數(shù)學(xué)中的化歸思想

張生蘭

一、化歸思想的概念

人們在面對數(shù)學(xué)問題，如果直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，把這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。

從小學(xué)到中學(xué)，數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)一個由易到難、從簡到繁的過程；然而，人們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解和掌握數(shù)學(xué)的過程中，卻經(jīng)常通過把陌生的知識轉(zhuǎn)化為熟悉的知識、把繁難的知識轉(zhuǎn)化為簡單的知識，從而逐步學(xué)會解決各種復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。因此，化歸既是一般化的數(shù)學(xué)思想方法，具有普遍的意義；同時，化歸思想也是攻克各種復(fù)雜問題的法寶之一，具有重要的意義和作用。

二、化歸所遵循的原則

化歸思想的實質(zhì)就是在已有的簡單的、具體的、基本的知識的基礎(chǔ)上，把未知化為已知、把復(fù)雜化為簡單、把一般化為特殊、把抽象化為具體、把非常規(guī)化為常規(guī)，從而解決各種問題。因此，應(yīng)用化歸思想時要遵循以下幾個基本原則：

（1）數(shù)學(xué)化原則，即把生活中的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，從而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識找到解決問題的方法。數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的之一就是要利用數(shù)學(xué)知識解決生活中的各種問題，課程標準特別強調(diào)的目標之一就是培養(yǎng)實踐能力。因此，數(shù)學(xué)化原則是一般化的普遍的原則之一。

（2）熟悉化原則，即把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。人們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，就是一個不斷面對新知識的過程；解決疑難問題的過程，也是一個面對陌生問題的過程。從某種程度上說，這種轉(zhuǎn)化過程對學(xué)生來說既是一個探索的過程，又是一個創(chuàng)新的過程；與課程標準提倡培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和創(chuàng)新精神是一致的。因此，學(xué)會把陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，是一個比較重要的原則。

（3）簡單化原則，即把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題。對解決問題者而言，復(fù)雜的問題未必都不會解決，但解決的過程可能比較復(fù)雜。因此，把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題，尋求一些技巧和捷徑，也不失為一種上策。

（4）直觀化原則，即把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的問題。數(shù)學(xué)的特點之一便是它具有抽象性。有些抽象的問題，直接分析解決難度較大，需要把它轉(zhuǎn)化為具體的問題，或者借助直觀手段，比較容易分析解決。因而，直觀化是中小學(xué)生經(jīng)常應(yīng)用的方法，也是重要的原則之一。

三、化歸思想的具體應(yīng)用

學(xué)生面對的各種數(shù)學(xué)問題，可以簡單地分為兩類：一類是直接應(yīng)用已有知識便可順利解答的問題；另一種是陌生的知識、或者不能直接應(yīng)用已有知識解答的問題，需要綜合地應(yīng)用已有知識或創(chuàng)造性地解決的問題。如知道一個長方形的長和寬，求它的面積，只要知道長方形面積公式的人，都可以計算出來，這是第一類問題；如果不知道平行四邊形的面積公式，通過割補平移變換把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，推導(dǎo)出它的面積公式，再計算面積，這是第二類問題。對于廣大中小學(xué)生來說，他們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中所遇到的很多問題都可以歸為第二類問題，并且要不斷地把第二類問題轉(zhuǎn)化為第一類問題。解決問題的過程，從某種意義上來說就是不斷地轉(zhuǎn)化求解的過程，因此，化歸思想應(yīng)用非常廣泛。

四、解決問題中的化歸策略

1.化抽象問題為直觀問題

數(shù)學(xué)的特點之一是它具有很強的抽象性，這是每個想學(xué)好數(shù)學(xué)的人必須面對的問題。從小學(xué)到初中，再到高中，數(shù)學(xué)問題的抽象性不斷加強，學(xué)生的抽象思維能力在不斷接受挑戰(zhàn)。如果能把比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為操作或直觀的問題，那么不但使得問題容易解決，經(jīng)過不斷的抽象→直觀→抽象的訓(xùn)練，學(xué)生的抽象思維能力也會逐步提高。

2.化繁為簡的策略

有些數(shù)學(xué)問題比較復(fù)雜，直接解答過程會比較繁瑣，如果在結(jié)構(gòu)和數(shù)量關(guān)系相似的情況下，從更加簡單的問題入手，找到解決問題的方法或建立模型，并進行適當檢驗，如果能夠證明這種方法或模型是正確的，那么該問題一般來說便得到解決。

3.化未知問題為已知問題

對于學(xué)生而言，學(xué)習(xí)的過程是一個不斷面對新知識的過程，有些新知識通過某些載體直接呈現(xiàn)，如面積和面積單位，通過一些物體或圖形直接引入概念；而有些新知識可以利用已有知識通過探索，把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識進行學(xué)習(xí)。如平行四邊形面積公式的學(xué)習(xí)，通過割補平移，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形求面積。這種化未知為已知的策略，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常常見。下面舉例說明。

4.化一般問題為特殊問題

數(shù)學(xué)中的規(guī)律一般具有普遍性，但是對于小學(xué)生而言，普遍的規(guī)律往往比較抽象，較難理解和應(yīng)用。如果舉一些特殊的例子運用不完全歸納法加以猜測驗證，也是可行的解決問題的策略。下面舉例說明。

化歸思想作為最重要的數(shù)學(xué)思想之一，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決數(shù)學(xué)問題的過程中無所不在，對于學(xué)生而言，要學(xué)會善于運用化歸的思想方法解決各種復(fù)雜的問題，最終達到在數(shù)學(xué)的世界里舉重若輕的境界。

參考文獻：

[1]《2011版小學(xué)課程標準解讀》.

[2]人教版一至六年級《小學(xué)數(shù)學(xué)教師參考用書》.