初中數(shù)學教學創(chuàng)造思維的培養(yǎng)

廣東省肇慶市高要區(qū)金利鎮(zhèn)初級中學 符根全

在數(shù)學教學中，應從現(xiàn)象出發(fā)，從觀察出發(fā)，從實驗出發(fā)，充分激發(fā)學生對數(shù)學的好奇心和求知欲，循循善誘，鼓勵學生把數(shù)學的學習變成主動的、能動的和獨立的不斷生成、張揚、發(fā)展和提升的過程。鼓勵學生在自主探索、合作交流中，由“學會”向“會學”進行科學的轉化，對數(shù)學知識的反思、再創(chuàng)造，力求提高學生的“四基”，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維。

一、感受數(shù)學創(chuàng)造的思維過程

世界著名教學教育權威弗賴登塔爾提出的“再創(chuàng)造”認為，數(shù)學是最容易創(chuàng)造的一個學科，學生可以按照自己的特點重新創(chuàng)造數(shù)學知識。教學中，老師立足于學生的知識基礎和數(shù)學活動經驗，注意創(chuàng)造性地使用教材，創(chuàng)設有利于學生進行創(chuàng)造性學習的教學活動，給學生思考的機會，給學生一個自主探索的過程；創(chuàng)設有利于學生拼發(fā)潛在創(chuàng)造力火花的課堂，通過學生的觀察、思考、探究、設問、填空等方式，激活學生的思維，發(fā)展學生的聰明才智。

學習了一元二次方程的幾種解法后，為了讓學生探索發(fā)現(xiàn)一元二次方程根與系數(shù)的關系，在具備良好的數(shù)學建模前提下，對教學內容進行反思并加工、處理，培養(yǎng)學生的新思路、新想象和新發(fā)現(xiàn)，重新創(chuàng)造數(shù)學知識。

例如：對一元二次方程根與系數(shù)之間的關系研究

1.觀察與猜想

創(chuàng)設解方程填空的問題情景，并讓學生思考：從這些方程問題中發(fā)現(xiàn)了什么？如：

①

猜想是一種創(chuàng)造性的思維，是數(shù)學教學中不容忽視的重要內容。正如牛頓所言：“沒有大膽的猜想就不可能有偉大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)”。因而老師及時誘導學生在交流、答問、發(fā)疑、闡述、議論中進行思考、概括和表達自己的猜想：任意的一元二次方程仍存在以上的關系。并讓學生經歷計算、觀察、比較的過程，進而鼓勵學生推測出一些規(guī)律來。如：

一元二次方程中

“一元二次方程根與系數(shù)之間的關系”這一知識點新教材雖然未作強調，但可以激勵學生通過自主探索，通過學生與學生、學生與老師的交流與合作，通過其它途徑如查找資料等對知識進行再創(chuàng)造，突破思維的禁錮，拓展學生的思維空間。

2.探究與發(fā)現(xiàn)

數(shù)學凝聚并積淀了一代代人創(chuàng)造和智慧的結晶，我們有理由引領學生探究與發(fā)現(xiàn)數(shù)學所凝聚的這一切，引領學生領略人類的智慧與文明。論證是探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，引導學生對猜想發(fā)現(xiàn)的結論進行說理和簡單的論證，感受數(shù)學的嚴密性、邏輯性以及數(shù)學結論的確定性。

例如：證明：若x1、x2是一元二次方程的兩個根，則

在老師的指導下，學生證明了自己的猜想，再次激起他們思維的火花和創(chuàng)造的欲望，最后讓學生用自己的語言歸納出論證過的發(fā)現(xiàn)。

3.拓展與創(chuàng)新

為了讓學生在一元二次方程有關的學習中有所突破，教學中注意引導他們從已有的知識中盡可能地擴展，學會從不同的方向、不同的角度、不同的層次思考問題、提出問題，并尋求問題解決的方法，體驗數(shù)學活動的拓展與創(chuàng)新。

