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    關(guān)注學生現(xiàn)實 構(gòu)建“自然”的教學
    ——人教版八年級下冊“15.3分式方程”教學實錄及思考

    2017-06-26 10:59:58浙江寧波市四眼碶中學潘小梅
    中學數(shù)學雜志 2017年12期
    關(guān)鍵詞:公分母單項式分式

    ☉浙江寧波市四眼碶中學 潘小梅

    關(guān)注學生現(xiàn)實 構(gòu)建“自然”的教學
    ——人教版八年級下冊“15.3分式方程”教學實錄及思考

    ☉浙江寧波市四眼碶中學 潘小梅

    2016年12月,浙江省寧波市特級教師、名師團隊與廣西師范大學舉行了教學聯(lián)誼活動,筆者受命在廣西桂林漓江中學執(zhí)教人教版八年級上冊“15.3分式方程(第1課時)”,現(xiàn)撰文將本課的備課過程及教學思考與各位分享.

    一、備課過程的思考

    由于筆者平時使用的教材是浙教版系列教材,對人教版的教材內(nèi)容編排體系較為陌生,所以備課之前反復研讀了人教版教材中關(guān)于該課的內(nèi)容編排.“分式方程”位于人教版八年級下冊第15章,本章先介紹分式及其運算,再介紹分式方程及其應用.分式方程位于第3節(jié),第3節(jié)共分3課時,先介紹分式方程及其解法,然后介紹分式方程在實際生活中的運用,在課后的配套練習中還涉及含字母系數(shù)的分式方程.筆者根據(jù)內(nèi)容體系的分析,首先確定第1課時的授課內(nèi)容是分式方程的概念及其解法.在確定授課內(nèi)容的基礎(chǔ)上,結(jié)合了解到學生基礎(chǔ)水平一般的實際情況,對以下問題進行了深入思考:

    思考1:本課的教學目標是什么?

    筆者認為,本課的教學目標是讓學生經(jīng)歷分式方程概念的產(chǎn)生過程,類比含分母的整式方程的解法探索分式方程的解法,掌握解分式方程的一般步驟,在解分式方程的過程中,逐步感受“化歸與轉(zhuǎn)化”的數(shù)學思想,并在問題探索與解決的過程中獲得自信與成功的體驗.

    思考2:怎樣導出“分式方程”的概念?

    概念的導出一般有兩種方式:概念的形成與概念的同化.分式方程是從現(xiàn)實生活中抽象出的一種數(shù)學模型,所以可以選擇概念形成的方式導出分式方程的概念,也就是從生活中的實際問題抽象并建立分式方程,課本就是通過本章的章前圖(流水問題)導出分式方程的概念.與此同時,由于學生之前已經(jīng)學過較多的整式方程(一元一次方程、二元一次方程),課本中先給出“分母中含有字母的方程是分式方程”,并順帶說“以前學過的方程都是整式方程”.筆者認為,學生剛剛在本章的前兩節(jié)學過分式的概念,也可以認為分式方程新知的生長點是分式.事實上,分式方程就是分式與分式或分式與整式之間建立等量關(guān)系.另外,學生學習分式方程解法的起點是解一元一次方程.因此,筆者選擇教學的切入點是:通過分式與整式的概念復習,由關(guān)系的建立得到分式方程,尊重了知識的邏輯關(guān)系.

    思考3:如何突破本課教學的難點?

    學生之前在解一元一次方程時所執(zhí)行的“檢驗”環(huán)節(jié)只是為了檢查自己的解答是否正確,但是對于分式方程來說,“檢驗”成為必須的環(huán)節(jié).因此,本課教學的難點是理解求解分式方程檢驗的必要性.這一點既不能強加給學生讓學生識記,也不能過度解釋.因為對八年級學生而言,他們還不能很好地理解在方程兩邊乘同一個整式,所得到的方程與原方程并不一定是同解方程,況且也沒有必要和初中學生交流“同解理論”.所以,為了讓學生理解檢驗的必要性,可以讓學生自己在解分式方程的過程中自然地發(fā)現(xiàn),然后步步回代,發(fā)現(xiàn)解滿足整式方程但不滿足分式方程,從而發(fā)現(xiàn)問題所在.

    思考4:如何落實解分式方程的技能?

