向量在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用探索

陳慶武

【摘 要】在高中數(shù)學(xué)中，向量具有數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，高中數(shù)學(xué)許多的知識(shí)點(diǎn)都可以利用向量進(jìn)行更簡(jiǎn)單的計(jì)算，本文闡明向量在高中數(shù)學(xué)中的實(shí)際意義，通過(guò)例題講解利用向量解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的具體方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 向量 數(shù)形結(jié)合

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）02B-0069-02

在新課改后，向量引入了高中數(shù)學(xué)中，因向量的實(shí)用特性使得它在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中具有重要的地位。向量可以為學(xué)生認(rèn)識(shí)幾何帶來(lái)不一樣的方式，同時(shí)也帶來(lái)更簡(jiǎn)單的解題方法。因此在實(shí)際教學(xué)的過(guò)程中，應(yīng)該加強(qiáng)對(duì)向量教學(xué)的研究，為學(xué)生帶來(lái)更加清晰的思路和更好的學(xué)習(xí)方法。向量引入高中教育以后，對(duì)高中數(shù)學(xué)中的平面幾何、不等式、解方程、三角函數(shù)等各個(gè)知識(shí)都具有一定的滲透性。在這些知識(shí)的解答過(guò)程中，如果能夠熟練地運(yùn)用向量，那么就能夠簡(jiǎn)單地解決一些原本復(fù)雜的題目。再者，向量數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)使得向量能夠?qū)⑵渌闹R(shí)從數(shù)轉(zhuǎn)化成形來(lái)理解，或者將型轉(zhuǎn)化成數(shù)來(lái)理解，這種特點(diǎn)使得向量成為了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化器。

一、向量的價(jià)值與地位

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教材中，是沒(méi)有向量的概念的，向量在 1996年被放入到高中教材中，引起了眾多學(xué)者的廣泛重視。向量的引入，使高中數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性與系統(tǒng)性更加緊密，也讓數(shù)學(xué)中的一些難題有了創(chuàng)新的解決方法，提升解題效率。向量在數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)。

（一）提升學(xué)生的運(yùn)算能力。運(yùn)算能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，運(yùn)算速度決定了解答數(shù)學(xué)題目的效率。在原本使用數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程中使用的都是基本運(yùn)算方法，加入了向量之后，增加了新的數(shù)學(xué)運(yùn)算方法，例如在傳統(tǒng)多項(xiàng)式的運(yùn)算中，使用的運(yùn)算模型是 A×A→A 型，數(shù)與多項(xiàng)式的運(yùn)算模型為 A×B→B 型。在運(yùn)算中使用了向量，運(yùn)算的方式會(huì)發(fā)生變化，轉(zhuǎn)變?yōu)?A×A→B 模式的運(yùn)算。同時(shí)，向量的數(shù)量積運(yùn)算可以刻畫(huà)向量的長(zhǎng)度，能夠解決學(xué)生在幾何題型中的度量困難，進(jìn)一步加快學(xué)生的運(yùn)算速度。學(xué)生使用新型的向量進(jìn)行運(yùn)算，可提升運(yùn)算能力。

（二）有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學(xué)是思維的殿堂，高中數(shù)學(xué)教師教給學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力與數(shù)形結(jié)合的思想。比如，可以用實(shí)數(shù)表示向量的大小，這是“數(shù)”的形式，同時(shí)，也可以利用線段表示向量，這就是“形”的形式。正因?yàn)橄蛄考染邆洹皵?shù)”又具備“形”，所以在幾何教學(xué)中，使用向量教學(xué)勝過(guò)使用代數(shù)教學(xué)。在幾何學(xué)習(xí)中，學(xué)生可利用向量的屬性來(lái)實(shí)踐數(shù)形結(jié)合的思想，用向量來(lái)表示幾何圖形的面積與體積。向量能更好地幫助學(xué)生理解高中數(shù)學(xué)中復(fù)雜的難題，提升數(shù)學(xué)思維。

（三）幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型。高中數(shù)學(xué)不僅培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力與數(shù)形結(jié)合思想，而且培養(yǎng)學(xué)生的空間思維能力及對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解能力。我們知道，物理中的矢量展現(xiàn)了向量的原型，所以向量也能夠作為數(shù)學(xué)模型幫助學(xué)生在解決空間思維問(wèn)題時(shí)找到正確的解題方向，使學(xué)生更直觀地理解物體的位移、受力情況。例如，我們下面這一道關(guān)于向量的題，求 。

這是向量中的一道基礎(chǔ)題，但它卻是學(xué)生學(xué)習(xí)建立和理解數(shù)學(xué)模型的一道基礎(chǔ)題，它用有向線段的形式來(lái)表現(xiàn)數(shù)的關(guān)系，也就是說(shuō)在運(yùn)算過(guò)程中，通過(guò)建立模型—— 用有向線段來(lái)表示數(shù)的關(guān)系，也就是說(shuō)，讓學(xué)生運(yùn)用向量運(yùn)算來(lái)求解 。學(xué)生用向量來(lái)求解，方法就十分簡(jiǎn)單，直接用向量的基本性質(zhì)就能解出來(lái)。

二、向量在高中數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

（一）在平面幾何中利用向量進(jìn)行解答。在傳統(tǒng)的幾何問(wèn)題處理中，往往需要學(xué)生想象思維，學(xué)生通過(guò)對(duì)空間進(jìn)行思考，構(gòu)思出一條條虛擬的線，然后才能夠進(jìn)行復(fù)雜的推導(dǎo)。利用向量解決幾何問(wèn)題，能夠避開(kāi)學(xué)生對(duì)幾何圖形的構(gòu)思，縮短推導(dǎo)的過(guò)程。向量具有大小和方向，能夠表示幾何圖形中的線段長(zhǎng)度的大小和方向。通過(guò)向量的運(yùn)用來(lái)解答幾何中的問(wèn)題比傳統(tǒng)的解題方式更加簡(jiǎn)單明了。