例如：借助一元二次方程根與系數(shù)之間的關系等有關知識，探索二次三項式的因式分解。

解：令，設其二根為x1、x2，則有

這種分解二次三項式的一般方法是求根法。其步驟是先解出方 程 ax2+b x + c = 0(a ≠0)的 兩 個實數(shù)根，然后把 a x2+ b x+ c 寫成a(x - x1)(x - x2)。這種方法，也為以后學習和研究二次函數(shù)中，利用二次函數(shù)的圖象溝通二次函數(shù)、一元二次方程和一元二次不等式三者之間的聯(lián)系，提高學生綜合運用數(shù)學知識的能力打牢基礎。在老師的啟發(fā)誘導下，學生經歷了探究性的數(shù)學研究活動，通過觀察和實驗，使知識、能力、方法等過程中創(chuàng)造得以自然建構與生成。還可以進行求根法因式分解的教學，通過觀察與實驗使學生得到訓練，實踐數(shù)學的深入探索與創(chuàng)新，實踐數(shù)學的再創(chuàng)造。

二、領悟數(shù)學創(chuàng)造的思維規(guī)律

教材中,知識的呈現(xiàn)方式是逐個單獨地展開的,學生在學習完每一個知識后,老師有意識地引導他們對逐個的單獨的知識加以歸納整理,找出它們之間的聯(lián)系和區(qū)別,讓學生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,把單獨學習的知識放在整體中認識,成為自己內化了的知識。創(chuàng)設讓新知識的發(fā)現(xiàn)和原有的知識發(fā)生聯(lián)系的氛圍，在同化和順應的相互作用下，發(fā)展和完善學生的數(shù)學認知結構。

學習了平行四邊形、菱形、矩形、正方形后，為了找出它們之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，老師不是包辦代替，而是把歸納的機會留給學生，鼓勵學生認真觀察，展開回顧和聯(lián)想，大膽猜想，在探索交流的活動中，整理出合乎學生自己的認知結構的關系圖。

例如：整理平行四邊形、菱形、矩形、正方形的關系如下：

方法（1）如下圖：

利用此圖式，直觀地從邊、或角、或對角線闡明了這四種四邊形的特殊性，如矩形的特殊性是角，菱形的特殊性是邊。只要把握住每一類圖形的主要特征，就可以推出它的其余性質；認清各類圖形的關系和區(qū)別，就可以認清它們性質的異同，從而明了可以利用每一類圖形的特殊性質作為判斷條件。

方法（2）如下圖：

利用此圖式，簡捷地闡明了這四種四邊形內涵上的關系。它按照認知過程，分別有序地展現(xiàn)出學生對這四種四邊形的主要特征的認識和把握，如對矩形的認識是：首先，它是平行四邊形；然后，它有一個角是直角（90°）；這是矩形的定義的含義。突出了它們之間的聯(lián)系和區(qū)別。

方法（3）如下圖：

此圖式，簡捷地闡明了這四種四邊形外延上的關系。矩形、菱形、正方形的集合都包含在平行四邊形集合里作為它的一部分，表示它們是特殊的平行四邊形；其中矩形和菱形各成

一個集合，表示它們是兩種不同的特殊的平行四邊形，而且這兩個集合有一部分是重疊的，這重疊部分又組成一個集合，就是正方形集合，表示正方形既是一種特殊的矩形，也是一種特殊的菱形。

因此，在知識的學習上，讓學生在自主探索、合作交流中學會從系統(tǒng)、整體的角度去學習，置知識于系統(tǒng)、整體之中，著眼于知識之間的聯(lián)系和規(guī)律，從而深入本質。

三、掌握探求數(shù)學知識創(chuàng)造的思維方法

加涅在其建立的信息加工學習理論認為，學習過程是學生把知識進行內在的認知加工的過程。教學中充分利用教材上已有的題材，恰當?shù)剡\用教學手段，激發(fā)學生的學習興趣和求知欲望，讓他們經歷和體驗數(shù)學的探索、交流和反思，以利于學生理解并掌握相關的知識與方法、形成良好的數(shù)學思維的基礎上發(fā)現(xiàn)教材以外教師未講的知識。

