

4 結(jié) 論

稀疏表達去噪算法是近幾年去噪效果比較好的算法之一，稀疏表達最為關(guān)鍵的兩步是字典的設(shè)計和算法的實現(xiàn).筆者在KSVD字典的基礎(chǔ)上，提出了一種優(yōu)化字典設(shè)計，優(yōu)化字典能夠更有效的表達圖像信息，結(jié)合正交匹配追蹤算法，有利的解決了稀疏系數(shù)的求解問題.新方法只需要對圖像的有用信息進行處理，在得到去噪后圖像的同時，能很好地簡化了圖像處理的復(fù)雜度.在算法的實現(xiàn)方面，新方法在保證能夠遍歷所有圖像信息的基礎(chǔ)上，引入限制因子，在字典迭代更新的過程中，去除圖像中無用信息，較大提高了字典迭代的效率，實驗結(jié)果中，新方法可以進一步提高了圖像的信噪比，去噪效果明顯.

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(責(zé)任編輯：劉 巖)

Image denoising algorithm based on sparse optimization dictionary

JIN Yan, WANG Weijing

(College of Information Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

Sparse representation algorithm uses over complete dictionary to represent the image information to remove unwanted information in the image and achieve the purpose of denoising. KSVD dictionary is a kind of over complete dictionary, but the KSVD dictionary is too redundant, which reduces the efficiency because of the reduction and useless image information of the KSVD dictionary algorithm in image processing. In order to improve the efficiency of KSVD dictionary and the denoising ability of sparse representation, a new kind of denoising algorithm based on sparse optimization dictionary is proposed. In this algorithm, the orthogonal matching pursuit algorithm is used to calculate sparse coefficient firstly, then, the iterative algorithm with sparse coefficient is used to update learning initial DCT dictionary.The noise in the process of iteration is removed and the de-noised image is gained. The simulation results reveals that compared to sparse iterative algorithm of DCT, Global and KSVD dictionary, the coefficient matrix in this algorithm is more sparse and has higher signal-to-noise ratio (SNR).

noise; sparse algorithm; orthogonal matching pursuit; dictionary learning

2016-10-26

浙江省自然科學(xué)基金資助項目(LY17F010015)

金 燕(1964—)，女，浙江紹興人，副教授，研究方向為圖像處理，自動化檢測和控制，嵌入式系統(tǒng)研究與應(yīng)用，E-mail:jy@zjut.edu.cn.

TP391.41

A

1006-4303(2017)03-0320-05