磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型復(fù)合辨識(shí)方法

張華強(qiáng)，王英廣，趙學(xué)濤

（1. 山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，淄博 255049；2. 北京控制工程研究所，北京 100094）

磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型復(fù)合辨識(shí)方法

張華強(qiáng)1，王英廣2，趙學(xué)濤1

（1. 山東理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，淄博 255049；2. 北京控制工程研究所，北京 100094）

針對(duì)磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子的純有限元分析模型精度低的問題，提出一種磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型復(fù)合辨識(shí)方法。該方法首先采用有限元方法把磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子劃分為多個(gè)Timoshenko梁單元，建立磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，并對(duì)其撓性臨界頻率、阻尼、剛度和振型等關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行分析，進(jìn)而得到磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子的等效降階數(shù)學(xué)模型；然后采用魯棒自適應(yīng)方法分析磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性；最后，采用變LEVY方法從動(dòng)態(tài)特性分析數(shù)據(jù)中對(duì)磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，校正有限元分析得到的降階數(shù)學(xué)模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本方法可以得到磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子較為準(zhǔn)確的系統(tǒng)模型。

撓性轉(zhuǎn)子；有限元；魯棒自適應(yīng)；變LEVY方法；復(fù)合辨識(shí)

在磁懸浮離心機(jī)、渦輪機(jī)等超高速應(yīng)用領(lǐng)域，轉(zhuǎn)子一般設(shè)計(jì)成撓性的[1]。磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的機(jī)電一體化系統(tǒng)，包括傳感器、控制器、功率放大器、執(zhí)行器(磁軸承)和撓性轉(zhuǎn)子等組成部件[2-3]。獲知磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型是進(jìn)行后續(xù)過臨界轉(zhuǎn)速控制的前提條件[4-5]。

磁懸浮轉(zhuǎn)子剛性模型只是轉(zhuǎn)子在低轉(zhuǎn)速時(shí)的一種近似情況，是建立在轉(zhuǎn)子自身無形變這一前提條件之下的，并只有六個(gè)自由度[6-7]。在進(jìn)入撓性轉(zhuǎn)速后，轉(zhuǎn)子上任意兩點(diǎn)的相對(duì)空間位置都是隨時(shí)間變化的，其自身的形變不可忽略。撓性轉(zhuǎn)子模型還受加工精度和裝配條件影響較大，即便微小加工裝配的誤差，也會(huì)形成較大的模型差異[8]。

本文首先采用有限元方法把磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子劃分為多個(gè)Timoshenko梁單元，建立磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，并對(duì)其撓性臨界頻率、阻尼、剛度和振型等關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行分析，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的等效降階數(shù)學(xué)模型；然后，使用魯棒自適應(yīng)方法對(duì)磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)特性分析；最后，采用變LEVY方法從動(dòng)態(tài)特性分析數(shù)據(jù)中對(duì)磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子進(jìn)行系統(tǒng)辨識(shí)，校正有限元分析得到的降階數(shù)學(xué)模型，從而獲得較為精確的磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型。

1 磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模

1.1 磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子有限元模型的建立及特性分析

采用有限元方法把磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子分割成一個(gè)個(gè)小單元，通過經(jīng)典轉(zhuǎn)子模型建模，再加上有限元之間的連接關(guān)系就組成單個(gè)有限元模型。通過一個(gè)個(gè)有限元模型的組成可以構(gòu)建描述整個(gè)轉(zhuǎn)子模型的矩陣，通過分析該矩陣即可獲得磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子的特性參數(shù)。磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Rotor structure of magnetic levitated motor

單個(gè)有限元模型通常使用工程力學(xué)中的梁模型，目前的梁理論主要有Euler-Bernoulli梁和Timoshenko梁[9]。由于Timoshenko梁模型還涉及回轉(zhuǎn)慣性和梁截面剪切變形，其表達(dá)式包含梁橫截面回轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的動(dòng)能和剪切變形所引起的彈性勢能，因此采用Timoshenko梁模型可以得到很好的分析結(jié)果。

從磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子中劃分 Timoshenko梁單元及其受力分析示意圖如圖2所示。

