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    復(fù)函數(shù)在孤立奇點的留數(shù)

    2017-06-01 11:29:56繆彩花
    關(guān)鍵詞:彩花北京大學(xué)出版社柯西

    ◎繆彩花

    (麗江師范高等??茖W(xué)校數(shù)計系,云南 麗江 674199)

    復(fù)函數(shù)在孤立奇點的留數(shù)

    ◎繆彩花

    (麗江師范高等??茖W(xué)校數(shù)計系,云南 麗江 674199)

    本文介紹了留數(shù)定理與柯西積分公式的關(guān)系、留數(shù)定理在計算實積分中的應(yīng)用,便于讀者熟練深化對留數(shù)的理解,提高綜合運用能力.

    留數(shù);解析函數(shù);區(qū)域

    留數(shù)是復(fù)變函數(shù)理論的重要內(nèi)容之一,它是研究解析函數(shù)的重要工具,經(jīng)典的留數(shù)定理是柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式的推廣,也是我們處理數(shù)學(xué)分析中的一些實積分的有力工具.

    一、留數(shù)定理與柯西積分公式、高階導(dǎo)數(shù)公式的關(guān)系

    二、留數(shù)定理在計算積分中的應(yīng)用

    另外,留數(shù)定理可以計算一些實積分.在數(shù)學(xué)分析中往往要計算一些定積分或反常積分,而這些積分中的被積函數(shù)的原函數(shù),不能用初等函數(shù)表示出來;或者可以求出原函數(shù),但計算也非常煩瑣.在這種情況下,把這些積分的計算問題轉(zhuǎn)化為計算某些解析函數(shù)在孤立奇點的留數(shù).其中的思想方法是:把定積分轉(zhuǎn)化為一個復(fù)變函數(shù)沿某條封閉路線上的積分.具體的做法如下:

    第一步,被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化.根據(jù)實積分被積函數(shù)f(x)的特點,做相應(yīng)的復(fù)變函數(shù)F(z),使當(dāng)z∈(a,b)(其中(a,b)為積分區(qū)間)時,F(xiàn)(z)=f(x)或F(z)的實部或虛部之一等于f(x).

    第二步,積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化.作一條(或幾條)按段光滑的輔助曲線Γ,使它與(a,b)構(gòu)成閉曲線并圍成區(qū)域D,使F(z)在D內(nèi)除有限個孤立奇點zk(k=1,2,…,n)外處處解析.

    [1]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

    [2]張南岳,陳懷惠.復(fù)變函數(shù)論選講[M].北京:北京大學(xué)出版社,1995.

    [3]李忠.復(fù)分析導(dǎo)引[M].北京:北京大學(xué)出版社,2004.

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