為有源頭活水來

康鑫

[摘 要]數(shù)學(xué)概念的建立是解決數(shù)學(xué)問題的前提，學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行推理、判斷后要得出正確的結(jié)論，首先要正確地掌握概念、理解概念。以北師大版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)“正比例”的教學(xué)為例，通過體會(huì)概念的發(fā)生之源、探究抽象的經(jīng)驗(yàn)之源、解決問題的應(yīng)用之源，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念既知其然，又知其所以然。

[關(guān)鍵詞]整體認(rèn)知；豐厚情境；過程抽象；應(yīng)用之源

[中圖分類號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2017）17-0025-02

正確理解并靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算技能、發(fā)展邏輯論證和空間想象能力的前提。而忽略了概念的背景或源頭，學(xué)生的概念學(xué)習(xí)如無源之水、無本之木。如何才能從“源頭”出發(fā)，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念？下面就從北師大版六年級(jí)下冊(cè)“正比例”的教學(xué)說起。

一、忌空中樓閣，重知識(shí)源頭

所謂源頭，就是指教學(xué)的起源。正、反比例是重要的函數(shù)關(guān)系，要讓學(xué)生能夠體會(huì)函數(shù)思想，就需要豐富的教學(xué)情境。為此，教材在“正比例”之前安排了“變化的量”，意在拓寬學(xué)生理解正、反比例的背景。“正比例”這一課時(shí)，教材首先給出了正方形的周長與邊長以及面積與邊長的表格，讓學(xué)生研究面積與邊長以及周長與邊長變化中的相同和不同后，再結(jié)合對(duì)路程與時(shí)間的變量關(guān)系的研究，抽象出正比例的意義。不難看出，對(duì)于前一課時(shí)“變化的量”，學(xué)生雖然體會(huì)到生活中存在著大量的相互依存的變化的量，但沒有對(duì)變化量的變化方向進(jìn)行研究與分類，而“正比例”這一課呈現(xiàn)的只是變化方向一致的變量，沒能很好地讓學(xué)生明晰知識(shí)的源頭，這樣就會(huì)對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)反比例有一定的影響。為了讓學(xué)生從整體上認(rèn)知正、反比例，讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)發(fā)生之源是很有必要的。

【片斷一】研究變化的量，找相同與不同

課件呈現(xiàn)五個(gè)表格的信息。

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了變化的量，知道研究變化的量可以從三個(gè)方面入手，請(qǐng)說說是哪三個(gè)方面？

生1：有哪些變化的量。

生2：是怎么變化的。

生3：是怎么描述的。

師：老師又給大家?guī)砹艘恍┳兓牧?，?qǐng)你們從這三個(gè)方面思考，然后在小組內(nèi)說一說這些表格中的量有什么相同的地方，又有什么不同的地方。

學(xué)生思考后得出：

相同：都有兩個(gè)變量，一個(gè)量變化，另一個(gè)量也變化。

不同：變化的情況有的相同，有的不相同。

問題：你能根據(jù)變量的變化情況將表A、B、C、D、E進(jìn)行分類嗎？

生4：我們分了三類。一類是表A、B、C，每個(gè)表中的兩個(gè)變量都是“一個(gè)量增加，另一個(gè)量也隨著增加，一個(gè)量減少，另一個(gè)量也隨著減少”；第二類是表D、E，每個(gè)表中的變量都是“一個(gè)量增加，另一個(gè)量反而減少，一個(gè)量減少，另一個(gè)量反而增加”。

師：大家的意見老師也同意，可以說表A、B、C中兩個(gè)量的變化方向都是一致的，表D、E中兩個(gè)量的變化方向都是相反的。今天這節(jié)課，我們先來研究變化方向一致的兩個(gè)量的關(guān)系。

學(xué)生借助研究“變化的量”獲得的經(jīng)驗(yàn)，在研究五個(gè)有代表性的表格信息后，明晰了互相依賴的變化量的變化方向有的是一致的，有的是相反的，體會(huì)到變化的量多而復(fù)雜，但有規(guī)律，體會(huì)到本課學(xué)習(xí)內(nèi)容源自生活中變化的量，體會(huì)到探究的方法來自之前習(xí)得的研究經(jīng)驗(yàn)。

二、忌形式抽象，重過程抽象

概念形成的過程就是抽象的過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生在操作活動(dòng)或分析、比較等思維活動(dòng)中，體會(huì)不同材料的共性變化，逐層抽象出概念的共同屬性，再通過解釋、思辨等學(xué)習(xí)活動(dòng)掌握概念的本質(zhì)。教材在研究“正方形周長與邊長、面積與邊長的變化規(guī)律”后，并未揭示正比例的意義，而是在研究了“路程與時(shí)間的變化規(guī)律”后，才描述正比例的意義?？梢?，讓學(xué)生經(jīng)歷抽象過程的意圖是明顯的，路徑是清晰的，即通過在相同中找不同、不同中找相同，歸納正比例的意義，學(xué)習(xí)路徑是直線形的。為此，教師可在把握正、反比例的整體上，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷找相同與不同、找不同與相同的數(shù)學(xué)化過程，進(jìn)而抽象出正比例的意義。這樣的抽象過程更豐厚，更利于學(xué)生理解所學(xué)概念的本質(zhì)。與此同時(shí)，通過反思總結(jié)，學(xué)生更能深刻體會(huì)到，探究知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)之源能為學(xué)習(xí)后續(xù)知識(shí)積累豐富的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

