對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)精確解與近似解的比較

董冠文，李宗義（甘肅機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)精確解與近似解的比較

董冠文，李宗義
（甘肅機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

分析和比較了對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿運(yùn)動(dòng)方程的近似解和精確解。推導(dǎo)了理想狀態(tài)下對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿運(yùn)動(dòng)方程的精確表達(dá)式，使用Taylor級(jí)數(shù)將精確表達(dá)式展開(kāi)，通過(guò)數(shù)值算例，獲得了頂桿的位移、速度和加速度表達(dá)式的精確解和分別對(duì)應(yīng)的一階、二階、三階近似解。結(jié)果表明：只有當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)中心到圓盤(pán)中心的距離與圓盤(pán)半徑加上滾子半徑之和的比值較小時(shí)，對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)近似解才接近精確解；比值較大時(shí)，近似解和精確解的差別較大。

對(duì)心直動(dòng)滾子；從動(dòng)件；盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)；Taylor級(jí)數(shù)；近似解；精確解

盤(pán)形凸輪結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、加工方便、應(yīng)用廣泛，在凸輪機(jī)構(gòu)中占有相當(dāng)大的比重，因而對(duì)它的研究也更具代表性。其中對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)的使用較為常見(jiàn)。在該機(jī)構(gòu)中，滾子與凸輪表面線接觸，接觸應(yīng)力大，摩擦磨損嚴(yán)重。為了減少磨損，凸輪表面需要進(jìn)行熱處理或化學(xué)處理，有時(shí)在輪廓表面上固定硬質(zhì)型材或加一層耐磨材料。

本文僅考慮在理想狀態(tài)下，并忽略尺寸誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)精度的影響等因素，分析比較對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)精確解與近似解。

1 頂桿的運(yùn)動(dòng)方程

1.1 精確表達(dá)式

以某對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)為例，如圖1所示，凸輪機(jī)構(gòu)的角速度ω，轉(zhuǎn)角為φ=ωt，滾子半徑長(zhǎng)r，偏心輪圓盤(pán)半徑R，凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)中心到偏心輪圓盤(pán)中心的距離為OC=e，偏心輪帶動(dòng)頂桿AB沿鉛垂直線作往復(fù)運(yùn)動(dòng)，不難確定頂桿的位移為

圖1 對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)

式中：s、t——分別為頂桿位移和時(shí)間；

λ——凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)中心到圓盤(pán)中心的距離與圓盤(pán)半徑加上滾子半徑之和的比值，λ=。

將頂桿的位移方程（1）對(duì)時(shí)間t取一階導(dǎo)數(shù)，可得到頂桿的速度方程

將頂桿的位移方程（1）對(duì)時(shí)間t取二階導(dǎo)數(shù)，可得到頂桿的加速度方程

1.2 近似表達(dá)式

對(duì)方程式（1）中帶根號(hào)部分用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)如下：

如果保留一階，頂桿的位移可近似表示為

對(duì)（4）分別取一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，則可以得到頂桿的速度和加速度的一階近似表達(dá)式如下

如果保留二階，頂桿的位移可近似表示為

對(duì)（7）分別取一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，則可以得到頂桿的速度和加速度的二階近似表達(dá)式如下

如果保留三階，頂桿的位移可近似表示為

對(duì)（10）分別取一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，則可以得到頂桿的速度和加速度的三階近似表達(dá)式如下

2 數(shù)值算例

本文僅考慮在理想狀態(tài)下，即凸輪保持在較低均勻角速度下轉(zhuǎn)動(dòng)，并忽略尺寸誤差對(duì)運(yùn)動(dòng)精度的影響等因素。假設(shè)凸輪機(jī)構(gòu)的角速度ω=3rad/s，滾子半徑長(zhǎng)r=10mm，圓盤(pán)半徑R=40mm，凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)中心到圓盤(pán)中心的距離為OC=e=25mm，則此時(shí)比值λ=0.5，方程（1）、（4）、（7）、（10）分別為對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿位移的精確解和對(duì)應(yīng)的一階、二階、三階近似解，相應(yīng)可得到頂桿的位移圖，如圖2所示，頂桿位移的一階、二階、三階近似解均接近精確解；方程（2）、（5）、（8）、（11）分別為對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿速度的精確解和對(duì)應(yīng)的一階、二階、三階近似解，如圖3所示，頂桿速度的精確解和一階、二階、三階近似解存在一定誤差；方程（3）、（6）、（9）、（12）分別為對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿加速度的精確解和對(duì)應(yīng)的一階、二階、三階近似解，如圖4所示，頂桿速度的精確解和一階、二階、三階近似解存在一定誤差，綜合體現(xiàn)為圖3誤差不如圖4明顯，即此時(shí)加速度的精確解與近似解的誤差比速度的精確解與近似解的誤差明顯。

