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    圓盤模型的拓展分析

    2017-06-14 17:53:51鄭行軍
    理科考試研究·高中 2017年4期
    關(guān)鍵詞:圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)態(tài)分析圓盤

    鄭行軍

    摘要:圓盤問題是圓周運(yùn)動(dòng)一個(gè)重要的物理模型,圓盤模型分析可以很好的考查運(yùn)動(dòng)參量的關(guān)系、動(dòng)力學(xué)規(guī)律和功能關(guān)系等綜合問題.本文借助物理模型化思維,以圓盤基本模型為基礎(chǔ),以中學(xué)物理需要掌握的知識(shí)結(jié)構(gòu)為導(dǎo)向,構(gòu)建試題中可能的命題方向和解題策略,引導(dǎo)學(xué)生理清物體運(yùn)動(dòng)過程中各個(gè)參量之間的關(guān)系,深化其內(nèi)在聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)圓盤問題學(xué)習(xí)的進(jìn)階發(fā)展.

    關(guān)鍵詞:圓盤;圓周運(yùn)動(dòng);動(dòng)力學(xué);動(dòng)態(tài)分析;臨界

    圓盤問題是圓周運(yùn)動(dòng)題型中一個(gè)很重要的物理模型,它不僅考查了圓周運(yùn)動(dòng)參量的關(guān)系、動(dòng)力學(xué)規(guī)律和離心運(yùn)動(dòng)問題,還往往涉及臨界問題.本文就中學(xué)階段幾種常見的圓盤模型進(jìn)行整理歸類,希望能有一個(gè)比較清晰的認(rèn)識(shí).

    一、基本物理模型詮釋

    1.結(jié)構(gòu)特點(diǎn):如圖1 所示,在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上距轉(zhuǎn)軸為r 處放一質(zhì)量為m 的物體,物體與轉(zhuǎn)臺(tái)之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,隨同轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度ω 轉(zhuǎn)動(dòng).

    2.動(dòng)力學(xué)特點(diǎn):

    (1)物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)靜止一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng).

    物塊所受重力與支持力平衡,轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)物體的靜摩擦力提供物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力,靜摩擦力f方向指向圓心,有f=mv2r=mω2r,f≤fm(最大靜摩擦力)是物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)保持相對(duì)靜止的條件.

    (2)若物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)相對(duì)靜止做變速圓周運(yùn)動(dòng)

    物塊所受靜摩擦力除了提供所需向心力,必須沿切線方向有力的作用,改變物塊速度大小,因此靜摩擦力一個(gè)分力指向圓心,沿切線方向分力不為零,兩分力合力為靜摩擦力,所以靜摩擦力方向一定不指向圓心.

    若轉(zhuǎn)臺(tái)加速轉(zhuǎn)動(dòng),摩擦力方向如圖2(甲)所示;若轉(zhuǎn)臺(tái)減速轉(zhuǎn)動(dòng),摩擦力方向如圖2(乙)所示.

    例1如圖3所示,小木塊a、b和c (可視為質(zhì)點(diǎn))放在水平圓盤上,a、b木塊質(zhì)量均為m,c的質(zhì)量為m2.a與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為l,b、c與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為2l且均處于水平圓盤的邊緣.木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的k倍,重力加速度大小為g,若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),下列說法正確的是()

    A.b、c所受的摩擦力始終相等,故同時(shí)從水平圓盤上滑落

    B.當(dāng)a、b和c均未滑落時(shí),a、c所受摩擦力的大小相等

    C.b和c均未滑落時(shí)線速度大小一定相等

    D.b開始滑動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)速是2kgl

    解析由f=mω2r,b、c一起運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的靜摩擦力不相等,木塊開始滑動(dòng)時(shí),最大靜摩擦力提供向心力,kmg=mω20r得臨界角速度ω0=kgr,故b、c同時(shí)從水平圓盤上滑落,A錯(cuò)誤;當(dāng)a、b和c均未滑落時(shí),木塊所受的靜摩擦力f=mω2r,ω相等,f∝mr,所以a、c所受的靜摩擦力相等,都小于b的靜摩擦力,故B正確;b和c均未滑落時(shí)線速度v=rω大小一定相等,故C正確;以b為研究對(duì)象,由牛頓第二定律得:f=2mω2l=kmg,轉(zhuǎn)速n=ω2π可解得:n=12πkg2l,D錯(cuò)誤.故選:BC.

    二、模型拓展歸類探析

    1.疊放型圓盤模型

    模型解讀:如圖4所示,兩物體A、B疊放在一起隨盤勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),對(duì)上物體A研究,由B對(duì)A的摩擦力提供向心力f1=mAω2r;對(duì)下物體B研究,則由盤對(duì)B的摩擦力和A對(duì)B的摩擦力的合力提供向心力f2-f1=mBω2r;由于兩物體始終相對(duì)靜止,具有共同的角速度,故也可利用整體法和隔離法分析求解.