    本課的教學重點是分式方程的解法,相比于整式方程,分式方程首先要進行去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,再解整式方程得到解,最后進行檢驗.在這些過程中,去分母的關(guān)鍵是找最簡公分母,為什么要找最簡公分母?如何找最簡公分母?檢驗是代入原分式方程還是代入最簡公分母?這些具體操作技能的獲得都需要通過學生集體練習、個別展評、易錯點分析,經(jīng)驗總結(jié),幫助學生一步步掌握解分式方程的技能.另外,技能的掌握有一個從陌生到熟練的過程,需要適量的訓練.

    二、教學過程

    課堂伊始,在簡短而歡快的自我介紹開場白之后展開如下教學:

    1.分類歸位,導出概念.

    師:你能將“整式、分式、單項式、多項式”這四個概念填入合適的位置嗎?

    (在黑板上出示如圖1所示的框架)

    圖1

    生1:(1)號位置填的是“整式”,(2)號位置填的是“單項式”,(3)號位置填的是“多項式”,(4)號位置填的是“分式”.

    師:單項式和多項式的位置可以更換嗎?

    生(眾):可以.

    師:現(xiàn)在請你舉一個單項式的例子.

    生2:5.

    師:好,單獨的一個數(shù)是單項式.還有呢?

    生3:2x.

    師:很好!數(shù)和字母相乘就組成單項式.在這里,字母x能取一切實數(shù).現(xiàn)在請你舉一些多項式的例子.

    生4:x-6.

    師:舉了一個只含有一個字母x的多項式,還有呢?

    生5:4x+3y.

    師:好!含有2個字母的多項式.這些單項式、多項式統(tǒng)稱為整式.現(xiàn)在請你舉一些分式的例子.

    師:像這些分母中含有字母的式子,我們都稱它們?yōu)榉质?分式中的字母能取所有的實數(shù)嗎?

    生7:不能!

    師:現(xiàn)在,老師選一個整式中的單項式5和一個多項式x-6,提出這樣一個問題:“多項式x-6的值等于5”,你能把這句話翻譯成一個數(shù)學式子嗎?

    生8:x-6=5.

    師:怎樣稱呼這個式子?

    生9:方程.

    師:確切地說,它是一個什么方程?

    生10:一元一次方程.(師板書)

    師:這里字母x的取值還是任意的嗎?

    生11:不是!

    師:它是一個確定的數(shù),只是這個數(shù)暫時還不知道,我們稱它為未知數(shù).現(xiàn)在,如果要構(gòu)造一個二元一次方程,你會選哪兩個式子?

    生12:5,4x+3y,構(gòu)成二元一次方程4x+3y=5.

    師:我也選了兩個整式.我們把這些左、右兩邊都是整式的方程稱為整式方程.那么,你能提出一個怎樣的問題,也構(gòu)造一個方程呢?生13:分式的值是5,構(gòu)造出方程:

    師:能否給這些方程取一個名字?

    生15:分式方程.

    師:今天我們一起來學習分式方程.(師板書課題)

    【教學說明】本教學片段先讓學生整理“單項式、多項式、整式、分式”四個概念的關(guān)系并舉例,既讓學生回顧梳理這些概念,同時讓學生類比“整式方程是對整式之間建立等量關(guān)系”來提出問題,從而引出分式方程.

    2.厘清關(guān)系,鞏固概念.

    師:能說說什么叫分式方程嗎?

    生16:分式與整式相等,或者分式與分式相等,就得到分式方程.

    師:確實,分式方程就是對分式與整式或分式與分式之間建立等量關(guān)系.那么,從結(jié)果的“樣子”看,你可以更簡潔地定義分式方程嗎?不妨模仿一下分式的概念.(屏幕上出示分式的概念:分母中含有字母的式子叫作分式)

    生17:分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程.

    師:現(xiàn)在,請大家看如下的問題:

    下列方程中,哪些屬于整式方程?哪些屬于分式方程?

    生18:第(1)個方程是整式方程,第(2)個方程是分式方程.

    師:怎樣由第(1)個方程得到第(2)個方程?

    生19:把左邊、右邊分別取倒數(shù).

    師:“倒一倒”,就從一個整式方程變成了一個分式方程!

    生20:第(3)個方程是整式方程,第(4)個方程是分式方程.

    師:怎樣由第(4)個方程得到第(3)個方程?

    生21:方程(4)乘以x去掉分母以后就得到方程(3).

    師:不錯!去掉分母,分式方程就得到整式方程!

    生22:(5)是二元一次方程,(6)是分式方程.

    師:方程(6)告訴我們,分式方程也可能含有2個未知數(shù).