從圖2中得到轉(zhuǎn)軸撓曲q(z,t)動(dòng)力學(xué)模型如下：

式中，E為彎曲彈性模量，I為有限元截面對(duì)中心軸的慣性矩，ρ為有限元材料密度，A為截面面積，Gshear為剪切彈性模量。式(1)中，第一項(xiàng)為彎曲變形勢能項(xiàng)，第二項(xiàng)為徑向運(yùn)動(dòng)動(dòng)能項(xiàng)，第三項(xiàng)為主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量動(dòng)能項(xiàng)，第四項(xiàng)為主剪切變形勢能項(xiàng)，第五項(xiàng)為合并的剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量耦合項(xiàng)。

圖2 單個(gè)有限元?jiǎng)澐旨捌涫芰Ψ治鯢ig.2 Single finite element division and its stress analysis

圖3 AR4模型描述單個(gè)有限元Fig.3 Single finite element described by AR4 model

式(2)后兩項(xiàng)分別為磁軸承項(xiàng)和不平衡擾動(dòng)項(xiàng)。根據(jù)Timoshenko梁理論的AR4模型，可把式(2)變換成下列表示形式：

傳感器輸出為

式中，S為觀測矩陣。設(shè)式(3)特解的形式為

代入式(3)得其特征方程為

因陀螺耦合陣G不能對(duì)角化，從式(6)解得的特征值為復(fù)數(shù)形式，虛部對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)子模態(tài)頻率。

對(duì)應(yīng)的特征向量Φn1、Φn2(n=1,2,…,N)亦為復(fù)數(shù)形式，表現(xiàn)為空間三維曲線。

使用RotFE軟件對(duì)4 kW磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子進(jìn)行有限元分析。將轉(zhuǎn)子劃分為55個(gè)有限元，前兩階撓性模態(tài)分析結(jié)果如圖4、圖5所示，一階彎曲模態(tài)頻率為691 Hz，二階彎曲模態(tài)頻率為1 442 Hz。如式(6)所示，隨轉(zhuǎn)速變化，轉(zhuǎn)子的模態(tài)頻率因陀螺效應(yīng)出現(xiàn)分叉現(xiàn)象，升速時(shí)與前向模態(tài)頻率(高頻)相交，降速時(shí)與后向模態(tài)頻率(低頻)相交。使用RotFE軟件繪制Compbell圖如圖6所示，升速臨界轉(zhuǎn)速43 000 r/min，降速臨界轉(zhuǎn)速在41 000 r/min。

圖4 撓性轉(zhuǎn)子一階彈性模態(tài)空間運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.4 Space motion trajectory of the first-order elastic modal

圖5 撓性轉(zhuǎn)子二階彈性模態(tài)空間運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.5 Space motion trajectory of the second-order elastic modal

圖6 4 kW電機(jī)轉(zhuǎn)子Campbell圖Fig.6 Campbell diagram of 4 kW motor rotor

1.2 磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型的等效降階處理

首先，將特征向量組成矩陣Φ：

高階彈性模態(tài)頻率一般遠(yuǎn)高于系統(tǒng)額定轉(zhuǎn)速，而且因眾多低通延時(shí)環(huán)節(jié)的存在，系統(tǒng)會(huì)對(duì)高階模態(tài)失去控制能力。另外，真實(shí)系統(tǒng)中往往只有前兩到三階彈性模態(tài)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性有影響，取Φ前r列組成rΦ對(duì)式(8)所描述系統(tǒng)進(jìn)行降階處理：

得到系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程：

觀測方程為：

上述轉(zhuǎn)換矩陣除Gr外均為對(duì)角形式，對(duì)式(10)進(jìn)行拉氏變換，得到系統(tǒng)頻域方程：

The Development of County Rural Tourism under the Background of the All-For-One Tourism——A Case Study of Fengning Manchu Autonomous County,Hebei Province____________________________XU Xinguo,WANG Wenxuan 7

