特殊探路、類比解題的思維模式與運(yùn)用

陜西省鎮(zhèn)巴中學(xué)(723600) 劉再平

特殊探路、類比解題的思維模式與運(yùn)用

陜西省鎮(zhèn)巴中學(xué)(723600) 劉再平

在數(shù)學(xué)解題中,對(duì)一時(shí)難以入手的一般問(wèn)題,一種簡(jiǎn)單易行的化歸途徑就是將原問(wèn)題向它的特殊形式轉(zhuǎn)化,這就是特殊化法.特殊化法就是把數(shù)學(xué)問(wèn)題中包含的數(shù)量、形狀、位置等關(guān)系,加以簡(jiǎn)單化、具體化、單一化、邊緣化,也就是華羅庚先生所說(shuō)的:“先足夠地退到我們最容易看清楚的地方,認(rèn)透了,鉆透了,然后再上去.”我們通過(guò)解決退化后的問(wèn)題,探尋解題的起點(diǎn),用處理此退化問(wèn)題的方法類比解決原題.特殊化法是解決很多疑難問(wèn)題的有效方法.此文結(jié)合具體實(shí)例,重點(diǎn)介紹“特殊探路、類比解題”的思維邏輯模式與其運(yùn)用.

思維邏輯模式:

說(shuō)明

1.在問(wèn)題特殊化時(shí),通常將原問(wèn)題視為一般性問(wèn)題,從特殊的數(shù)、形和位置關(guān)系等入手,按照增加約束條件,取其局部或個(gè)別情形,得到特殊問(wèn)題;

2.通過(guò)對(duì)特殊問(wèn)題的分析與解決,去尋求一般問(wèn)題的屬性,從而獲得關(guān)于原一般問(wèn)題研究對(duì)象的性質(zhì)或關(guān)系的認(rèn)識(shí),從中找到解題方法和解題的起點(diǎn);

3.上述思維模式滲透著類比思想和程序化思想,這兩種數(shù)學(xué)思想將原來(lái)買(mǎi)的一般性問(wèn)題化繁為簡(jiǎn),并使得解題過(guò)程變得更為自然.

例1(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2017年第1期2341征解題)已知a,b,c,d≥0,a+b+c+d=3,求證:a+ab+abc+abcd≤4.

思維過(guò)程(1)問(wèn)題特殊化.考慮到原不等式有4個(gè)元,不宜直接證明,于是不妨通過(guò)減少未知數(shù),將其特殊化如下:

已知a,b,c≥0,a+b+c=3,求證:a+ab+abc≤4.

(2)解決特殊化問(wèn)題.由a+b+c=3得c=3?a?b,即

則函數(shù)f(a)在[0,2]上單調(diào)遞增,在(2,3]上單調(diào)遞減,即f(a)≤f(2)=4,所以a+ab+abc≤4得證.

即abcd≤d≤d+bd+bcd所以

a+ab+abc+abcd≤(a+ab+abc)+(d+bd+bcd)≤4.故a+ab+abc+abcd≤4得證.

點(diǎn)評(píng)上述證法的巧妙之處在于將四元條件不等式特殊化為三元不等式證明之后,又將其中的一個(gè)元代換為兩個(gè)元達(dá)到證明原不等式的目的,看似思維迂回,實(shí)則曲徑通幽.

例2凸n面體的n個(gè)面的面積記為si(i=1,2,···,n),P為n面體內(nèi)任意一點(diǎn),且P到各面的距離為hi(i= 1,2,···,n).若s1:s2:···:sn=1:2:···:n,證明:為定值.

思維過(guò)程(1)問(wèn)題特殊化.要證的是一個(gè)n維空間的一般性結(jié)論,而凸n面體的空間思維難度較大,我們自然可以將其先退化到二維的平面幾何問(wèn)題:

(2)解決特殊化問(wèn)題.由面積法,證明如下:

(3)類比解決原問(wèn)題.類比上述特殊問(wèn)題的證法,行云流水般的可證原多維空間問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng)學(xué)生習(xí)慣于解決二維與三維等低維幾何問(wèn)題,對(duì)于n維幾何問(wèn)題無(wú)疑有一定的思維推進(jìn)障礙,此時(shí)轉(zhuǎn)變視角,在n維空間內(nèi)的一般性結(jié)論,那么可能在低維,甚至平面內(nèi)也會(huì)有類似結(jié)論,因而自然的將其退化到最特殊的平面幾何問(wèn)題,再通過(guò)面積分割法將其解決,類比到n維空間即為體積分割法.