圖2 頂桿位移比較（λ=0.5）

圖3 頂桿速度比較（λ=0.5）

圖4 頂桿加速度比較（λ=0.5）

如果增大λ，即通過(guò)設(shè)置輪機(jī)構(gòu)的角速度ω= 3rad/s，滾子半徑長(zhǎng)r=10mm，圓盤(pán)半徑R=40mm，凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)中心到圓盤(pán)中心的距離為OC=e=40mm，則此時(shí)比值λ=0.8。方程（1）、（4）、（7）、（10）分別為對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿位移的精確解和對(duì)應(yīng)的一階、二階、三階近似解，相應(yīng)可得到頂桿的位移圖，如圖5所示，此時(shí)頂桿位移的精確解與保留一階、二階、三階的近似解誤差較大，但是三個(gè)近似解很接近；方程（2）、（5）、（8）、（11）分別為對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿速度的精確解和對(duì)應(yīng)的一階、二階、三階近似解，如圖6所示，此時(shí)速度的精確解與保留一階、二階、三階的近似解誤差較大，同時(shí)，一階近似解和二階近似解很接近，三階近似解與精確解誤差更大，三階近似解與一階近似解和二階近似解誤差較大；方程（3）、（6）、（9）、（12）分別為對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿加速度的精確解和對(duì)應(yīng)的一階、二階、三階近似解，如圖7所示，加速度的一階近似解、二階近似解與精確解誤差較大，但一階近似解、二階近似解很接近，同樣三階近似解與精確解比較接近，但與一階近似解、二階近似解誤差較大，此時(shí)，滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿位移、速度、加速度的精確解及其分別對(duì)應(yīng)的一階、二階、三階近似解，誤差明顯增大。

圖5 頂桿位移比較（λ=0.8）

圖6 頂桿速度比較（λ=0.8）

圖7 頂桿加速度比較（λ=0.8）

圖8 頂桿位移比較（λ=0.2）

如果減小λ，即通過(guò)設(shè)置輪機(jī)構(gòu)的角速度ω= 3rad/s，滾子半徑長(zhǎng)r=10mm，圓盤(pán)半徑R=40mm，凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)中心到圓盤(pán)中心的距離為OC=e=10mm，則此時(shí)比值λ=0.2。方程（1）、（4）、（7）、（10）分別為對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿位移的精確解和對(duì)應(yīng)的一階、二階、三階近似解，相應(yīng)可得到頂桿的位移圖，如圖8所示，位移的一階、二階、三階近似解均接近精確解；方程（2）、（5）、（8）、（11）分別為對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿速度的精確解和對(duì)應(yīng)的一階、二階、三階近似解，如圖9所示，速度的一階、二階、三階近似解與精確解幾乎重合；方程（3）、（6）、（9）、（12）分別為對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿加速度的精確解和對(duì)應(yīng)的一階、二階、三階近似解，如圖10所示，加速度的一階、二階、三階近似解與精確解幾乎重合。

圖9 頂桿速度比較（λ=0.2）

圖10 頂桿加速度比較（λ=0.2）

3 結(jié)論

通過(guò)對(duì)對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)頂桿運(yùn)動(dòng)方程的近似解和精確解數(shù)值分析和比較，結(jié)果表明，只有當(dāng)凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)中心到圓盤(pán)中心的距離與圓盤(pán)半徑加上滾子半徑之和的比值較小時(shí)，對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)近似解才接近精確解，此時(shí)，解的階數(shù)越高對(duì)精度影響不大；而比值較大時(shí)，一階、二階、三階近似解之間誤差也在增大，此時(shí)，多保留幾階，精確解與近似解誤差也加大。所以，在工程上，從對(duì)心直動(dòng)滾子從動(dòng)件盤(pán)形凸輪機(jī)構(gòu)優(yōu)先選取凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)中心到圓盤(pán)中心的距離與圓盤(pán)半徑加上滾子半徑之和的比值較小的尺寸，才會(huì)達(dá)到預(yù)期運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，對(duì)凸輪尺寸設(shè)計(jì)的合理設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。

[1]唐國(guó)興，等.理論力學(xué)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[2]楊可楨，等.機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[3]王 波，陳立群.勻低速曲柄滑塊機(jī)構(gòu)近似解與精確解比較[J].力學(xué)與實(shí)踐，2013，（3）.

Comparison between exact and approximate solutions of disk cam mechanism for center-following roller followers

DONG Guanwen，LI Zongyi
（Gansu Mechanical&Electrical Vocational College,Tianshui 741001,Gansu China）

The approximate solution and exact solution of disk cam mechanism ejector rod motion equation for center-following roller followers have been analyzed and compared in the text.The exact expression of motion equation has been derived under ideal status.Byuse of the Taylor series and numerical example,the exact solutions of the displacement,velocity and acceleration expressions for ejector rod have been obtained, as well as respectivecorresponding first order,second order and third order approximate solutions.The results show that the approximate solution is close to the exact solution only when the ratio of the distance from the camrotation centerto the disccenter and sum of disc radius and roller radius roller is small.While the differences between the approximate and exact solutionsare large when the ratio is big.

Disk cam mechanism for center-following roller followers;Taylor series;Approximate solution; Exact solution

TH112.2

A

10.16316/j.issn.1672-0121.2017.02.024

1672-0121（2017）02-0082-04

2016-12-09；

2017-01-25

董冠文（1984-），男，助理講師，從事模具結(jié)構(gòu)力學(xué)教研。

李宗義（1960-），男，教授，從事模具CAD方向教研。

E-mail：gansujidianxueyuan@163.com