從式(14)可見，轉(zhuǎn)子特征頻率處運(yùn)動(dòng)方程為：

圖7所示為全階系統(tǒng)和降階系統(tǒng)不平衡相應(yīng)比較，激勵(lì)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)在最左端，響應(yīng)點(diǎn)選擇在轉(zhuǎn)子中心，系統(tǒng)模型階數(shù)從55降為8，降階后只包含兩個(gè)剛性模態(tài)和兩個(gè)撓性模態(tài)。在額定轉(zhuǎn)速的兩倍轉(zhuǎn)速120000r/min 以內(nèi)，不平衡響應(yīng)函數(shù)幾乎完全重合，而且功放帶寬有限，系統(tǒng)對(duì)高階模態(tài)幾乎不響應(yīng)。因此，使用降階模型已經(jīng)足夠精確，但計(jì)算量大大降低。

圖7 全階轉(zhuǎn)子和降階轉(zhuǎn)子模型的不平衡響應(yīng)Fig.7 Unbalance response of full-order rotor and reduced-order rotor model

系統(tǒng)模型寫成狀態(tài)方程的形式為：

2 磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)辨識(shí)方法

上文對(duì)磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子的模型進(jìn)行了理論分析。撓性轉(zhuǎn)子模型受加工精度和裝配條件影響較大，最終導(dǎo)致基于線性—彈性模型的有限元分析精度較低，造成分析結(jié)果與實(shí)際結(jié)果有較大誤差。因此，需要使用系統(tǒng)辨識(shí)方法對(duì)有限元模型進(jìn)行校正。

系統(tǒng)辨識(shí)采用頻域方法，并使用頻率分析手段區(qū)分各個(gè)模態(tài)，對(duì)包含多模態(tài)的復(fù)雜系統(tǒng)有較好的效果。頻率響應(yīng)方法（FRF）使用掃頻激勵(lì)方式，可選擇性地在各個(gè)頻率給轉(zhuǎn)子提供激勵(lì)，給予各個(gè)模態(tài)以更多細(xì)節(jié)上的反應(yīng)[10]。FRF模態(tài)辨識(shí)方法，由兩部分組成，一是測得系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，二是從頻率響應(yīng)中提出模態(tài)參數(shù)。下面將對(duì)其分別進(jìn)行介紹。

2.1 磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性分析

如圖8所示，磁懸浮轉(zhuǎn)子頻率響應(yīng)主要包括激勵(lì)和辨識(shí)兩個(gè)環(huán)節(jié)。激勵(lì)采用正弦掃頻信號(hào)形式，頻率變化可選擇遞乘形式。

在激勵(lì)接入點(diǎn)之后的被測轉(zhuǎn)子系統(tǒng)兩端引出兩個(gè)受激勵(lì)的信號(hào)，送入自適應(yīng)辨識(shí)環(huán)節(jié)。自適應(yīng)辨識(shí)環(huán)節(jié)采用基于魯棒自適應(yīng)的方法對(duì)磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行分析，其結(jié)構(gòu)圖如圖9所示。

自適應(yīng)辨識(shí)環(huán)節(jié)通過兩個(gè)引出信號(hào)與激勵(lì)信號(hào)間的幅值之比和相位之差，得到被測系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。采用LMS自適應(yīng)算法提取被辨識(shí)信號(hào)中的同頻成分，擬合公式如下：

圖8 磁懸浮轉(zhuǎn)子頻率響應(yīng)分析結(jié)構(gòu)圖Fig.8 Analysis structure of magnetic flexible rotor frequency response

圖9 魯棒自適應(yīng)辨識(shí)結(jié)構(gòu)圖Fig.9 Robust adaptive identification structure

LMS是一種遞歸收斂方法，式(17)的自適應(yīng)步長采用固定步長形式。μ取值大，收斂速度快，但收斂誤差大；μ取值小，收斂誤差小，但收斂速度慢。而且不同頻率端對(duì)收斂誤差的要求不同。撓性模態(tài)附近頻率響應(yīng)函數(shù)變化快，要求收斂速度盡量快，但頻率響應(yīng)幅值大，對(duì)收斂精度敏感度低，要求μ取大。而在其他頻率段，頻率響應(yīng)幅值小，辨識(shí)結(jié)果對(duì)收斂精度很敏感，要求μ取小。為平衡收斂速度和辨識(shí)誤差間的關(guān)系，在此使用魯棒變步長 LMS算法，以辨識(shí)誤差均方差最小為原則，實(shí)時(shí)調(diào)整步長。調(diào)整公式為

