鐘珍玖

圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)是初中階段最為常見的三種圖形的變換，是數(shù)學(xué)中考的重點(diǎn)內(nèi)容和必考內(nèi)容之一.這類問題的特點(diǎn)是圖形復(fù)雜多變，涉及的知識點(diǎn)多，難度較大，但也有一定的解題方法和技巧.抓住問題的本質(zhì)，踩點(diǎn)解答，則可化難為易.

例1 （2015·寧夏）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，4），△OAB沿x軸向右平移后得到△O′A′B′，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′是直線y=[45]x上一點(diǎn)，則點(diǎn)B與其對應(yīng)點(diǎn)B′間的距離為 .

【考點(diǎn)】圖形平移的性質(zhì)，一次函數(shù)圖像與性質(zhì).

【解答】由平移的性質(zhì)可知，OA=O′A′，所以O(shè)′A′=4，點(diǎn)A′是直線y=[45]x上一點(diǎn)，y=4時，x=5，所以AA′=BB′=5.

【評析】對于圖形的平移要抓住平移的特征：對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一直線上）且相等，平移前后的圖形全等.

例2 （2015·常州）將一張寬為4cm的長方形紙片（足夠長）折疊成如圖2所示圖形，重疊部分是一個三角形，則這個三角形面積的最小值是（ ）.

A.[833]cm2 B.8cm2

C.[1633]cm2 D.16cm2

【考點(diǎn)】等腰三角形的判定，垂線段最短，軸對稱圖形性質(zhì).

【解答】把折疊的紙片還原（如圖3），由軸對稱的性質(zhì)“成軸對稱的兩個圖形全等”，可得∠1=∠2，易得∠1=∠ABC，所以∠ABC=∠2，AB=AC.又AB邊上的高是定值（紙片的寬），要使三角形的面積最小，只需線段AB最短，也就是線段AC最短，此時AC⊥AB，AC=AB=4，三角形的面積為8，選B.

【評析】圖形的折疊的特征就是折疊的兩部分全等，利用對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等來解決問題.

例3 如圖4，圓柱形容器，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁距容器底部0.3m的點(diǎn)B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，在離容器上沿0.3m與蚊子相對的點(diǎn)A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為 m.（容器厚度忽略不計）

【考點(diǎn)】勾股定理，圓柱的側(cè)面展開.

【解答】因?yàn)楸诨⑴c蚊子在相對的位置，則壁虎在圓柱側(cè)面展開圖矩形兩邊中點(diǎn)的連線上，如圖5所示，要求壁虎捉蚊子的最短距離，實(shí)際上是求在EF上找一點(diǎn)P，使PA+PB最短，過A作EF的對稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B與EF的交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P，過B作BM⊥AA′于點(diǎn)M，在Rt△A′MB中，A′M=1.2，BM=0.5.

所以A′B=[A′M2+BM2]=1.3，

所以壁虎捉蚊子的最短距離為1.3m.

【評析】先運(yùn)用化立體為平面的思想，把問題轉(zhuǎn)化為平面問題，然后利用軸對稱的性質(zhì)把直線同側(cè)的兩點(diǎn)A、B轉(zhuǎn)化到直線EF的兩側(cè)，利用三點(diǎn)共線時線段和最短來求PA+PB的最小值.

例4 如圖6，矩形ABCD中，AD=5，AB=7.點(diǎn)E為DC上一個動點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，如果點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的角平分線上，求DE的長.

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)，勾股定理.

【解答】過D′作D′F⊥AB交AB于F，延長FD′交CD于G.

如圖6（1），由翻折得△EDA≌△ED′A，

則ED=ED′，AD=AD′=5，

設(shè)AF=x，則BF=7-x，在Rt△BD′F中，因?yàn)镈′B是∠ABC的平分線，所以∠ABD′=45°，則D′F=BF=7-x，

在Rt△AD′F中，AD′2=AF2+D′F2，即52=（7-x）2+x2，解得x=4或x=3，即D′F=BF=3或4.

當(dāng)x=4時，如圖6（1），設(shè)DE=y，在Rt△D′GE中，EG=4-y，ED′=y，GD′=2，即（4-y）2+22=y2，解得y=[52]，即DE=[52].

當(dāng)x=3時，如圖6（2），設(shè)DE=y，在Rt△D′GE中，EG=3-y，ED′=y，GD′=1，

綜上所述，DE的長為[52]或[53].

【評析】翻折后圖形常常比較復(fù)雜，要善于在復(fù)雜的圖形中找到基本圖形，運(yùn)用勾股定理和三角形相似是求線段長度的基本方法.

例5 在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（0，2），點(diǎn)E、F分別為OA、OB的中點(diǎn).若正方形OEDF繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，得正方形OE′D′F′，記旋轉(zhuǎn)角為α.

（1）如圖7（1），當(dāng)α=90°時，求AE′、BF′的長；

（2）如圖7（2），當(dāng)α=135°時，求證：AE′=BF′，且AE′⊥BF′；

（3）若直線AE′與直線BF′相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值.（直接寫出結(jié)果即可）

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，勾股定理，全等三角形判定和性質(zhì)，解直角三角形.

【解答】（1）當(dāng)α=90°時，點(diǎn)E′與點(diǎn)F重合.

∵點(diǎn)E、F分別為OA、OB的中點(diǎn)，

∴OE=OF=1.

∵正方形OE′D′F′是正方形OEDF繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，

∴OE′=OE=1，OF′=OF=1.

在Rt△AE′O中，

AE′=[OA2+OE′2]=[22+12]=[5].

在Rt△BOF′中，

BF′=[OB2+OF′2]=[22+12]=[5].

∴AE′、BF′的長都等于[5].

本題共10分，其中第（1）題3分，由中點(diǎn)定義寫出OE=OF=1得1分，用兩次勾股定理求出AE′、BF′的長都等于[5]再得2分.

（2）∵正方形OE′D′F′是由正方形OEDF繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)135°所得，

∴∠AOE′=∠BOF′=135°.

在△AOE′和△BOF′中，

[OA=OB，∠AOE′=∠BOF′OE′=OF′，]，

∴△AOE′≌△BOF′.

∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′.

∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP，

∴∠CPB=∠AOC=90°，

∴AE′⊥BF′.

第（2）題共4分，利用全等三角形的判定得出△AOE′≌△BOF′得2分，由全等三角形性質(zhì)得出AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′再得1分，得出AE′⊥BF′可得1分.

（3）在第一象限內(nèi)，當(dāng)點(diǎn)D′與點(diǎn)P重合時，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)最大.

過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，如圖7（3）所示.

∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2，

∴∠E′AO=30°，AE′=[3]，

∴AP=[3]+1.

∵∠AHP=90°，∠PAH=30°，

∴PH=[12]AP=[3+12]，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的最大值為[3+12].

寫出點(diǎn)P縱坐標(biāo)的最大值可直接得3分，不需要寫出解答過程.

【評析】圖形的旋轉(zhuǎn)是一個動態(tài)的問題，需要動手畫圖探究運(yùn)動過程.第（2）小題是一個推理問題，每個步驟都應(yīng)該有依據(jù)，涉及定理運(yùn)用的部分要把符號語言書寫規(guī)范.

對于圖形變化類問題要充分運(yùn)用平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的特征，踩準(zhǔn)關(guān)鍵點(diǎn)，找到解題的突破口，在解答時凡是涉及法則、定義、定理時，都要規(guī)范書寫，避免不必要的失分.

（作者單位：江蘇省江陰市第一初級中學(xué)）