再教高一我該怎么教立體幾何
——高三一節(jié)復(fù)習(xí)課的思考

北京市豐臺(tái)區(qū)東鐵營(yíng)一中 張義文

三視圖是高中立體幾何中的重要內(nèi)容。高考考查通常是給出某幾何體的三視圖求表面積或體積。對(duì)于空間想象能力較差的學(xué)生，這部分題解決起來很吃力，得分率很低。下面是高三復(fù)習(xí)時(shí)，偶然從學(xué)生處發(fā)現(xiàn)的一個(gè)方法，拿來和大家交流，探討一下這種題的訓(xùn)練方法，進(jìn)而引發(fā)對(duì)立體幾何教學(xué)的一系列思考。

上課中我講了一道北京高考經(jīng)常出現(xiàn)的題型。

例題：若某空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積是（ ）

此題涉及的幾何體是四棱錐，求該幾何體的體積很容易。但如果題目改成求表面積，就變得較難，迫切需要能根據(jù)三視圖準(zhǔn)確作出直觀圖，再利用直觀圖去求每個(gè)面的面積。由于此四棱錐的某些面不是直角三角形，更加大了題目的難度。題目的首難就是作直觀圖。畫直觀圖的時(shí)候，學(xué)生找頂點(diǎn)的位置經(jīng)常容易出錯(cuò)，尤其空間想象能力弱的同學(xué)，更難從三視圖中想象出其中的線面關(guān)系，得不到直觀圖，無法解題。

課堂中，某個(gè)同學(xué)，她的空間想象能力就很差，做不出直觀圖，即使教師把直觀圖給出來，她還是沒弄清楚四棱錐哪些面是直角三角形。她說自己只能從長(zhǎng)方體中看出線面關(guān)系。她的這句話提醒了我，也給了我了很大的教學(xué)啟發(fā)。我完全可以用長(zhǎng)方體去襯托這個(gè)四棱錐呀？于是我在此四棱錐的外面套了一個(gè)長(zhǎng)方體，這樣學(xué)生很直觀地弄清楚了其中的線面關(guān)系，也很順利求出了表面積。接著我進(jìn)一步思考，畫直觀圖是學(xué)生的難點(diǎn)，像這種由長(zhǎng)方體截得的多面體，是否可以先畫長(zhǎng)方體，然后由長(zhǎng)方體去截取，得到一個(gè)四棱錐，再去計(jì)算。我?guī)е鴮W(xué)生試著用這種方法去解決此題，結(jié)果效果非常好。

利用這個(gè)辦法一些由多面體的給定三視圖，學(xué)生就能很容易在長(zhǎng)方體中截得多面體得到直觀圖。用長(zhǎng)方體去襯托的此多面體，學(xué)生在計(jì)算面積，體積時(shí)也容易找到線面的關(guān)系，從而大大提高了計(jì)算的準(zhǔn)確度。

通過此案例說明空間想象能力是學(xué)生解決立體幾何問題的一個(gè)很重要的能力支撐，如果學(xué)生的空間想象能力強(qiáng)的話，這種題即使不用正方體去襯托，畫直觀圖也不會(huì)成為很大的問題?；诖怂伎?，我想問題的關(guān)鍵還是在高一高二學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，空間想象能力沒有培養(yǎng)起來。這讓我不得不思考重回高一時(shí)，我應(yīng)該怎樣去進(jìn)行立體幾何教學(xué)？

就目前而言，立體幾何教學(xué)的情況卻不容樂觀。學(xué)生對(duì)這部分內(nèi)容學(xué)起來相當(dāng)?shù)某粤?，在西藏援藏期間，面對(duì)立體幾何內(nèi)容，教師采取放棄的態(tài)度，而是留出時(shí)間教授其它內(nèi)容?；谶@樣的現(xiàn)狀，我想立體幾何教學(xué)一定要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，把教學(xué)的重點(diǎn)落在空間想象能力的培養(yǎng)上。

立體幾何的學(xué)習(xí)過程可以概括為三個(gè)階段。各階段教師應(yīng)采取不同的教學(xué)方法教學(xué)，重在學(xué)生空間想象能力的培養(yǎng)。

