中考中扇環(huán)問(wèn)題分析

董月紅

在兩個(gè)同心圓中，任作兩條半徑，它們與圓相交，形成的四邊形我們稱為扇環(huán)，如圖1陰影部分.近年來(lái)，扇環(huán)問(wèn)題頻頻出現(xiàn)在中考中.有面積問(wèn)題，弧長(zhǎng)問(wèn)題等，這類中考題大多以現(xiàn)實(shí)生活為背景，經(jīng)常與解直角三角形、方程（組）綜合在一起.對(duì)于求陰影面積的有關(guān)考題，常用的方法有：直接應(yīng)用公式法，和差法，割補(bǔ)法等.

例1 （2005·山西）圖2是一紙杯，它的母線AC和EF延長(zhǎng)后形成的立體圖形是圓錐.該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形OAB.經(jīng)測(cè)量，紙杯上開(kāi)口圓的直徑為6cm，下底面直徑為4cm，母線長(zhǎng)EF=8cm.求扇形OAB的圓心角及這個(gè)紙杯的表面積.（圖形計(jì)算結(jié)果用π表示）

【分析】[AB]的長(zhǎng)度就是紙杯上開(kāi)口圓的周長(zhǎng)，[CD]的長(zhǎng)度就是下底面圓的周長(zhǎng)，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可求出OA的長(zhǎng)度，∠AOB的度數(shù)，從而求出扇環(huán)的面積.

解：由題意可知：[AB]的長(zhǎng)度為6π，[CD]的長(zhǎng)度為4π，設(shè)∠AOB=n°，OA=R，則OC=R-8.

由弧長(zhǎng)公式得：[nπR180]=6π，[nπ（R-8）180]=4π.解方程組[6×180=nR，4×180=nR-8n.]得[n=45，R=24.]

即扇形OAB的圓心角是45°.

∵R=24，∴R-8=16.

∴S扇形OCD=[12]×4π×16=32π，

S扇形OAB=[12]×6π×24=72π，

S紙杯側(cè)面積=72π-32π=40π.

S紙杯底面積=π×22=4π，從而S紙杯表面積=44π.

【評(píng)析】對(duì)由多部分構(gòu)成的面積問(wèn)題，需先明確要計(jì)算哪一部分的面積，它可通過(guò)哪些圖形進(jìn)行分割或拼湊而得到.

例2 （2016·黃石）如圖3所示，正方形ABCD對(duì)角線AC所在直線上有一點(diǎn)O，OA=AC=2，將正方形繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，正方形掃過(guò)的面積是 .

【分析】如圖3，正方形繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，所掃過(guò)的圖形是扇環(huán)的面積再加上正方形ABCD的面積.

解：∵OA=AC=2，

∴AB=BC=CD=AD=[2]，OC=4，

S陰影=[60?π?42360]-[60?π?22360]+[2]2

=2π+2.

故答案為：2π+2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了扇形的面積公式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理，能夠把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)換為規(guī)則圖形的面積是解答此題的關(guān)鍵.

例3 （2015·宜賓）如圖4，以點(diǎn)O為圓心的20個(gè)同心圓，它們的半徑從小到大依次是1、2、3、4、……、20，陰影部分是由第1個(gè)圓和第2個(gè)圓，第3個(gè)圓和第4個(gè)圓，……，第19個(gè)圓和第20個(gè)圓形成的所有圓環(huán)，則陰影部分的面積為（ ）.

A.231π B.210π C.190π D.171π

【分析】根據(jù)題意求出各個(gè)圓環(huán)的面積，進(jìn)而求出它們的和.

解：由題意知，陰影部分的面積為π（22-12）+π（42-32）+π（62-52）+…+π（202-192）=π（3+7+11+15+…+39）=π·5（3+39）=210π，選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平方差公式，求自然數(shù)和等知識(shí).

例4 （2016·福田二模）如圖5，⊙O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點(diǎn)P是[AD]上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥CD于點(diǎn)N，點(diǎn)Q是MN的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿[AD]轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D處時(shí)，線段PQ掃過(guò)的面積為 .

【分析】矩形的對(duì)角線相等且互相平分，即MN=OP=2，OQ=1，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿[AD]轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D處時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心角為90°，線段PQ掃過(guò)的面積是圓心角為90°的扇環(huán).

解：連接OP，由矩形性質(zhì)知：OP=MN，且它們相交于中點(diǎn)Q，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿[AD]轉(zhuǎn)動(dòng)到點(diǎn)D處時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)的圖形是90°扇環(huán).線段PQ掃過(guò)的面積為[90?π?22360]-[90?π?12360]=[34]π.

【評(píng)析】解題的關(guān)鍵是要明確點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，以1為半徑，圓心角為90°的扇形；點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心，以2為半徑，圓心角等于90°的扇形.所以線段PQ運(yùn)動(dòng)的路線是以O(shè)為圓心的扇環(huán).

例5 （2015·樂(lè)山）如圖6，已知A（[23]，2）、B（[23]，1），將△AOB繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′（-2，[23]）的位置，則圖中陰影部分的面積為 .

【分析】設(shè)以O(shè)為圓心，以O(shè)B為半徑的圓交OA于C，交OA′于C′，則曲邊形ABC的面積等于曲邊形A′B′C′的面積，所以陰影部分的面積等于扇環(huán)的面積..

解：∵A（[23]，2）、B（[23]，1），

∴OA=4，OB=[13]，

∵由A（[23]，2）旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)A′（-2，[23]），

∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，S曲邊形ABC=S曲邊形A′B′C′，∴陰影部分的面積等于S陰影=[90?π?42360]-[90?π?132360]=[34]π.

【評(píng)析】利用分割法將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則的圖形，由條件A、A′的坐標(biāo)求出∠AOA′的度數(shù)為90°是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）