平面區(qū)域的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑*

劉潯冰，劉雅萍，楊宗信

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 江西 南昌 330022)

平面區(qū)域的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑*

劉潯冰，劉雅萍，楊宗信

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 江西 南昌 330022)

研究了對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)意義下平面區(qū)域的單葉性內(nèi)徑，討論了對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)意義下單葉性內(nèi)徑的相關(guān)性質(zhì)，得到了角域的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑的上界估計(jì)。

對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)；單葉性內(nèi)徑；萬(wàn)有Teichmüller空間

定義區(qū)域D的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑τ(D)為

類似地，對(duì)于區(qū)域D內(nèi)局部單葉的解析函f，可以定義f的Schwarz導(dǎo)數(shù)

在D內(nèi)單葉}

Becker[1]最早得到了對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單葉性的關(guān)系，然后，Becker-Pommerenke[2]研究了單位圓內(nèi)局部單葉的解析函數(shù)的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)與擬共形延拓的關(guān)系。1986年，Zhuravlev[3]及Astala-Gehring[4]建立了對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)意義下的萬(wàn)有Teichmüller空間模型，激起了許多研究者的濃厚興趣，人們首先想到的是與Schwarz導(dǎo)數(shù)意義下的Bers嵌入的萬(wàn)有Teichmüller空間模型進(jìn)行對(duì)比研究。

可是，對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)所涉及的條件遠(yuǎn)比Schwarz導(dǎo)數(shù)的條件弱，所以，兩種萬(wàn)有Teichmüller空間模型之間雖有一些類似性質(zhì)，但在某些性質(zhì)上也有巨大差別。例如，Schwarz導(dǎo)數(shù)萬(wàn)有Teichmüller空間是連通的，而對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)萬(wàn)有Teichmüller空間卻有無(wú)窮多個(gè)分支；Schwarz導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑取得最大值的區(qū)域只有圓域和半平面，而對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑取得最大值的區(qū)域可以是除圓域和半平面以外的凸區(qū)域。

關(guān)于區(qū)域的Schwarz導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑的精確值，已知的結(jié)果包括圓域(半平面)、角域、正多邊形區(qū)域、菱形、某些矩形和某些等角六邊形區(qū)域，所有這些結(jié)果都建立在與角域進(jìn)行比較的基礎(chǔ)上再根據(jù)Schwarz導(dǎo)數(shù)的范數(shù)在M?bius變換下的不變性而得到的。

對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的范數(shù)僅在仿射變換下保持不變，目前只知道任何邊界多于兩點(diǎn)的單連通區(qū)域D有τ(D)≤1。Astala-Gehring[4]證明了當(dāng)且僅當(dāng)D是擬圓時(shí)τ(D)>0。Stowe[5]證明了：當(dāng)D為凸區(qū)域時(shí)，τ(D)≤1；當(dāng)區(qū)域D非凸時(shí)，τ(D)<1。程濤等通過構(gòu)造擬共形反射等方法給出了某些區(qū)域的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑的下界估計(jì)[4-12]。

由于得不到角域的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑的精確值，所以不能像研究Schwarz導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑那樣通過區(qū)域的核收斂來(lái)得到單葉性內(nèi)徑的上界和下界。我們研究對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)范數(shù)的性質(zhì)，并用于估計(jì)單葉性內(nèi)徑。

設(shè)f,g是區(qū)域D內(nèi)局部單葉的解析函數(shù)，h是區(qū)域G到區(qū)域D上的共形映射，則ρG=(ρD°h)|h′|，由

即

Tf°h(z)=Tf(h(z))·h′(z)+Th(z)

(1)

Tf°h-Tg°h=(Tf°h-Tg°h)h′

從而有

‖Tf-Tg‖D=‖Tf°h-Tg°h‖G

特別地，若g=h-1是區(qū)域D上的共形映射，則由此可得

再令f為恒等映射，則有

當(dāng)g=h-1是區(qū)域D上的仿射變換時(shí)，有

由引理1可知g在B內(nèi)單葉，從而f在區(qū)域D=h(B)內(nèi)單葉，即τ(D)=τ(h(B))≥1。

注1 當(dāng)h滿足h′(0)≠0，且有

1 凸區(qū)域

其中φ(z)在單位圓B內(nèi)解析且|φ(z)|≤1。

證明 對(duì)于z∈B，由于|ω(z)|≤|z|<1，有|1-ω(z)|≥1-|ω(z)|≥1-|z|>0，所以

從而

因此，

從而有

所以

是凸區(qū)域。

仍用f記規(guī)范化后的函數(shù)F。設(shè)f將圓周|z|=r<1映為曲線Cr，(見文[8],P43),由

可得

即曲線Cr上的切方向與正實(shí)軸的夾角是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。當(dāng)一點(diǎn)z沿Cr正向繞行一周時(shí)，切方向與正實(shí)軸的夾角增量為

因此，Cr是包圍凸區(qū)域的一條簡(jiǎn)單閉曲線。由|z|=r<1的任意性，f是單位圓B內(nèi)的共形映照。

2 正n邊形區(qū)域

定理4 設(shè)Pn為正n邊形區(qū)域，則τ(Pn)≥1-4/n。

證明 作單位圓盤B到正n邊形區(qū)域Pn上的共形映射

通過計(jì)算得

首先，

其次，由

可知

注3 當(dāng)n=3,4時(shí)，結(jié)果是平凡的；當(dāng)n→∞時(shí)，τ(Pn)→1。

3 角域Ak

引理3[5]若D是凸區(qū)域，則τ(D)≤1。

引理4[5]若D為非凸區(qū)域，則τ(D)<1。

利用復(fù)合函數(shù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的范數(shù)表達(dá)式，通過估計(jì)Riemann映射的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)的范數(shù)，我們給出單連通區(qū)域的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑的下界估計(jì)。

對(duì)于角域Ak={z:0

由此我們可以得到τ(Ak)的一個(gè)上界。

引理6τ(Ak)≤2k。

令z=reiθ，則容易算得(也可由文[7]，P123)，有

所以

由引理3-6，我們得到角域Ak的對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)單葉性內(nèi)徑的一個(gè)估值。

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On the inner radius of univalency by pre-Schwarzian derivative

LIUXunbing，LIUYaping，YANGZongxin

(School of Mathematics and Informatics, Jiangxi Normal University, Nanchang 330022, China)

The inner radius of univalency of hyperbolic domains by pre-Schwazian derivative is studied, Some properties for the norm of pre-Schwarzian derivative and inner radius are established. As an application, the bounds of inner radius for angular domains are obtained.

pre-Schwarzian derivative; inner radius of univalency; universal Teichmüller space

2016-06-15 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11261022)

劉潯冰(1995年生)，女；研究方向：函數(shù)論；E-mail:ashnilx@ 163.com

楊宗信(1966年生)，男；研究方向：復(fù)分析；E-mail:yangzxn@ 163.com

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.02.009

O

A

0529-6579(2017)02-0053-04