對(duì)課本例題的一點(diǎn)思考

白雪松

課本人教A版選修1-1第二章2.1橢圓這一節(jié)介紹了橢圓定義和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，書中第34頁例2和例3兩道例題引起我如下的一點(diǎn)思考：

圓與橢圓是兩種封閉曲線，既有相似之處也有區(qū)別.

一、對(duì)稱性

圓是中心對(duì)稱圖形也是軸對(duì)稱圖形，每一個(gè)直徑都是一條對(duì)稱軸；橢圓也既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，僅有兩條對(duì)稱軸.

二、兩種軌跡的關(guān)系

兩個(gè)圖形整體上看，橢圓像是圓被壓縮或是拉伸了接下來，通過例子去感受一下兩種軌跡的關(guān)系。

例1.如圖，在圓上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？

分析：點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)。我們可以由點(diǎn)M為線段PD的中點(diǎn)得到點(diǎn)M與點(diǎn)P坐標(biāo)之間的關(guān)系式，并由點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足圓的方程得到點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的方程。

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則x=，y=.因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以，把=x，=2y代入方程，得，即，所以，點(diǎn)M的軌跡是

橢圓。

變式1：如果點(diǎn)M不是中點(diǎn)，是線段PD的任意一個(gè)固定的分點(diǎn)或是線段DP延長(zhǎng)線上任意一個(gè)固定分點(diǎn)M的軌跡是什么？

分析：點(diǎn)M與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)之間存在比例關(guān)系，通過代換容易得到點(diǎn)M的軌跡方程.

解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則x=，y=.（k>0）因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上，所以，把=x，=y代入方程 ，得即，所以點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓.當(dāng)01時(shí)，軌跡是短軸長(zhǎng)為圓的直徑，焦點(diǎn)在y軸上的

橢圓。

從圖象伸縮變換的角度分析一下與之間的關(guān)系，圓上的每一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋倍，就得橢圓的圖象.

變式2：變式一中圓的方程為，當(dāng)k=時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡是什么？

解析：利用換元思想只需把上述變式一中的4換成，k換成則有，即.

總結(jié)：由上述推導(dǎo)過程可以得出圓與橢圓的關(guān)系：圓上每一個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)為原來的倍得到橢圓.

三、兩者參數(shù)方程的關(guān)聯(lián)性.

圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）當(dāng)a=b=r時(shí)就是圓。

四、一些重要結(jié)論.

結(jié)論1：圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)，C為圓上任一點(diǎn)，則.

解析：設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為由已知可得A（-a，0），B（a，0），因?yàn)辄c(diǎn)C在圓上，所以

已知橢圓與x軸交于A、B兩點(diǎn)

P為橢圓上任一點(diǎn)，則.

解析：設(shè)點(diǎn)P（）根據(jù)變式2圓與橢圓關(guān)系，點(diǎn)P由點(diǎn)C伸縮變換得到

則有：，點(diǎn)A（-a，0），B（a，0）

所以所以

例2、已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)M為C上不同于A、B的任意一點(diǎn)，則直線MA、MB的斜率之積為

（ ）

A. B.-4 C. D.4

解法一：因?yàn)槭沁x擇題所以可以采取特殊點(diǎn)法.因?yàn)橐话闱闆r下成立，那么特殊情況也會(huì)成立

結(jié)論2：圓O的弦AB，C為弦中點(diǎn)則。

橢圓的弦AB，C的弦中點(diǎn)

則.

解析：設(shè)

則

因?yàn)?，所?/p>

A、B看作是由A、B兩點(diǎn)變換來的所以，

所以=