漸開線直齒圓柱齒輪修形優(yōu)化探討

孫禹鋒+陳鳳騰+韋欣

摘要：為了減小齒輪嚙合過程中的接觸應(yīng)力，在傳統(tǒng)齒廓修形理論的基礎(chǔ)上，以嚙合齒輪的傳動(dòng)誤差最小為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用遺傳算法對齒輪的修形參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，同時(shí)采用有限元分析的方法對修形前后的齒輪進(jìn)行對比分析。結(jié)果表明，在確保滿足齒輪傳誤差最小的條件下，用該方法確定的齒輪優(yōu)化修形參數(shù)，可以減小齒輪嚙合過程中的齒根處44.43%接觸應(yīng)力。

關(guān)鍵詞：直齒圓柱齒輪；遺傳算法；有限元分析；傳動(dòng)誤差；接觸應(yīng)力 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

中圖分類號：TH123 文章編號：1009-2374（2017）07-0037-03 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2017.07.017

齒輪傳動(dòng)是機(jī)械傳動(dòng)中重要的傳動(dòng)之一，而實(shí)際齒輪的傳動(dòng)往往受到齒輪失效因素的影響，因此提出齒輪齒廓修形來減小齒輪變形對傳動(dòng)產(chǎn)生的影響。國內(nèi)外不少學(xué)者對齒輪齒廓修形進(jìn)行了大量研究，Muthusamy Nataraj利用ANSYS軟件建立嚙合齒輪，并分析齒輪修形前后的應(yīng)力變化及分布；國內(nèi)的楊延力、周志峰等人詳細(xì)地給出了齒輪齒廓修形參數(shù)的計(jì)算方法；孫建國基于有限元計(jì)算齒輪修形對嚙入沖擊的影響。

上述研究雖然提出了齒輪修形參數(shù)的確定方法，但是沒有考慮實(shí)際狀況造成齒輪的傳遞誤差對修形參數(shù)的影響。而在實(shí)際應(yīng)用中，傳動(dòng)齒輪由于振動(dòng)而引起疲勞斷裂的可能性會急劇增加，嚴(yán)重危及了傳動(dòng)齒輪的壽命。故本文以齒輪齒廓修形為基礎(chǔ)，采用遺傳算法，以減小齒輪傳動(dòng)誤差波動(dòng)為目標(biāo)，優(yōu)化齒輪修形參數(shù)，并應(yīng)用ANSYS軟件對優(yōu)化前后齒輪分析和驗(yàn)證。

1 漸開線齒輪修形參數(shù)

齒輪齒廓修形的具體操作方法就是把原來的漸開線齒廓在接近齒根圓角或者齒頂?shù)牡胤叫奕ズ苄∫徊糠?，使其偏離理論齒廓。該修形可減輕主動(dòng)輪與從動(dòng)輪之間，由受載變形所引起的嚙合沖擊以及傳動(dòng)誤差。

目前齒輪齒廓修形通常有以下兩種方法：一種方法是在一個(gè)齒輪的齒頂和齒根上進(jìn)行修形，相嚙合的另一個(gè)齒輪不進(jìn)行修形；另一種方法是同時(shí)對嚙合齒輪進(jìn)行修形。齒廓修形主要圍繞圖，中三個(gè)基本要素最大修形量、修形長度和修形曲線展開。三要素的修形示意圖如圖1所示：

本文選擇傳動(dòng)誤差最小為優(yōu)化的目標(biāo)，可以化簡計(jì)算的過程，在結(jié)合袁哲等人的方法前提下，對齒輪修形三要素進(jìn)行改進(jìn)。令主從動(dòng)齒輪的最大修形量分別為和，修形角度分別為和，使齒輪修形參數(shù)如圖2所示。

設(shè)m為齒輪模數(shù)，則齒輪齒形修整量一般為0.02m以下，修整高度為0.6m以下。把修整高度換算成修形角度，得到修形角度和修形量的最大值分別為64.331m和0.06m，最小值為應(yīng)用遺傳算法在0.01和10范圍內(nèi)搜索最佳修形量。

2 確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

為了讓傳動(dòng)誤差最小，為此將其作為目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)用單目標(biāo)遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化求解。

遺傳算法是一種自適應(yīng)全局優(yōu)化概率搜索算法，應(yīng)用算法求解問題時(shí)，在編碼規(guī)則、適應(yīng)度函數(shù)和遺傳算子確定以后，算法能夠利用計(jì)算過程中解的變化自動(dòng)發(fā)現(xiàn)空間的特征和規(guī)律。遺傳算法具有實(shí)用、高效、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，并且在解決非線性、多目標(biāo)優(yōu)化等模型上體現(xiàn)出較好的性能，適合齒輪齒廓修形的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

適應(yīng)度函數(shù)：由于本文研究的是最小值問題，因此設(shè)置適應(yīng)度函數(shù)與目標(biāo)函數(shù)相同，適應(yīng)度函數(shù)值越高的染色體被選中的機(jī)會越大。

