剝繭抽絲，巧尋規(guī)律
——例說中考數(shù)學(xué)探究題

廣東省惠州市惠陽區(qū)第四中學(xué) 楊永康

剝繭抽絲，巧尋規(guī)律
——例說中考數(shù)學(xué)探究題

廣東省惠州市惠陽區(qū)第四中學(xué) 楊永康

新課標(biāo)要求我們“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想”，這要求學(xué)生要學(xué)會通過分析、計算、比較，由特殊到一般得出猜想。由此，近年各地中考數(shù)學(xué)試題都出現(xiàn)了一種新穎的題型：探究題，并成為數(shù)學(xué)中考的熱點考題之一。

探究題是探索、歸納、猜想等題型的統(tǒng)稱，其特點是形式獨特、涵蓋知識點豐富，能多角度、多方面地考查學(xué)生，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性和邏輯思維能力。探索、歸納、猜想是學(xué)生獲得新知識、培養(yǎng)各種能力及創(chuàng)新意識的有效途徑。

近年來，探究題成為各地數(shù)學(xué)中考的熱門考試題型，此類題的背景新穎多變，學(xué)生甚至是教者很多時候都會感動棘手，在中考中，此類題的失分率也比較高。然而，我們只要善于發(fā)現(xiàn)總結(jié)，在各式中考題中剝繭抽絲，此類題亦有規(guī)律可循！下面，筆者以近三年各地數(shù)學(xué)中考的探究題為例，分排列型、循環(huán)型、漸近型和猜想型四大類，說明如何進行中考探究題的復(fù)習(xí)。

一、排列型

排列型分為數(shù)字、算式和圖形三種形式，這類題型是給出一組數(shù)字、算式（包括代數(shù)式、不等式、方程等）或者圖形，要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，用一定的數(shù)學(xué)方法表達出規(guī)律并得出題目要求的結(jié)論。解決此類題的關(guān)鍵是扣住“序號”，同時要用得出的一般性規(guī)律式子進行“序號”（即n等于多少）代入驗證以求答案的正確性。

1．?dāng)?shù)字排列型

題目通常給出一組數(shù)字或者表格，按一定的方式排列，要求學(xué)生探索數(shù)字之間的關(guān)系或者變化規(guī)律。

分析與點撥：解答數(shù)字排列問題的關(guān)鍵是分析好排列數(shù)之間的關(guān)系和規(guī)律，同時要扣住“序號”。本題把整數(shù)1化為觀察可以發(fā)現(xiàn)后一個數(shù)的分子恰是前一個數(shù)的分母，所以，第 4 個數(shù)的分子是 2，分母是 3，故答案為

鞏固練習(xí)：

觀察下列等式：

第 1 層 1+2=3

第 2 層 4+5+6=7+8

第 3 層 9+10+11+12=13+14+15

第 4 層 16+17+18+19+20=21+22+23+24

……

答案：44。

解答提示：根據(jù)式子特征，可以確定每一層的數(shù)比前一層的數(shù)多2個，結(jié)合第一層是3個數(shù)，可以得到一組連續(xù)的奇數(shù)；根據(jù)連續(xù)奇數(shù)和的規(guī)律，從 3 開始的連續(xù) n 個奇 數(shù)的和是 3+5+7+…+(2n+1)=n2+2n，由此可以確定 2016 所在的層數(shù)。

∵ 1+2=3，共有 3 個數(shù)；

4+5+6=7+8，共有 5 個數(shù)；

9+10+11+12=13+14+15，共有 7 個數(shù)；

∴第四個等式左邊應(yīng)該為5個連續(xù)的數(shù)，右邊應(yīng)該為4個連續(xù)的數(shù)，即第四個等式為：16+17+18+19+20=21+22+23+24，共有9個數(shù)；

由此可見，每一層都有奇數(shù)個數(shù)，則從第一層開始，到第n層結(jié)束共有

又因為 432+2×43 ＜ 2016 ＜ 442+2×44，所以 2016 在第 44 層。

2．算式排列型

算式排列型包括代數(shù)式、不等式、方程等的規(guī)律排列。要求學(xué)生探索算式在變形、運算等方面的規(guī)律。

例 2 觀察下面的一列單項式：x，-2x2，4x3，-8x4，…，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，第 7 個單項式為第 n 個單項式為

分析與點撥：本題是一組代數(shù)式的變化，學(xué)生在解決問題時最好先算第n個單項式。首先，符號是搖擺式的，一正一負(fù)交叉出現(xiàn)，解決的方法是用 ，然后看系數(shù)的絕對值，最后看指數(shù)，這都要緊扣“序號”?？偟姆椒ㄊ窍葘懗鏊闶降囊话憬Y(jié)構(gòu)，然后扣住“序號”，找出各部分特征，寫成題目要求的格式。

如第 1 個系數(shù)的絕對值是 1 ＝ 20，指數(shù)是 1；第 2 個系數(shù)的絕對值是 2 ＝ 21，指數(shù)是 2……從符號上，第 1、3、5 等奇數(shù)項是正的，第 2、4、6 等偶數(shù)項是負(fù)的，所以符號的確定是 或者 ，系數(shù)的絕對值是 ，指數(shù)是n。所以答案是：

（1）猜想并寫出第 n個等式；

（2）證明你寫出的等式的正確性。

3．圖形排列型

圖形排列型是給出一組圖形，按一定規(guī)律排列，以單位個數(shù)（面積）的增加和循環(huán)型居多，要求學(xué)生探索圖形的變化規(guī)律。

例 3 如下圖，用黑白兩種顏色的菱形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸增加 1 的規(guī)律拼成下列圖案，若第 n 個圖案中有 2017 個白色紙片，則 n 的值為 ( )

