由一道高考題引申
——函數構造類問題

廣東省惠州市惠東縣惠東中學 李秉權

2015年的高考時過境遷，但作為一線教師的教學研究并未終止。高考試題是命題專家組集體智慧的結晶，是今后備考復習的第一手素材，通過研究高考試題能使我們搞清命題的動向、命題的趨勢，為今后的復習教學奠定基礎。特別是廣東省剛在2016年才使用全國卷的背景下，研究近幾年的高考題意義重大。下面筆者就2015年全國II理科12題引申到構造函數類問題。從一題多解、推廣總結和變式探究方面進行研究。

一、一題多解

題目：（2015全國II卷理科12）設函數是奇函數的導函數，當x＞0時，，則使得成立的x的取值范圍是（ ）

題干中有一個條件很難理解：像這種導數函數混合不等式如何應用呢？下面筆者給出以下兩種解法。

解法1：構造抽象函數法

實際上，當我們看到這個式子的特征，不難想到求導除法法則就有類似的特征，因此我們可以構造一個分式函數，則剛好導數的分子部分就出現(xiàn)了題干中的式子。

∵當x＞0時，則當x＞0時，F(xiàn)′(x)＜ 0，即F(x )在(0 , +∞)為減函數，

即x＜0當時，函數在為增函數，且

若，則x與同號，即

∴易知時

解法2：構造具體函數法

題中為抽象函數，如果我們能構造出一個滿足題意的具體函數來求解會更簡單。

因為為奇函數，

我們可以考慮為多項式，則只能含奇次項，嘗試構造

代入題中檢驗，滿足條件，當x＞0時，

小結：本題解法一更具普遍性，屬于通法，這也給我們做這種題一個思考方向，以后只要看到這種導數（或含函數混合式子）的不等關系，就可以考慮構造新函數，而構造的時候一定要聯(lián)系函數的導數的四則運算和復合運算法則，像本題中就是求導除法法則（求導除法法則口訣分子部分：上導下不導減去下導上不導），故很容易構造，然后解題就很方便了。

二、推廣總結

同學們可能還會遇到很多類似構造函數類的題目，總結如下。

（1）利用和差函數求導法則構造

（2）利用乘除函數求導法則構造（乘法中間用“+”，減法中間用“-”）

三、變式探究

變式1、已知為R上的可導函數，且均有則有（ ）

變式2.(2011遼寧11) 函數f(x)的定義域為對任意則的解集為( )

解法1:由則由得，選B.

解法2:設在R上為增函數。由

∴x＞?1，選B.

四、結束語

在高中數學教學中，若能根據高考試題的特點一題多解教學，結合學生的實際情況進行變式教學，并推廣總結同類問題的結論，能有效的培養(yǎng)學生推理能力與知識的遷移能力和歸納總結能力，使學生從整體上把握知識的內在規(guī)律，收到“解一題，帶一片”的效果，幫助學生擺脫“題?！敝啵执龠M了學生知識能力的高效正遷移，大幅度提高復習的有效性。