復(fù)制：遺傳算法中的復(fù)制是指從種群中選擇生命力強(qiáng)的個(gè)體，并將其遺傳到下一代的過程，本文中該過程可以選擇采用俄羅斯輪盤賭法即通過每個(gè)個(gè)體的選擇概率，計(jì)算累計(jì)概率。第k個(gè)個(gè)體的累計(jì)概率為。然后產(chǎn)生0到1之間的隨機(jī)數(shù)e與進(jìn)行比較來決定選擇個(gè)體。

交叉：交叉現(xiàn)象模擬了生物進(jìn)化中的繁殖現(xiàn)象，通過兩個(gè)舊的染色體的交叉互換產(chǎn)生新的染色體。本文采用隨機(jī)的方式在兩個(gè)染色體之間隨機(jī)選擇兩個(gè)點(diǎn)位進(jìn)行互換。

變異：變異運(yùn)算模擬生物在自然繁殖過程中由于偶然因素引起的突變，若沒有，則無法在初始基因組合以外的空間進(jìn)行搜索，將會使算法陷入早期局部最優(yōu)解而終止運(yùn)算。定義為變異操作的概率，本文中取變異概率。即每次染色體交換以后，通過變異算子以概率隨機(jī)反轉(zhuǎn)任意一個(gè)基因位的二進(jìn)制字符，產(chǎn)生新的染色體。

3 計(jì)算實(shí)例與討論

3.1 原始齒輪應(yīng)力分析

在建立一對漸開線嚙合齒輪的三維模型，其中齒輪基本參數(shù)模數(shù)m=4，齒數(shù)z=20，其他參數(shù)如表1所示，將完成的模型導(dǎo)入ANSYS軟件中。

齒輪動(dòng)態(tài)瞬時(shí)接觸分析基本參數(shù)設(shè)置如下，齒輪材料為結(jié)構(gòu)剛、使用默認(rèn)的網(wǎng)格劃分方法，并對齒輪嚙合面處使用sizing進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化。

3.1.1 邊界條件進(jìn)行設(shè)置：設(shè)定轉(zhuǎn)動(dòng)副載荷，主動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)副載荷設(shè)置為轉(zhuǎn)速；從動(dòng)輪轉(zhuǎn)動(dòng)副載荷設(shè)置為轉(zhuǎn)矩，分別為、。

3.1.2 接觸函數(shù)的選擇與設(shè)置：本文齒輪嚙合表面接觸函數(shù)選擇為加強(qiáng)拉格朗日函數(shù)，摩擦系數(shù)設(shè)置為0.2；法向剛度因子FKN，由于齒輪的接觸主要為體格體積上的問題，因此FKN參數(shù)選擇為1。

設(shè)置完成后，點(diǎn)擊求解得到如圖3所示的應(yīng)力云圖：

從圖3中可以很明顯看到齒根處的應(yīng)力為74.594。說明齒根處受到了很大的應(yīng)力，極有可能造成齒根斷裂等失效現(xiàn)象。

3.2 齒輪修形參數(shù)優(yōu)化計(jì)算

在確定了理論修形量之后，還應(yīng)該通過上文建立的遺傳算法模型結(jié)合實(shí)際的模擬，確定最佳修形量。對于最佳修形量的確定，本文在理論修形量0.014mm的基礎(chǔ)上，通過每次增加0.001mm和減少0.001mm的方法改變遺傳算法中最大修行量的取值范圍，分別做4組，如表2所示最大修形量取0.010～0.017mm，然后利用遺傳算法模型對各組進(jìn)行優(yōu)化搜索，得到各值如表2所示。選擇Walker修形曲線的齒廓參數(shù)方程，對原齒輪進(jìn)行齒廓修形，Walker修形曲線的表達(dá)式為：

通過比較各組數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)=66.375，既傳統(tǒng)修形量為0.016mm時(shí)，以齒根處的應(yīng)力最小為45.588MPa，減小了31.32%。說明修形后齒根處受應(yīng)力已經(jīng)得到的顯著的減小。此時(shí)，修形后齒輪齒根受力云圖如圖4所示：

4 結(jié)語

（1）轉(zhuǎn)化了齒輪修形基本參數(shù)，將其與遺傳算法進(jìn)行結(jié)合，考慮了以傳動(dòng)誤差最小為目標(biāo)，精確快速地確定齒輪的修形參數(shù)從結(jié)果顯示，優(yōu)化設(shè)計(jì)后的修形參數(shù)能夠較大幅度地減小齒輪的應(yīng)力；（2）分別建立了標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪和修形齒輪的瞬時(shí)動(dòng)態(tài)有限元分析模型，仿真齒輪嚙合中應(yīng)力變化。對比多次修形前后齒輪的應(yīng)力減少，得到當(dāng)，齒根處的最大應(yīng)力從61.2991MPa下降為45.588MPa，效率為31.32%，即傳統(tǒng)修形量為0.016mm時(shí)修形效果最好。

參考文獻(xiàn)

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作者簡介：孫禹鋒（1995-），男，浙江人，徐州工程學(xué)院機(jī)電工程學(xué)院本科學(xué)生，研究方向：機(jī)械CAD/CAE。

（責(zé)任編輯：黃銀芳）