    【教學說明】本教學片段設(shè)置了6道判斷題幫助學生鞏固分式方程的概念,根據(jù)事先對學生學習基礎(chǔ)的了解,特意設(shè)置了互相配對的3組判斷題,旨在讓學生了解“倒一倒”“等式兩邊同乘一個式子”都可以實現(xiàn)分式方程與整式方程的轉(zhuǎn)換,“無聲”地為后續(xù)分式方程的解法進行鋪墊.

    3.類比舊知,探索解法.

    師:這個主意好!我們不妨來回顧一遍.(師生合作下寫出如下的解法)

    化簡得3(x-2)=2x.

    解得x=6.

    師:為什么在方程兩邊同乘6,這個6是怎樣找到的?

    生24:6是分母的最小公倍數(shù),乘6以后,就去掉分母了!

    師:那么,如果你想知道自己解得的x=6到底是不是正確的,可以怎么辦?

    生25:代入原方程看左、右兩邊是否相等.

    當x=6時,左邊=2,右邊=2,所以x=6是原方程的解.(續(xù)前板書)

    師:那么,除了這種方法,我們還有其他的方法把分式方程化為整式方程嗎?

    生27:乘公分母x(x-2).

    去分母得到3(x-2)=2x,這樣就得到整式方程了!去分母的關(guān)鍵是找到公分母,那么如何找公分母呢?請你們試一試!

    教師依次在黑板上寫下以下方程,請學生說出公分母,并歸納最簡公分母的找法.

    師:找到最簡公分母,我們就可以根據(jù)等式的基本性質(zhì)化去分母了.下面,請大家完成以下練習:(1)(.練習來自書本)

    【教學說明】本教學片段中,學生先想到“倒一倒”的方法將分式方程變?yōu)檎椒匠?,教師順勢讓學生解整式方程并進行完整的書寫,然后讓學生類比含分母的整式方程的解法聯(lián)想如何去分母,從而引出公分母.課堂中注意到學生對公分母的找法還不夠熟練,隨手補充了練習幫助學生回顧最簡公分母的找法.

    4.做中生疑,探索解法.

    教師請一位學生上臺板書方程(2)的解題過程,學生板書如下:

    化簡得x+5=10,解得x=5.

    師:(在對完第1題答案后)我剛才巡視教室時,發(fā)現(xiàn)很多同學一直在看第(2)題,好像沒錯,好像又錯了?不知道你們是什么疑惑?

    生28:我看看每一步都沒有錯,可發(fā)現(xiàn)x=5時,原方程的分母為0,那就沒有意義了!

    師:這倒是一個奇怪的問題,原因到底出在哪里呢?我們把x=5代入“x+5=10”成立嗎?

    生29:成立!

    師:繼續(xù)往上代呢?

    生30:(x+5)(x-5)為0,分母也為0了!

    生31:(恍然大悟地)也就是說我們是對不可能相等的兩個分式乘了一個數(shù)0以后得到一個等式了.x=5是原方程的增根.

    生32:可是我們在去分母的時候怎么知道是否乘了一個值為0的數(shù)呢?

    生33:算好以后檢驗一下!

    師:對,事先不知,解完方程以后進行檢驗.你們覺得怎樣檢驗呢?

    生34:可以代入原方程看看分母是不是等于0.

    師:還有其他檢驗的方法嗎?

    生35:也可以代入最簡公分母,看看最簡公分母是不是為0.

    師:很好!最簡公分母是根據(jù)分母產(chǎn)生的,更直接!現(xiàn)在,我們來看一道完整的解分式方程題:例2:解方程:

    (師生共同確定最簡公分母,然后書寫完整的解題步驟,共同歸納解分式方程的一般步驟:化(化為整式方程)→解(解整式方程)→驗(檢驗是否為增根)→寫(寫出分式方程的解或說明無解),接著從課本練習中篩選以下兩題)

    師:方程(2)的解為x=-1.5,x=1是方程(3)的增根,方程(3)無解.是否所有的分式方程只要出現(xiàn)增根就無解了呢?我們來看之前遇到的一個方程:去分母以后得到方程的解是什么?

    生36:x=1或x=0.

    師:我們發(fā)現(xiàn)x=0是該方程的增根,但是該方程還有一個解x=1.

    【教學說明】本教學片段中,教師沒有急于告訴學生解分式方程必須進行檢驗,而是先讓學生自行解方程,在實踐的基礎(chǔ)上產(chǎn)生疑惑,再舉例幫助釋疑解惑,讓學生自然地理解解分式方程時檢驗的必要性,同時通過后續(xù)的練習幫助學生理解增根.本處通過例2強化分式方程的解題步驟,目的是幫助學生學會規(guī)范地進行書寫.

