理知識(shí)脈絡(luò)抓重點(diǎn)難點(diǎn)看問題本質(zhì)

姜鴻雁

一、關(guān)注圖形變化前后的“對(duì)應(yīng)”

無論哪類圖形變換，關(guān)注圖形變化前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系是關(guān)鍵，關(guān)注對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊，則便于發(fā)現(xiàn)平移的距離、旋轉(zhuǎn)的角度、對(duì)稱軸或比例線段等關(guān)于圖形變換的重要“指標(biāo)”，也便于運(yùn)用各類圖形變換的性質(zhì)，使問題迎刃而解.

例1 （2016·新疆）如圖1，將一個(gè)含30°角的直角三角板ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)B、A、C′在同一條直線上，則三角板ABC旋轉(zhuǎn)的角度是（ ）.

A.60° B.90° C.120° D.150°

【解析】C、C′是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，AC、AC′是對(duì)應(yīng)邊，因?yàn)閷?duì)應(yīng)邊夾角是旋轉(zhuǎn)角，所以∠CAC′是旋轉(zhuǎn)角，所以本題選D.

例2 （2016·泰州）如圖2，在△ABC中，BC=5cm，將△ABC沿BC方向平移至△A′B′C′的對(duì)應(yīng)位置時(shí)，A′B′恰好經(jīng)過AC的中點(diǎn)O，則△ABC平移的距離為 cm.

【解析】圖形平移的距離是指對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，即BB′或CC′的長(zhǎng)，由平移的性質(zhì)知對(duì)應(yīng)邊平行，易得△OB′C∽△ABC，因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，所以相似比為[12]，則B′C=2.5（cm），所以BB′=2.5（cm）.

二、關(guān)注圖形變化中整體與部分的關(guān)系

無論哪類圖形變換，部分與整體之間都存在著依存關(guān)系：圖形上每個(gè)點(diǎn)隨著圖形整體做相同方式運(yùn)動(dòng).

例3 （2016·青島）如圖3，線段AB經(jīng)過平移得到線段A′B′，其中點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，這四個(gè)點(diǎn)都在格點(diǎn)上.若線段AB上有一個(gè)點(diǎn)P（a，b），則點(diǎn)P在A′B′上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（ ）.

A.（a-2，b+3） B.（a-2，b-3）

C.（a+2，b+3） D.（a+2，b-3）

【解析】因?yàn)樵谶\(yùn)動(dòng)過程中，圖形上所有的點(diǎn)都按相同的變化規(guī)律運(yùn)動(dòng)，雖然點(diǎn)P不是格點(diǎn)，但可以從線段端點(diǎn)A或B（它們是格點(diǎn)）容易發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律是：向左平移2個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位，所以答案為A.

三、關(guān)注坐標(biāo)中“藏”著的“秘密”

當(dāng)圖形放置在平面直角坐標(biāo)系下，坐標(biāo)可以確定圖形的位置，圖形的運(yùn)動(dòng)方式也可以通過坐標(biāo)的方式來體現(xiàn)，善于發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)中的“秘密”，是我們發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的一條重要途徑.

例4 （2016·濱州）正五邊ABCDE放入某平面直角坐標(biāo)系后，若頂點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)分別是（0，a）、（-3，2）、（b，m）、（c，m），則點(diǎn)E的坐標(biāo)為（ ）.

A.（2，-3） B.（2，3）

C.（3，2） D.（3，-2）

【解析】正五邊形是軸對(duì)稱圖形，由A點(diǎn)坐標(biāo)可知它在y軸上，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)“告訴”我們CD平行于x軸，所以本題的本質(zhì)就是求B點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)E的坐標(biāo)，故選C.

例5 （2016·河南）如圖4，已知菱形OABC的頂點(diǎn)O（0，0），B（2，2），若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）.

A.（1，-1） B.（-1，-1）

C.（[2]，0） D.（0，-[2]）

【解析】點(diǎn)B坐標(biāo)（2，2）“藏”著OB與x軸夾角是45°，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則意味著每8秒，點(diǎn)B回到原處，60秒時(shí)，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到第三象限，而菱形繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)B、對(duì)角線交點(diǎn)D也同樣隨整體一起旋轉(zhuǎn)，所以此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（-1，-1）.

四、圖形的變化是重要思想方法與策略

圖形的變化不僅是一個(gè)個(gè)具體的知識(shí)，也是我們解決問題的重要思想方法與策略，巧妙運(yùn)用圖形變化思想，有助于我們發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，繞開易錯(cuò)的煩惱，達(dá)到事半功倍的效果.

例6 （2016·淄博）如圖5是由邊長(zhǎng)相同的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、P、Q四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，線段AB、PQ相交于點(diǎn)M，則圖中∠QMB的正切值為 .

【解析】在網(wǎng)格問題中，應(yīng)該關(guān)注格點(diǎn)，也“希望”要求的目標(biāo)與格點(diǎn)相關(guān)，將線段AB上移一格再右移一格，使B、Q重合（如圖6），由平移性質(zhì)得∠QMB=∠FQP，且△FQP是直角三角形，所以tan∠QMB=tan∠FQP=2.

例7 （2015·婁底）一塊三角板ABC按如圖7所示的方式放置，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），直角頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），∠B=30°，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為 【解析】過B點(diǎn)作BD⊥x軸于D，由相似變換可知△OCA∽△DBC，又因?yàn)樵赗t△ABC中，∠B=30°，所以兩個(gè)三角形的相似比為[1∶3]，則DC=[3]，DB=[33].在求B點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，我們可以這樣思考：B點(diǎn)是由C點(diǎn)向左平移[3]再向上平移[33]個(gè)單位得到的，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3-[3]，[33]）.用動(dòng)態(tài)的思想求點(diǎn)的坐標(biāo)，可以免去線段的長(zhǎng)與坐標(biāo)符號(hào)的正負(fù)性導(dǎo)致的錯(cuò)誤.

結(jié)束語：圖形的變化既體現(xiàn)在位置關(guān)系的變化上也體現(xiàn)在數(shù)量關(guān)系的變化上，可以單一變化，也可以組合變化，可以從知識(shí)認(rèn)識(shí)它們，更要從解決問題的方法和策略上去認(rèn)識(shí)它們，它們?cè)诤魡疚覀円朴谟脛?dòng)態(tài)的眼光去看待一個(gè)靜態(tài)的圖形，用這種獨(dú)特的方式可以提升我們的思維能力.

（作者單位：江蘇省無錫市河埒中學(xué)）