    例2如圖5所示,粗糙水平圓盤上,質(zhì)量相等的A、B兩物塊疊放在一起,隨圓盤一起做勻速圓周運(yùn)動(dòng),設(shè)物體間最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等,則下列說法中正確的是()

    A.B的向心力是A的向心力的2倍

    B.盤對(duì)B的摩擦力是B對(duì)A的摩擦力的2倍

    C.A、B都有沿半徑向外滑動(dòng)的趨勢

    D.增大轉(zhuǎn)速,若B先滑動(dòng),則B對(duì)A的動(dòng)摩擦因數(shù)μA小于盤對(duì)B的動(dòng)摩擦因數(shù)μB

    解析根據(jù)F向=mω2r,因?yàn)閮晌飰K的角速度大小相等,轉(zhuǎn)動(dòng)半徑相等,質(zhì)量相等,則向心力相等,A錯(cuò)誤;對(duì)A、B整體分析,fB=2mω2r,對(duì)A分析,fA=mω2r,知盤對(duì)B的摩擦力是B對(duì)A的摩擦力的2倍, B正確;A所受的靜摩擦力方向指向圓心,可知A有沿半徑向外滑動(dòng)的趨勢,B受到盤的靜摩擦力方向指向圓心,有沿半徑向外滑動(dòng)的趨勢, C正確;對(duì)A、B整體分析,2μBmg=2mω2Br,解得ωB=μBgr,對(duì)A分析,μAmg=mω2Ar,解得ωA=μAgr,因?yàn)锽先滑動(dòng),可知B先達(dá)到臨界角速度,可知B的臨界角速度較小,即μB<μA,故D錯(cuò)誤,正確答案為BC.

    2.約束型圓盤模型

    模型解讀:如圖6所示,由輕繩(輕桿)相連接的物體系統(tǒng)與圓盤一起運(yùn)動(dòng)時(shí),當(dāng)轉(zhuǎn)速較小時(shí),繩子(桿)沒有張力,由靜摩擦力提供向心力,方向都指向圓心;當(dāng)轉(zhuǎn)速較大時(shí),其中一物體摩擦力達(dá)最大值,繩子(桿)開始出現(xiàn)張力,由摩擦力和張力的合力提供向心力;由于繩(桿)約束,兩物體應(yīng)同時(shí)開始發(fā)生相對(duì)滑動(dòng),說明此時(shí)都已達(dá)到最大靜摩擦力,由向心力公式即可求得此時(shí)角速度和繩子的張力.

    例3如圖7所示,用細(xì)線相連的兩個(gè)質(zhì)量均為m的相同小物塊A和B(可視為質(zhì)點(diǎn)),沿半徑方向放在水平圓盤上,A與轉(zhuǎn)軸OO′的距離為2l,B與轉(zhuǎn)軸的距離為l,物塊與圓盤間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,且最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力.圓盤靜止時(shí),細(xì)線處于水平且無張力,若圓盤從靜止開始繞轉(zhuǎn)軸緩慢地加速轉(zhuǎn)動(dòng),用ω表示圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度,則()

    A.A、B兩物體受到的摩擦力方向相反

    B.當(dāng)ω=7μg12l時(shí),細(xì)線張力為μmg6

    C.當(dāng)ω=4μg3l時(shí),兩物體開始滑動(dòng)

    D.兩物體開始滑動(dòng)時(shí),細(xì)線上張力為μmg3

    解析A、B都做勻速圓周運(yùn)動(dòng),合外力提供向心力,當(dāng)轉(zhuǎn)速較小時(shí),繩子沒有張力,A、B都是由靜摩擦力提供向心力,方向都指向圓心,方向相同,故A錯(cuò)誤;當(dāng)ω=7μg12l時(shí),對(duì)A有:T+μmg=mω2·2l,解得:T=μmg6,故B正確;當(dāng)B開始滑動(dòng)時(shí),A、B所受靜摩擦力均達(dá)最大,設(shè)此時(shí)細(xì)繩張力為T1:對(duì)A:T1+μmg=mω2·2l,對(duì)B:μmg-T1=mω2l,聯(lián)立解得:ω=2μg3l,T1=μmg3,故C錯(cuò)誤,D正確,正確答案為BD.