【片斷二】研究變化的量，找不同與相同

1.深入分析，找出不同

師：表A、B、C中的兩個(gè)量變化方向都是一致的，它們的變化有什么不同嗎？

學(xué)生討論后得到：

表A中兩個(gè)量的變化好像沒有規(guī)律。

表B中周長總是邊長的4倍。

表C中面積除以邊長的得數(shù)不一樣。

師（追問）：表B中，周長為什么總是邊長的4倍？表C中，面積除以邊長的得數(shù)為什么不固定？

生1：正方形周長等于邊長乘4，所以周長與邊長的比值一定，而正方形面積等于邊長乘邊長，面積除以邊長等于邊長，因?yàn)檫呴L在變，所以得數(shù)不固定。

2.研究中再感知

一輛汽車以90千米/時(shí)的速度行駛，行駛的路程與時(shí)間如下所示。把下表填寫完整，你能從表中發(fā)現(xiàn)什么？

F.汽車行駛的路程與時(shí)間的變化情況

學(xué)生獨(dú)立填表后交流。

生2：路程隨時(shí)間變化而變化，變化方向相同，而且路程與時(shí)間的比值一定，也就是速度一定。

3.比較中找相同，揭示意義

師：比較表F和表B中變量的變化情況，有什么相同的地方？

生3：都有兩個(gè)變量，變化方向一致，兩個(gè)變量的比值都是一定的（不變的）。

師：像這樣的兩個(gè)量的關(guān)系就是正比例關(guān)系，這樣的兩個(gè)量成正比例。

4.解釋變化的量，建構(gòu)意義

師：周長和邊長成正比例嗎？為什么？表F的路程和時(shí)間成正比例嗎？為什么？正方形面積和邊長成正比例嗎？為什么？怎樣的兩個(gè)量成正比例？

師（歸納）：兩個(gè)變量如果變化方向一致，比值一定，它們就是正比例關(guān)系。

師：你是怎樣理解這里“正”的意思的？這里的“比例”在哪能找到？

生4：“正”就是變化方向一致，比例有很多，比如表B中，4∶1=8∶2，8∶2=16∶4，1∶4=2∶8，1∶2=4∶8。

5.回顧反思，積累研究經(jīng)驗(yàn)

師：我們是怎樣研究正比例關(guān)系的？

生5：先分析變量的變化規(guī)律，然后通過比較找出它們的相同之處。

學(xué)生通過研究變化方向一致的變量的變化規(guī)律，經(jīng)歷了五個(gè)層次的學(xué)習(xí)思維活動(dòng)后，逐步抽象出正比例的意義，體會(huì)到概念的抽象性。

三、忌偏重技能，重內(nèi)化理解

數(shù)學(xué)概念形成的核心是理解。教材的第一課時(shí)安排了兩道練習(xí)題，這兩道練習(xí)題都是通過表格呈現(xiàn)兩個(gè)變量的幾組對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生判斷兩個(gè)量是否成正比例，并說出原因。其用意是讓學(xué)生通過在具體情境中的判斷進(jìn)一步理解正比例的意義，而不是急于落實(shí)技能目標(biāo)。由于正比例知識(shí)屬于主觀性知識(shí)范疇，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過程、理解知識(shí)的本質(zhì)尤為重要，但體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生的必要性不可或缺。只有明白了知識(shí)在哪里用、怎么用，學(xué)生對(duì)概念的本質(zhì)才能做到真正理解，才有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成與發(fā)展。因此，概念課的教學(xué)既要設(shè)計(jì)幫助學(xué)生內(nèi)化理解的練習(xí)，也要設(shè)計(jì)源自生活的問題，讓學(xué)生切實(shí)體會(huì)學(xué)習(xí)的價(jià)值。

【片斷三】練習(xí)應(yīng)用，內(nèi)化本質(zhì)

師：我們已經(jīng)理解了正比例關(guān)系，現(xiàn)在來解決一些問題吧！

1.學(xué)?？茖W(xué)小組在同一時(shí)間、同一地點(diǎn)進(jìn)行觀察實(shí)驗(yàn)，測(cè)得竹竿的高與竹竿的影長如下表所示：

（1）說一說竹竿的影長與竹竿的高的變化關(guān)系。

（2）寫出竹竿的影長與竹竿的高的比，有什么發(fā)現(xiàn)？

（3）竹竿的高與竹竿的影長是不是成正比例？為什么？

2.出示PPT：

學(xué)生閱讀、思考、討論、交流。

學(xué)生觀察后能夠發(fā)現(xiàn)同時(shí)同地竹竿的高和竹竿的影長的關(guān)系，再次理解了正比例的意義，為反比例的學(xué)習(xí)與研究打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在解釋與探究測(cè)量金字塔高度的原理與方法的過程中，學(xué)生能感悟?qū)W習(xí)正比例的必要性，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用之源，達(dá)到了對(duì)正比例既知其然，更知其所以然的教學(xué)效果。

（責(zé)編 童 夏）