〖例1〗如圖所示，已知平行四邊形 ABCD 中，E、F 在對(duì)角線 BD 上，且 BE=FD。求證：四邊形 AECF 是平行四邊形。

〖思路點(diǎn)撥一〗按照以往解答幾何問(wèn)題的方法，這道題需要通過(guò)求證 AF 平行 EC，AE 平行 FC，或者求證 AE=FC，AF=EC，然后得出四邊形 AECF 是平行四邊形。

〖解一〗

∵ ABCD 是平行四邊形

∴ AD // BC，AB // CD

∴ ∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠BDC

又∵ BE=FD

∴ △ABE≌△CDF，△BCE≌△ADF

∴ AE=FC，AF=EC

∴ 四邊形 AECF 是平行四邊形。

〖思路點(diǎn)撥二〗利用向量的方法證明，通過(guò)設(shè) =，= →表示 ，→=→四邊形 AECF 是平行四邊形，可見(jiàn)此法快捷很多。

〖解二〗

由已知可設(shè) ，。

∴ ，

又∵

∴

∴ AE 與 FC 平行且相等

∴ 四邊形 AECF 是平行四邊形。

在利用向量解答幾何問(wèn)題時(shí)，只要掌握了幾何圖形中點(diǎn)和線之間的關(guān)系，就能夠輕松地解決問(wèn)題。因此，在高中數(shù)學(xué)中進(jìn)行向量教學(xué)，能夠使傳統(tǒng)的幾何圖形不再困難。通過(guò)向量及其演繹，對(duì)幾何圖形進(jìn)行思考分析，能夠培養(yǎng)學(xué)生思維能力，更加靈活地解決問(wèn)題。

但是幾何中并不是所有的題目都可以利用向量來(lái)進(jìn)行解決，如果運(yùn)用不當(dāng)甚至?xí)沟媒鉀Q題目的過(guò)程更加困難。對(duì)于題目來(lái)說(shuō)，是否適合利用向量來(lái)進(jìn)行解答，需要學(xué)生根據(jù)具體的題目進(jìn)行分析。通過(guò)運(yùn)用合適的方法進(jìn)行解題，才能夠在作答的時(shí)候得心應(yīng)手。

（二）不等式證明中利用向量進(jìn)行解答。不等式的證明在高中是一個(gè)難點(diǎn)，在證明不等式的過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)利用到各種方法來(lái)將不等式進(jìn)行變形，這樣才能夠證明不等式。不等式證明需要學(xué)生熟練掌握和靈活運(yùn)用大量的變形方式，其中，利用向量進(jìn)行不等式證明是不等式證明中經(jīng)常用到的方法之一。

〖例二〗證明均值不等式：（a>0，b>0）。

〖證明〗設(shè) =（a，b），，則 。

由 得

且僅僅當(dāng) 和 同向（此時(shí) a=b）等號(hào)成立。

當(dāng) a>0，b>0 時(shí)，可類(lèi)似構(gòu)造 =（，），=（，），可證 。

在解這道題目中，把不等式轉(zhuǎn)化成向量，然后通過(guò)向量的計(jì)算方式輕松地計(jì)算出了答案。在不等式的證明中，一定要清晰地了解題目的特點(diǎn)，選擇合適的證明方式進(jìn)行解答。向量在不等式證明中能夠輕松地解答出一部分問(wèn)題，但是如果掌握不到位，沒(méi)有找到合適的切入點(diǎn)，那么反而會(huì)適得其反。

（三）三角函數(shù)中利用向量進(jìn)行解答。三角函數(shù)同樣也是高中的一個(gè)難點(diǎn)，在三角函數(shù)的解答過(guò)程中，往往會(huì)出現(xiàn)圖象、位移等條件的題目，對(duì)這種類(lèi)型的題目通過(guò)結(jié)合向量進(jìn)行解答能夠更加快捷。

〖例三〗把函數(shù) y=sin2x 的圖象按向量 平移后，得到函數(shù) 的圖象，則 和 B 的值依次為（ ）

A.，-3 B.，3 C.，-3 D.，3

〖思路點(diǎn)撥一〗根據(jù)向量的坐標(biāo)可以確定平移公式為，再代入到已知的解析式中可以得出答案。還可以通過(guò)向量的坐標(biāo)得到圖象的兩個(gè)平移過(guò)程，然后確定平移后的函數(shù)解析式。

〖解一〗通過(guò)平移的向量可以得到平移公式，即，代入到 y=sin2x 中可以得到 ，即可以得到 ，由此得到 ，B=-3，所以選 C。

〖思路點(diǎn)撥二〗上面的解答方法依然是用傳統(tǒng)的方式進(jìn)行解答，可將向量轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的平移過(guò)程，然后求出答案。

〖解〗由向量 =（，-3）可以知道函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)了兩次位移，在 x 軸上平移了 個(gè)單位，在 y 軸上平移了 -3 個(gè)單位，然后得到 y=sin2（x+）-3，也就是 ，由此得到 ，B=-3，所以選 C。

三角函數(shù)是許多學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，在三角函數(shù)中有許多問(wèn)題都是關(guān)于圖象的平移。在解題的過(guò)程中，如果將平移與向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，那么就能夠?qū)⒔忸}過(guò)程簡(jiǎn)單化，提高解題的效率。

向量在高中數(shù)學(xué)中具有很大的實(shí)用性，在許多情況下利用向量進(jìn)行解答會(huì)快捷得多。因此在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，要注重向量理念的教學(xué)，為學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)找到一條新的方向。

（責(zé)編 盧建龍）