式中，εmin為擬合誤差的均方差。

在原始信號(hào)中疊加有大量噪聲，影響辨識(shí)精度，需要對(duì)其進(jìn)行預(yù)濾波處理。濾波器在二階Butterworth陷波器進(jìn)行改進(jìn)，激勵(lì)信號(hào)頻率f和通帶寬度控制參數(shù)sharp計(jì)算得到二階帶通濾波器系數(shù)(A,B)，計(jì)算公式為

其中，A=(A[0],A[1],A[2])為二階帶通濾波器分母多項(xiàng)式的系數(shù)，B=(B[0],B[1],B[2])為二階帶通濾波器分子多項(xiàng)式的系數(shù)。

得到被辨識(shí)模塊輸入輸出信號(hào)在激勵(lì)正余弦信號(hào)構(gòu)造的直角坐標(biāo)系中的投影坐標(biāo)后，計(jì)算相頻幅頻變化公式如下:

得到控制電流到轉(zhuǎn)子位移的幅頻相頻曲線如圖10所示。為更好地對(duì)比魯棒自適應(yīng)和所設(shè)計(jì)單通濾波器的效果，圖10將普通自適應(yīng)、魯棒自適應(yīng)、帶通濾波+魯棒自適應(yīng)進(jìn)行對(duì)比。普通自適應(yīng)方法噪聲大，所產(chǎn)生的累積誤差導(dǎo)致高頻幅值偏大。魯棒自適應(yīng)在跟蹤速度上雖然比普通自適應(yīng)方法略差，但噪聲明顯減小，高頻累積誤差大幅降低。從圖 10可見，加入帶通濾波器后，噪聲進(jìn)一步降低。

圖10 磁懸浮轉(zhuǎn)子頻率響應(yīng)結(jié)果Fig.10 Frequency response of magnetic flexible rotor

2.2 基于變LEVY方法的系統(tǒng)辨識(shí)方法

得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)頻率特性后，獲知轉(zhuǎn)子模型還需從頻率響應(yīng)函數(shù)中提取轉(zhuǎn)子的模態(tài)參數(shù)，得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，本文使用變LEVY方法實(shí)現(xiàn)這一過程[11]。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下：

上式簡寫作：

因[Z(s)]非奇異可逆，由式(24)可得：

式中：

式(28)略去了下標(biāo)i j，式中，

為使誤差方程線性化，將式(30)乘以Dk，稱為加權(quán)誤差：

Levy法矩陣方程變?yōu)?/p>

求解如上方程得到{a}、之后即可解得轉(zhuǎn)子模態(tài)參數(shù)。

3 系統(tǒng)模型復(fù)合辨識(shí)方法的效果及其分析

使用變LEVY方法對(duì)上述測試結(jié)果進(jìn)行辨識(shí)。為提高辨識(shí)精度，采用分段擬合方法。首先對(duì)一階模態(tài)頻率附近區(qū)域進(jìn)行辨識(shí)，辨識(shí)結(jié)果如圖11所示。測試結(jié)果與辨識(shí)結(jié)果相差較大，主要是傳感器與磁軸承軸向位置不同所致。對(duì)初始相位角修正-213°后，得到如圖12所示的辨識(shí)結(jié)果，修正后的辨識(shí)結(jié)果與測試結(jié)果吻合度很好。一階模態(tài)辨識(shí)結(jié)果如下：

同理，對(duì)二階模態(tài)頻率附近幅相曲線進(jìn)行辨識(shí)得到如下結(jié)果，擬合曲線見圖13。

圖11 未修正初始相角時(shí)轉(zhuǎn)子一階撓性模態(tài)辨識(shí)效果圖Fig.11 The first-order flexible modal identification effect without correcting the initial phase angle

