待定系數(shù)法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

云南省德宏州盈江縣第一高級(jí)中學(xué) 封靈芳

待定系數(shù)法是一種基本的數(shù)學(xué)方法,也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最常用的數(shù)學(xué)方法之一。那么什么是待定系數(shù)法？高中階段的數(shù)學(xué)主要是以函數(shù)為主線來(lái)進(jìn)行學(xué)習(xí)的，因此其定義是從函數(shù)的角度給出的：一般地，在求一個(gè)函數(shù)時(shí)，如果知道這個(gè)函數(shù)的一般形式，可以先把所求函數(shù)寫(xiě)為一般形式，其中系數(shù)待定，然后再根據(jù)題設(shè)條件求出這些待定系數(shù)。這種通過(guò)求待定系數(shù)來(lái)確定變量之間關(guān)系式的方法叫做待定系數(shù)法。

待定系數(shù)法的理論依據(jù)是多項(xiàng)式恒等原理，也就是依據(jù)了多項(xiàng)式的充要條件是：對(duì)于一個(gè)任意的a值，都有f(a)=g(a)。或者兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)多項(xiàng)式中各同類項(xiàng)的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等。

待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是依據(jù)已知條件，正確列出含有未定系數(shù)的等式。運(yùn)用待定系數(shù)法，就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程組來(lái)解決，要判斷一個(gè)問(wèn)題是否用待定系數(shù)法求解，只要是看所求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題是否具有某種確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如果具有，就可以用待定系數(shù)法求解。例如分解因式、拆分分式、數(shù)列求和、求函數(shù)式、求復(fù)數(shù)、解析幾何中求曲線方程等，這些問(wèn)題都具有確定的數(shù)學(xué)表達(dá)式，所以都可以用待定系數(shù)法求解。

下面我們通過(guò)一些具體的例子來(lái)體會(huì)下待定系數(shù)法的應(yīng)用。

一、利用待定系數(shù)法進(jìn)行因式分解

例1 分解因式：。

分析：這是一個(gè)關(guān)于的四次多項(xiàng)式，由于次數(shù)相對(duì)過(guò)高，不能使用十字相乘。分組分解法又有困難。經(jīng)過(guò)驗(yàn)證由沒(méi)有有理根。但是次數(shù)是確定的，我們能夠根據(jù)次數(shù)大概猜測(cè)其因式分解以后的形式，這個(gè)時(shí)候我們可以引進(jìn)待定系數(shù)法進(jìn)行因式分解。

解：設(shè)

=

=，

比較等式兩邊的多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，列出方程組，得

解該方程，得到

所以。

評(píng)析：與這個(gè)類型題相似解題的還有解方程、解不等式。如把題目改成解方程，或者解不等式。這兩種類型的題型的做法跟本題因式分解方法相同。

二、利用待定系數(shù)法拆分分式

例2將化為部分分式之和。

分析：這類型的問(wèn)題思路基本上跟因式分解類似，首先用未知數(shù)表示化為部分分式和以后的形式，展開(kāi)后，根據(jù)分子、分母的多項(xiàng)式分別相等可列出含有未知數(shù)的方程組，解方程組，代入所設(shè)的部分和即可得結(jié)果。

解：

由于

則可設(shè)則

由相等的多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)相等可列出方程組

解以上方程組得,故

。

三、利用待定系數(shù)法求解曲線方程

例3已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為。一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上已于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF1和PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A，B和C，D。求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（2010年山東高考）。

分析：要用待定系數(shù)法求解解析式，首先要知道函數(shù)解析式的形式，然后用字母表示出解析式。然后根據(jù)題目中給出的已知條件解出未知數(shù)，最后寫(xiě)出解析式。

解：設(shè)橢圓的半焦距為c，由題意可得：

橢圓的離心率為

根據(jù)幾何關(guān)系，可得到關(guān)系式

聯(lián)立上兩式解方程組，得

又根據(jù)關(guān)系式a2=b2+c2，可得b=2。

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。

由題意可設(shè)等軸雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，又由于等軸雙曲線的頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以有m=2。

評(píng)析：用待定系數(shù)法求解曲線方程：橢圓、雙曲線，拋物線等簡(jiǎn)單能估計(jì)其解析式形式的題型。

四、利用待定系數(shù)法求解函數(shù)式

例4是否分別存在滿足下列條件的函數(shù)f(x)：

（1）f(x)是三次函數(shù)且

（2）f'(x)是一次函數(shù)，

且。

如存在，求出f(x)的表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由。

分析：首先假設(shè)函數(shù)存在，用字母設(shè)出函數(shù)的解析式，利用已知的條件建立方程或方程組，解方程組，求出未知數(shù)，寫(xiě)出函數(shù)解析式。

解：（1）設(shè)，則。

由題意可建立方程式，得

解以上方程組，得

故存在滿足f(x)條件的的函數(shù)存在，表達(dá)式為。

（2）假設(shè)f(x)存在，由是一次函數(shù)可知f(x)是二次函數(shù)，故可設(shè)，則。

將f(x)和代入已知條件，得

整理得

由等式兩邊各項(xiàng)系數(shù)相等，可建立方程組

解以上方程組可得

所以滿足條件f(x)的存在，表達(dá)式為。

評(píng)析：利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化。

五、利用待定系數(shù)法求數(shù)列通項(xiàng)公式

例5已知數(shù)列{an}中，a1=1，，設(shè)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式（2010高考全國(guó)卷一）。

分析：利用待定系數(shù)法求數(shù)列的解析式，首先把某些已知條件轉(zhuǎn)化成我們熟知的簡(jiǎn)單的數(shù)列的形式，比如等差數(shù)列、等比數(shù)列等，用字母表示，然后根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)，解出未知數(shù)，即可得結(jié)果。

解：，

則，

即（1）。

則可設(shè)，即。通過(guò)與（1）式比較，可解得。則。

又有a1=1，故。

故是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列，即。

則。

評(píng)析：對(duì)an+1=can+b(n)，當(dāng)c=1時(shí)，若{bn}為等差數(shù)列an+1-an=bn，則，則只需要要用疊加法即可求解。

對(duì)an+1=can+b(n)，當(dāng)c≠1且c≠0時(shí)，若b(n)為等差數(shù)列，則可設(shè)b(n)=xn+y，那么可設(shè)，即

通過(guò)所設(shè)的式子與原式的對(duì)比可設(shè)方程組

解方程組得

故數(shù)列為等差數(shù)列。

最后可以根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及題目給出的條件求出數(shù)列的通項(xiàng)式。

教學(xué)本身是一門(mén)藝術(shù)，教師要喚起學(xué)生的興趣，點(diǎn)燃學(xué)生智慧的火花，使學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新能力得到發(fā)展。