學習用消元法和圖象法解二元一次方程組后，學生普遍認為只要是一個二元一次方程組都可以求得其唯一解。為了幫助學生發(fā)現(xiàn)自己的認知錯誤，老師和學生一起可以進行以下的探究。

例1.二元一次方程組解的幾何意義及其情況的探究

（1）設疑

讓學生回顧二元一次方程組求解的步驟和依據(jù)：根據(jù)方程中未知數(shù)系數(shù)的特點，靈活運用代入法或加減消元法轉化為一個一元一次方程，解這個一元一次方程求出其中一個未知數(shù)的值；然后運用等量代換的技能，把這個未知數(shù)的值代入另一個方程，解這個一元一次方程求出另一個未知數(shù)的值；使學生在確信求解的步驟和依據(jù)正確的情況下激起學生的質疑和思考。

如解下列的二元一次方程組

（2）解惑

學生用消元法解方程組（A）后，照樣子去解方程組（B）和（C），但卻解不下去。面對知識的困惑，當學生用充滿期待的眼神等待老師那權威性的答案時，老師不要急于說出自己的看法，而是啟發(fā)引導他們換個角度、換個方法重新思考，把方程問題轉化為函數(shù)問題。誘導學生通過列表，描點，連線，作出函數(shù)圖象。（如下）

數(shù)形結合是中學數(shù)學階段重要的數(shù)學思想和方法，利用圖象的直觀性可以深入地考察數(shù)學對象的性質。因此，引導學生觀察分析畫出的函數(shù)圖象可以直觀地獲得問題的結果。在平面直角坐標系中，直線2x+y=4和直線2x-3y=12是兩條相交的直線（如圖1），其交點（3，2）是方程組的解；直線x+y=2和直線4x+4y=8是兩條重合的直線（如圖2），而直線2x-3y=12和直線2x-3y=3是兩條沒有交點的直線即平行線（如圖3）。學生容易把方程組C的解的情況判斷出來，而對方程組B卻無法有一個肯定的結論。這時，老師啟發(fā)引導學生在激烈的爭論中繼續(xù)進行以下的嘗試：

①在直線x+y=2中找出任意的一點（x，y），把這個點的x、y的值代入到直線4x+4y=8的等式中是否成立？

②象這樣的點有多少個？

于是學生對方程組B的解的情況困惑會迎刃而解。在這基礎上，學生進一步體會到二元一次方程與一次函數(shù)圖象之間的關系、二元一次方程組的解與函數(shù)圖象交點之間的關系，體會到數(shù)形結合的作用。

（3）互動

在課堂上，老師發(fā)揮引導者和合作者的作用，誘導學生借助先前的實例開展探究活動，進行適時的指導和點撥，師生互動交流，傾情投入。學生在探究過程中發(fā)現(xiàn)的某些結論，如果可以讓全體學生參與解決的，不要放棄機會；而對學生所發(fā)現(xiàn)的不同觀點，注意引導學生進行分析、比較，去偽存真；對創(chuàng)新答案的及時鼓勵，更激發(fā)起學生重在參與的積極性。這樣，既能讓學生張揚個性，明白要善于容納異議，又能發(fā)揮學生的合作與評估能力，對學生創(chuàng)造能力的培養(yǎng)有積極的推動和促進作用。乘著學生的這股實驗探索熱情，引導學生把實驗探索得到的感性認識上升為理性認識，最終明確了二元一次方程組的解的情況有唯一解、無數(shù)解和無解三種，可見，在教學中，老師善于由此及彼，螺旋式地引導學生去探索，去引申，不僅讓學生發(fā)現(xiàn)新知、認識新知，更重要的是讓學生深刻地認識了探求數(shù)學知識的思維方法。

數(shù)學新課程無論從數(shù)學教學的理念，還是教材的內容、教學模式、教學方法等方面，均作了全方位的改革。讓我們從每一項教學活動做起，真正把學生看成是“發(fā)展中的人”，讓他們在老師的循循誘導下，透過自主探索和合作交流，放飛思維，學會學習，學會創(chuàng)造。