    例4如圖8所示,水平轉(zhuǎn)臺(tái)上有一個(gè)質(zhì)量為m的物塊,用長為l的輕質(zhì)細(xì)繩將物塊連接在轉(zhuǎn)軸上,細(xì)繩與豎直轉(zhuǎn)軸的夾角θ為π6,此時(shí)繩繃直但無張力,物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=13,最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,物塊隨轉(zhuǎn)臺(tái)由靜止開始緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng),角速度為ω,重力加速度為g,則()

    A.當(dāng)ω=g2l時(shí),細(xì)線中張力為零

    B.當(dāng)ω=3g4l時(shí),物塊與轉(zhuǎn)臺(tái)間的摩擦力為零

    C.當(dāng)ω=gl時(shí),細(xì)線的張力為13mg

    D.當(dāng)ω=4g3l時(shí),細(xì)線的張力為43mg

    解析當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)的轉(zhuǎn)速比較小時(shí),物塊只受重力、支持力和摩擦力,當(dāng)繩恰好產(chǎn)生力時(shí),靜摩擦力達(dá)最大值,此時(shí)μmg=mω21lsinθ,ω1=2g3l,A正確;隨轉(zhuǎn)速增大,細(xì)繩的力增大,當(dāng)物塊恰好要離開轉(zhuǎn)臺(tái)時(shí),物塊受到重力和細(xì)繩的拉力的作用:mgtanθ=mω22lsinθ,解得:ω2=23g3l,由于ω1<3g4l<ω2,故當(dāng)ω=3g4l時(shí),物塊轉(zhuǎn)臺(tái)間的摩擦力不為零,B錯(cuò)誤;由于ω113mg,C錯(cuò)誤;當(dāng)ω=4g3l時(shí),物塊已離開盤面,設(shè)細(xì)線與豎直軸的夾角為α,則mgtanα=mω2lsinα,解得:cosα=34,故T=mgcosα=43mg,D正確.故正確答案為AD.

    3.傾斜放置型圓盤模型

    模型解讀:如圖9所示,傾斜放置的盤繞軸做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),靠重力沿圓盤方向的分力以及靜摩擦力的合力提供向心力,由于合力方向要始終指向圓心,故盤上不同位置,靜摩擦力的大小和方向不同,最低點(diǎn)盤對(duì)物體的靜摩擦力最大,力的方向沿盤向上,大小大于重力沿盤方向的分力;最高點(diǎn)盤對(duì)物體的靜摩擦力最小,力的方向可能沿盤向下,可能沿盤向上,也可能靜摩擦力為零,取決于圓盤角速度的大小.

    例3如圖10所示,兩個(gè)質(zhì)量均為m的小物塊a和b(可視為質(zhì)點(diǎn)),靜止在傾斜的勻質(zhì)圓盤上,圓盤可繞垂直于盤面的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng),a到轉(zhuǎn)軸的距離為l,b到轉(zhuǎn)軸的距離為2l,物塊與盤面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為32,盤面與水平面的夾角為30°.設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,重力加速度大小為g,若a、b隨圓盤以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng),下列說法正確的是()

    A.a在最高點(diǎn)時(shí)所受摩擦力可能為0

    B.a在最低點(diǎn)時(shí)所受摩擦力可能為0

    C.ω=g8l是a開始滑動(dòng)的臨界角速度

    D.ω=g8l是b開始滑動(dòng)的臨界角速度

    解析若角速度較大,在最高點(diǎn)靠重力沿圓盤方向的分力以及靜摩擦力提供向心力,b的向心力大于a的向心力,則b的靜摩擦力大于a的靜摩擦力,a在最高點(diǎn)的靜摩擦力可能為零,故A正確;在最低點(diǎn)a靠靜摩擦力和重力沿圓盤方向的分力提供向心力,合力指向圓心,則靜摩擦力大于重力沿圓盤方向的分力,故B錯(cuò)誤;在最低點(diǎn),對(duì)a根據(jù)牛頓第二定律得μmgcos30°-mgsin30°=mlω2,解得a開始滑動(dòng)的臨界角速度ω=g4l,故C錯(cuò)誤;在最低點(diǎn),對(duì)b根據(jù)牛頓第二定律得μmgcos30°-mgsin30°=m·2lω′2,解得b開始滑動(dòng)的臨界角速度ω=g8l,故D正確.正確答案為AD.

    綜上所述,圓盤問題雖然涉及的知識(shí)點(diǎn)很多,分析時(shí)只要牢牢抓住圓周運(yùn)動(dòng)的核心和本質(zhì),以基本公式為出發(fā)點(diǎn),以物理模型的特點(diǎn)為導(dǎo)向,把握物理運(yùn)動(dòng)過程的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)、功能特點(diǎn)、臨界狀態(tài)下的信息條件,聯(lián)立方程使問題得解.因此在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意對(duì)圓盤模型規(guī)律的總結(jié),從而提高解題能力.

    參考文獻(xiàn):

    [1]王春旺.水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的四種模型解讀[J].中學(xué)生數(shù)理化,2016(02):31-32.

    [2]赫興昌.高考物理中有關(guān)圓周運(yùn)動(dòng)的解題研究[J].理科考試研究,2015(07):44.

    [3]劉廣來.例談圓周運(yùn)動(dòng)解題技巧[J].數(shù)理化解題研究,2014(07):58-59

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