第一階段是認(rèn)識(shí)空間幾何體，抽象直觀圖。這一階段要讓學(xué)生從空間和實(shí)物模型中認(rèn)識(shí)幾何體，思考空間點(diǎn)，線，面之間的關(guān)系。學(xué)生首先要突破空間障礙，建立空間觀念，盡快從二維空間上升到三維空間。教科書把空間幾何體放在第一部分，目的就是讓學(xué)生盡快建立這種空間想象能力，在教學(xué)中一定要讓學(xué)生多觀察模型的結(jié)構(gòu)，分析實(shí)體模型，弄清點(diǎn)，線，面之間的關(guān)系，達(dá)到能閉上眼睛就能將實(shí)體變成模型在頭腦中呈現(xiàn)出來的目的。斜二測(cè)畫法畫直觀圖的練習(xí)也是至關(guān)重要，要讓學(xué)生動(dòng)手在紙上多畫柱，錐，臺(tái)等幾何體的直觀圖，多觀察和思考直觀圖和實(shí)物幾何體之間的區(qū)別和聯(lián)系，比較兩者中的線的平行，垂直之間的差別，以及角度的差別。最終讓學(xué)生能比較規(guī)范地畫出直觀圖，把空間點(diǎn)，線，面關(guān)系體現(xiàn)在直觀圖中。

第二階段是由實(shí)體圖形得到空間位置關(guān)系，再由直觀圖表示空間位置關(guān)系，理解空間位置關(guān)系的過程。教學(xué)過程要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。立體幾何教學(xué)通常是聯(lián)系實(shí)際提出問題，引入概念，加強(qiáng)由實(shí)體模型到圖形，載入圖形到模型的基本訓(xùn)練，逐步培養(yǎng)由圖形想象出空間位置關(guān)系的能力。例如在二面角的平面角的教學(xué)活動(dòng)中，首先讓學(xué)生觀察張開一定程度門面與墻面所形成的二面角，引導(dǎo)學(xué)生觀察門面，墻面與地面的交線所形成的角，這個(gè)角的兩邊分別在門面和墻面這兩個(gè)平面中，而且都和門軸（兩個(gè)面的交線）垂直，因?yàn)樗拇笮〈砹硕娼堑拇笮?，所以這個(gè)角可以看成二面角的平面角。讓學(xué)生從實(shí)物模型直觀感知二面角的平面角的概念。再進(jìn)一步通過模型進(jìn)行操作確認(rèn)，例如學(xué)生還可以拿書的兩個(gè)頁面進(jìn)行試驗(yàn)，進(jìn)一步感受什么樣的角才可以看成二面角的平面角，從而畫出直觀圖形，抽象出二面角的平面角的概念。最后教師還可以讓學(xué)生在正方體的直觀圖中練習(xí)找一些二面角的平面角，強(qiáng)化對(duì)概念的理解。教師在課上利用信息技術(shù)，恰當(dāng)增加一些課件，動(dòng)畫，更能提高學(xué)生興趣，幫助學(xué)生培養(yǎng)學(xué)由圖形想象抽象出空間位置關(guān)系的能力。

第三階段是從圖形入手，有序地建立圖形、文字、符號(hào)三種語言的聯(lián)系，為幾何證明題的解決打基礎(chǔ)。教學(xué)中可以充分發(fā)揮長(zhǎng)方體作為圖形語言的載體作用，用文字語言對(duì)圖形中的位置關(guān)系進(jìn)行描述，解釋，再抽象出符號(hào)語言，簡(jiǎn)化文字語言。所以在定理，定義的教學(xué)中要緊緊捉住直觀圖形這個(gè)載體，幫助學(xué)生在圖形的基礎(chǔ)上發(fā)展其它數(shù)學(xué)語言。在證明題的過程中，通常從證明問題的結(jié)論入手，分析結(jié)論成立的原因，找到突破口進(jìn)行證明。學(xué)生能順利寫出證明的完整過程，也必須對(duì)定理定義有一個(gè)完整的認(rèn)識(shí)。所以學(xué)完點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系這章后，教師一定要幫助學(xué)生對(duì)本章的定理，定義進(jìn)行梳理和總結(jié)，圍繞平行，垂直兩種位置關(guān)系，讓學(xué)生理清定理之間的聯(lián)系，脈絡(luò)，看到要證的結(jié)論，就知道用哪個(gè)定理。最后通過適量的典型題目的訓(xùn)練讓學(xué)生學(xué)會(huì)嚴(yán)整的證明過程，題不在多，在精。一步步訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理的能力。對(duì)有反應(yīng)慢的同學(xué)，背會(huì)幾個(gè)典型題也是有必要的，只有這樣，學(xué)生才能真正學(xué)好立體幾何。

高中立體幾何教學(xué)通常是高中教學(xué)的難點(diǎn)。因此教師應(yīng)不斷研究，探索學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，想盡各種辦法，采用多媒體等各種手段，著力提高學(xué)生的空間想象能力，強(qiáng)化概念教學(xué)，深化對(duì)定理、定義的理解和運(yùn)用，提高學(xué)生的推理和論證能力。