    5.梳理小結(jié),提升認識.

    師:今天,我們又認識了“方程家族”中的一名新成員:分式方程,你能否模仿式子的結(jié)構(gòu)將“整式方程、分式方程、一元一次方程、二元一次方程”放到合適的位置呢?

    (生模仿課開始的框架整理)

    師:當然,整式方程遠不止這兩種,所以,我們在后續(xù)再添上省略號.解分式方程的一般步驟是什么?

    生37:化→解→驗→寫.

    師:把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,去分母是最普遍的方法,其他的“倒一倒”等方法只適用于一些特殊的方程.這些轉(zhuǎn)化,給了你什么啟發(fā)?

    生38:解題時,我們常常把不會的轉(zhuǎn)化為會的,把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的……

    師:轉(zhuǎn)化,是我們最常用的數(shù)學思想,它無時無刻不藏在數(shù)學之中、生活之中,讓我們變得越來越聰明!

    【教學說明】出示三個問題,幫助學生梳理知識,將新知納入新舊概念體系,形成完整的知識架構(gòu),感悟轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學思想,提升認識.

    三、教后反思

    在課后的教學研討中,名師、特級教師、廣西聽課教師等眾多參與教師對本課展開深入研討和交流,充分肯定了本課設(shè)計和實施中的亮點,認為這是一節(jié)“設(shè)計精巧、過程自然”的課,筆者也從中獲得很多啟發(fā),現(xiàn)集結(jié)一些觀點及思考分享如下.

    1.教學設(shè)計尊重“學生現(xiàn)實”,推進才會自然.

    我們常說,理解數(shù)學是教好數(shù)學的前提,與此同時,對學生學習水平的理解也是有效教學的保證.關(guān)于本課的教學導入,大部分老師遵循了教材的編排,采用了實際生活問題導入,有的老師還自行編制了基于學生實際的應用題,讓學生體會分式方程是刻畫現(xiàn)實世界的重要模型,但是本課教學中,基于學生現(xiàn)實,筆者把列分式方程及其應用作為第2課時,既避免了課始就讓學生畏懼冗長的文字理解,又讓學生有更多的時間來學習分式方程的解法,收到了良好的教學效果,使得學生的學習顯得輕松、自然.

    2.思想方法教學“潤物無聲”,滲透才會自然.

    數(shù)學思想方法指的是蘊含在知識內(nèi)容中體現(xiàn)數(shù)學本質(zhì)的東西,本課中重點滲透了兩種思想方法,一是類比思想,二是化歸思想.在整個教學過程中,并沒有刻意地說出或板書這兩種思想,但卻潛移默化地滲透在各個教學過程中,如開課之初類比整式方程提出問題引出分式方程,之后類比含分母的整式方程的解法想到去分母解分式方程,到最后類比式子的分類對方程進行分類,這些數(shù)學活動讓學生感悟、體驗、運用類比的思想方法.再者,本課教學中巧妙地將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解的萌芽蘊含在整式方程和分式方程的辨別中,既以對比的形式給出整式方程和分式方程的不同特征,又讓學生在對比中感受可以通過“倒一倒”“去分母”等方式將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程,從學生的課尾感悟中可見學生已經(jīng)自然地感受到這種把陌生變?yōu)槭煜さ霓D(zhuǎn)化與化歸思想.

    3.運算教學需要“適量訓練”,技能自然形成.

    運算技能指的是按照一定的程序與步驟進行運算,運算能力主要體現(xiàn)在運算的正確、靈活、合理和簡潔,提高運算能力需要適度的訓練,實現(xiàn)從簡單到復雜、從低級到高級、從具體到抽象的螺旋上升.本課的教學目標是幫助學生學會解分式方程,從學生的課堂練習和黑板板演來看,大部分學生都已經(jīng)學會解一般的分式方程,但是由于學生參差不齊,有的學生找最簡公分母也有一定的困難,在同樣的學習容量下,需要進行課后的補習.再者,本課在時間允許的情況下,可以增加學生自己練習、互相糾錯、反饋評價等環(huán)節(jié),充分暴露學生的學習水平、學習過程等情況,以便教師教學跟進.再者,技能的形成需要一個過程,只有當學生經(jīng)歷適量的訓練之后,逐漸明晰算理,才會從模仿走向程序,通過優(yōu)化程序走向自動化.

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