例3設(shè)0＜α1＜α2＜···＜αn＜其中n≥2.證明:

思維過(guò)程(1)問(wèn)題特殊化.題意n≥2,于是將原問(wèn)題退化為n=2的情況,得到較為特殊的問(wèn)題,如下:

(2)解決特殊化問(wèn)題.要證上述特殊問(wèn)題,即證

(3)類比解決原問(wèn)題.特殊化問(wèn)題得證,原題的解決起點(diǎn)已經(jīng)探得,下面類比上述放縮法解決原題:由題得

所以

點(diǎn)評(píng)此例要證不等式結(jié)構(gòu)繁瑣,初次審題過(guò)后想從正面直接證明難以入手,與其坐以待斃不妨特殊化去探探路,特殊化后不等式變得很簡(jiǎn)潔,可用放縮通法快速證明,此時(shí)再回過(guò)頭來(lái)斟酌原題,便柳暗花明.

例4證明:當(dāng)n＞2時(shí),任意直角三角形斜邊長(zhǎng)的n次冪大于直角邊的n次冪之和.

思維過(guò)程(1)問(wèn)題特殊化.由題n＞2,可考慮將其退化為n=3和n=4時(shí)的特殊情況,如下:

證明:當(dāng)n=3時(shí),任意直角三角形斜邊長(zhǎng)的3次冪大于直角邊的3次冪之和.

證明:當(dāng)n=4時(shí),任意直角三角形斜邊長(zhǎng)的4次冪大于直角邊的4次冪之和.

(2)解決特殊化問(wèn)題.當(dāng)n=3時(shí),c3=c2·c= (a2+b2)c=a2c+b2c＞a3+b3(c為斜邊).當(dāng)n=4時(shí),c4=c2·c2=(a2+b2)c2=a2c2+b2c2＞a4+b4.

(3)類比解決原問(wèn)題.cn=c2·cn?2=(a2+b2)cn?2=a2cn?2+b2cn?2＞an+bn,即原題得證.

點(diǎn)評(píng)此道競(jìng)賽題看似短小精悍,實(shí)際別有意境,是人們對(duì)勾股定理思考的一個(gè)延續(xù),直接證明n無(wú)窮大的情況無(wú)疑不太明智,將n特殊化為3和4后,勾股定理便順手拈來(lái),放縮證明才有了更好的鋪墊.

例5設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為m2?1,2m+1,m2+m+1,試求此三角形的最大角.

思維過(guò)程(1)問(wèn)題特殊化.由題m2?1,2m+1,m2+m+1為三角形的三邊,即有解得m＞1.

然而,要求三角形的最大角,需要先找到三角形的最大邊.不放特殊化探路,令m=2,則m2?1=3,2m+1= 5,m2+m+1=7.

(3)類比解決原問(wèn)題.于是,我們猜測(cè)m2+m+1(m＞1)可能是最大邊,作差證明如下:

m2+m+1?(m2?1)=m+2＞0,m2+m+1?(2m+1)=m(m?1)＞0,所以長(zhǎng)度為m2+m+1的邊所對(duì)的角最大,由余弦定理

即最大內(nèi)角為120°.

點(diǎn)評(píng)如果不將原問(wèn)題特殊化,那么我們需要多次嘗試探索三角形的最大邊,然而特殊化之后,我們僅僅只需要一次便能找到三角形的最大邊,從而用余弦定理求出最大角,極大的縮短了解題長(zhǎng)度,優(yōu)化解題過(guò)程.

G波利亞在其解題表的核心環(huán)節(jié)陸續(xù)追問(wèn)道:“如果你不能解所提的題目,先嘗試去解某道有關(guān)的題目.你能否想到一道更容易著手的相關(guān)題目?一道類似的題目?一道更為特殊化的題目?”短短的幾句反問(wèn)實(shí)則蘊(yùn)含著特殊化法解題的大智慧.特殊化法的首要環(huán)節(jié)就是退,退可以從一般退到特殊、從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單、從抽象退到具體、從整體退到部分、從較強(qiáng)的結(jié)論退到較弱的結(jié)論,從高維退到低維,退到保持特征的最簡(jiǎn)單情況、退到最小獨(dú)立完全系,先解決簡(jiǎn)單的情況、先處理特殊的對(duì)象,在歸納、聯(lián)想、發(fā)現(xiàn)一般性.特殊化法解題不僅能透過(guò)問(wèn)題的表面挖掘其數(shù)學(xué)本質(zhì),還體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美,畢竟數(shù)學(xué)解題是一種思維活動(dòng),數(shù)學(xué)解題的本質(zhì)終究是簡(jiǎn)潔的.

[1]波利亞(G.Polya)著;涂泓,馮承天譯.怎樣解題:數(shù)學(xué)思維的新方法[M].上海:上?？萍冀逃霭嫔?2007.5.

[2]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論(第二版)[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社, 2008.9.