非齊次樹上m重非齊次馬氏信源的Shannon-McMillan定理

金少華，劉嬌，李小雪，于海榮

（河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401）

非齊次樹上m重非齊次馬氏信源的Shannon-McMillan定理

金少華，劉嬌，李小雪，于海榮

（河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院，天津300401）

樹指標(biāo)隨機過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.強極限定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一.本文利用相對熵密度和隨機條件熵的概念，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助非負鞅，將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究給出了非齊次樹上m重非齊次馬氏信源的一類Shannon-McMillan定理.

非齊次樹；鞅；Shannon-McMillan定理；馬氏信源；概率空間

0 引言

樹模型近年來已引起物理學(xué)、概率論及信息論界的廣泛興趣.樹指標(biāo)馬爾科夫鏈場的出現(xiàn)和發(fā)展具有重大的實際意義，一方面它給統(tǒng)計物理提供了嚴格的數(shù)學(xué)工具，另一方面它也大大擴充了概率論的研究領(lǐng)域[1].關(guān)于樹上馬爾可夫鏈場的早期研究見Spitzer[2]及其所引文獻.Benjamini和Peres[3]給出了樹指標(biāo)馬爾可夫鏈的定義并研究了其常返性.強極限定理一直是國際概率論界研究的中心課題之一.Penmantle證明了齊次樹上PPG不變且遍歷的隨機場的一個弱大數(shù)定律及混合性質(zhì)[4].文獻[5]研究給出了Bethe樹上非齊次馬爾科夫隨機場的一類強偏差定理.文獻[6]研究給出了關(guān)于齊次樹上漸進奇偶馬氏鏈的若干強大數(shù)定律.文獻[7]研究給出了二叉樹上非齊次分支馬氏鏈的強大數(shù)定律和熵遍歷定理.文獻[8]研究給出了樹上路徑過程的隨機路徑條件概率的強極限定理．文獻[9]研究給出了可列非齊次馬氏鏈的強極限性質(zhì).文獻[10]研究給出了一類非齊次樹上非齊次馬氏鏈的若干強偏差定理.本文首先構(gòu)造了一類非齊次樹，是對現(xiàn)有非齊次樹的推廣，然后利用相對熵密度和隨機條件熵的概念，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助非負鞅，將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究，研究給出了非齊次樹上m重非齊次馬氏信源的一類Shannon-McMillan定理.

1 基本概念

在上述定義下，則樹T上的非齊次馬爾科夫鏈的聯(lián)合分布為

定義3設(shè)

2 Shannon-McMillan定理

由式（10）與式（13），有

由式（19）與式（20）有

又由式（9），有

于是由式（8）與式（21），有

從而定理1證畢.

證在定理1中取0<α<1，則有

所以式（11）成立.由式（12）即得式（23）成立.

[1]陳木法.隨機場概論[J].數(shù)學(xué)進展，1989，18（3）：294-322.

[2]Spitzer F.Markov random fields on an infinite trees[J].Ann Probab，1975，3：387-398.

[3]Benjamini I，Peres Y.Markov chains index by trees[J].Ann Probab，1994，22：219-243.

[4]Penmantle R.Automorphism invariant measure on trees[J].Ann Probab，1992，20：1549-1566.

[5]Yang W G.A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree[J].Stochastic Analysis and Applications，2012，30（2）：220-237.

[6]Yang Weiguo，Zhao Yang，Pan Heng.Strong laws of large numbers for asymptotic even-odd Markov chains indexed by a homogeneous tree[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2014，410（1）：179-189.

[7]Dang Hui，Yang Weiguo，Shi Zhiyan.The Strong Law of Large Numbers and the Entropy Ergodic Theorem for Nonhomogeneous Bifurcating Markov Chains Indexed by a Binary Tree[J].IEEE Trans Inf Theory，2015，61（4）：1640-1648.

[8]韓大釗，石志巖，楊衛(wèi)國．樹上路徑過程的隨機路徑條件概率的強極限定理[J]．?dāng)?shù)學(xué)雜志，2015，35（2）：462-468.

[9]張泓知，郝瑞麗，葉中行，等.可列非齊次馬氏鏈的強極限性質(zhì)[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計，2016，32（1）：62-68.

[10]金少華，趙靜，賀雅萍.一類非齊次樹上非齊次馬氏鏈的若干強偏差定理[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2016，46（18）：251-257.

[責(zé)任編輯 楊屹]

Shannon-McMillan theorem of m ordered non-homogeneous Markov information source on a non-homogeneous tree

JIN Shaohua,LIU Jiao,LI Xiaoxue,YU Hairong
（School of Sciences,Hebei University of Technology,Tianjin 300401,China）

In recent years,tree indexed stochastic process has become one of the research directions in the probability theory.The strong limit theorem has been one of the central issues of the international probability theory.In this paper,by applying the concept of the relative entropy density and the random condition entropy,and through constructing an appropriate non-negative martingale,Shannon-McMillan theorem of m ordered non-homogeneous Markov information source on a non-homogeneous tree is given.

non-homogeneous trees;martingale;Shannon-McMillan theorem;Markov information source;probability space

O211.4

A

1007-2373（2017）02-0026-06

10.14081/j.cnki.hgdxb.2017.02.005

2016-07-02

河北省高等學(xué)?？茖W(xué)技術(shù)研究重點項目（ZD2014051）；河北省高等教育教學(xué)改革研究與實踐項目（2016GJJG024）

金少華（1965-），男，教授．