圖12 修正初始相角后轉(zhuǎn)子一階撓性模態(tài)辨識(shí)效果圖Fig.12 The first-order flexible modal identification effect after correcting the initial phase angle

圖13 磁懸浮轉(zhuǎn)子二階撓性模態(tài)辨識(shí)效果圖Fig.13 The second-order flexible modal identification effect of magnetic flexible rotor

對(duì)低頻段附近幅相曲線進(jìn)行辨識(shí)得到如下結(jié)果，擬合曲線見圖14。

將低頻段，一階模態(tài)、二階模態(tài)進(jìn)行綜合得到如下傳遞函數(shù)：

圖14 磁懸浮轉(zhuǎn)子低頻段辨識(shí)效果圖Fig.14 Identification effect in low-frequency range of the magnetic flexible rotor

測試幅相特性曲線與辨識(shí)幅相特性曲線比較見圖 15。本文目的是穿越磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子的臨界轉(zhuǎn)速，關(guān)心撓性模態(tài)頻率附近的模型精度，而對(duì)其它頻率段的辨識(shí)精度要求不高。從圖15辨識(shí)結(jié)果看，撓性模態(tài)頻率附近辨識(shí)模型與測試結(jié)果擬合程度很高。

圖15 磁懸浮轉(zhuǎn)子辨識(shí)結(jié)果圖Fig.15 Identification effect of the magnetic flexible rotor

4 結(jié) 論

獲知磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型是進(jìn)行后續(xù)過臨界轉(zhuǎn)速控制的前提條件。本文針對(duì)磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子的純有限元分析模型精度低的問題，提出了一種磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型復(fù)合辨識(shí)方法。該方法首先采用有限元方法對(duì)磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子進(jìn)行了多個(gè) Timoshenko梁單元的劃分，并建立磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，對(duì)其撓性臨界頻率、阻尼、剛度和振型等關(guān)鍵參數(shù)進(jìn)行分析，通過深入分析得到了磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子的等效降階數(shù)學(xué)模型；然后采用魯棒自適應(yīng)方法分析了磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性；最后，采用變LEVY方法從動(dòng)態(tài)特性分析數(shù)據(jù)中對(duì)磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子進(jìn)行了系統(tǒng)辨識(shí)，校正有限元分析得到的降階數(shù)學(xué)模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可以得到較為準(zhǔn)確的磁懸浮撓性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型，具有很強(qiáng)的理論研究價(jià)值和工程意義。

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Compound identification method of magnetic flexible rotor model

ZHANG Hua-qiang1, WANG Ying-guang2, ZHAO Xue-tao1
(1. School of Mechanical Engineering, Shandong University of Technology, Zibo 255049, China;
2. Beijing Institute of Control Engineering, Beijing 100094, China)

Aiming at the problem of low accuracy of the pure finite element analysis model for the magnetic flexible rotor, a new compound identification method of magnetic flexible rotor model is proposed. First, a finite element method is used to divide the magnetic flexible rotor into a plurality of Timoshenko beam elements. Then, a magnetic flexible rotor system model is built, the key parameters of the flexible rotor such as critical frequency, damping, stiffness and vibration mode are analyzed, and then the equivalent reducedorder mathematical model is obtained. Based on this, the dynamic characteristics of the flexible rotor system are analyzed using a robust adaptive method. At last, a correction LEVY method is used to identify the magnetic flexible rotor system by analyzing the dynamic characteristics data of the rotor, and the equivalent reduced-order mathematical model obtained by the finite element method is calibrated. Experimental results show that this method can obtain a more accurate system model of the magnetic flexible rotor.

flexible rotor; finite element; robust adaptive; correction LEVY method; compound identification

V414

A

1005-6734(2017)02-0249-07

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2017.02.021

2017-01-011；

2017-03-24

山東省自然科學(xué)基金（ZR2015FL012）；國家自然科學(xué)基金（51605031）；山東省自然科學(xué)基金教育廳聯(lián)合專項(xiàng)（ZR2014JL027）

張華強(qiáng)（1982—），男，博士，講師，從事檢測與導(dǎo)航技術(shù)研究。E-mail: huaqiang.zhang@163.com