分析與點撥：根據(jù)規(guī)律，按序號“n”，第“n+1”個都較前一個增加3個白塊，因此第n個應(yīng)為： ，所以答案是：B。

鞏固練習(xí)：用棋子擺出下列一組“口”字，按照這種方法擺下去，擺第 n 個“口”字需用棋子（ ）

答案：A。

二、循環(huán)型

循環(huán)型探究題在幾何代數(shù)中都會出現(xiàn)，這類題會給出一組有限循環(huán)圖形或者數(shù)字（式子），要求學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，并求出第n個圖形或者數(shù)字（式子）是什么。解決此類題的關(guān)鍵是扣住“序號”和“循環(huán)節(jié)”，然后用除法中的余數(shù)來解決問題。

例 4 觀察下列圖形，判斷照此規(guī)律從左向右第 2011 個圖形是（ ）

分析與點撥：此類題主要考查學(xué)生通過特例分析從而歸納總結(jié)出一般結(jié)論的能力，關(guān)鍵是要找出多少個圖形或數(shù)字為一循環(huán)，即找出循環(huán)節(jié)，然后用序號除于循環(huán)節(jié)，得到的余數(shù)就是第幾個圖形或者數(shù)字，整除就是循環(huán)節(jié)的最后一個。

本題根據(jù)題意可知笑臉是 4個一循環(huán)。所以 2011÷4=502……3，從而確定第 2011 個圖形是循環(huán)節(jié)中的第 3 個圖形，故選 C。

A.0 B.2 C.4 D.8

答案：C。

三、漸近型

漸近型探究題是近年各地中考較常出現(xiàn)的題型，多以幾何題的形式出現(xiàn)，因其圖形像漸近線或者不斷變小或者不斷變大，故筆者稱其為漸近型。

此類題的特點是隨著數(shù)字或圖形的變化，它原先的一些性質(zhì)有的不會改變，有的則發(fā)生了變化，而且這種變化是有一定規(guī)律的，這種規(guī)律可以作為猜想的一個參考依據(jù)。

例 5 如圖（1），已知小正方形 的面積為 1，把它的各邊延長一倍得到新正方形把正方形 的邊長按原法延長一倍得到正方形（如圖（2）），以此類推下去，則正方形的面積為正方形的面積為

分析與點撥：本題考查了正方形的性質(zhì)和三角形的面積公式，能夠從圖形中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。根據(jù)三角形的面積公式可知每一次延長一倍后，得到的一個直角三角形的面積和延長前的正方形的面積相等，即每一次延長一倍后，得到的圖形是延長前的正方形的面積的5倍，這正是本題的“變”和“不變”，即我們可通過正方形的性質(zhì)和面積的等量關(guān)系探究規(guī)律。

如圖（1），已知小正方形 的面積為 1，則把它的各邊延長一倍后，三角形的面積是 1，新正方形的面積是 5，從而正方形的面積為 5×5=25，正方形的面積為故答案為

鞏固練習(xí)：如下圖，直角三角形紙片 ABC 中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC 中點，第 1次將紙片折疊，使點 A與點 D 重合，折痕與 AD 交于點 P1；設(shè) P1D 的中點為 D1，第 2 次將紙片折疊，使點 A與點 D1重合，折痕與 AD 交于點 P2；設(shè) P2D1的中點為 D2，第 3 次將紙片折疊，使點 A 與點 D2重 合，折痕與 AD 交于 點 P3；…；設(shè)Pn-1Dn-2的中點為 Dn-1，第 n 次將紙片折疊，使點 A 與點 Dn-1重合，折痕與 AD 交于點 Pn（n ＞ 2），則 AP 的長為（ ）

答案：A。

在 Rt△ ABC 中，AC=4，AB=3，所 以 BC=5，又 D 是 BC 的中點，所以，因為點 A、D 是一組對稱點，所以因 為 是 D1是 DP1的 中 點， 所 以即，同理，則，所以故應(yīng)選 A 。

四、猜想型

猜想型是探究題中較難的一種題型，多以綜合題或填空題的形式出現(xiàn)。猜想題主要的呈現(xiàn)方式是在一定條件下條件發(fā)生變化，而猜想的結(jié)論是變化或者不變的。解決此類題的方法是要善于從題目提供的圖形或數(shù)字信息中發(fā)現(xiàn)共同點，這個共同點就是規(guī)律，然后利用總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，由特殊到一般再到特殊的模式進行解題。

例 6 一位同學(xué)拿了兩塊 45°的三角尺△ MNK、△ ACB 做了一個探究活動：將△ MNK 的直角頂點 M 放在△ ABC 的斜邊 AB 的中點處，設(shè) AC=BC=a。

圖1

圖2

圖3

（1）如圖 1， 兩個三角尺 的重疊部分為△ ACM，則重疊 部分的面積為周長為

（2）將圖 1 中的△ MNK 繞頂點 M 逆時針旋轉(zhuǎn) 45°，得到圖 2，此時重疊部分的面積為周長為

（3）如果將△ MNK 繞點 M 旋轉(zhuǎn)到不同于圖 1、圖 2 的位置，如圖3所示，猜想此時重疊部分的面積為多少？并試著加以驗證。

分析與點撥：此類題多數(shù)是當(dāng)一些條件改變后，結(jié)果的數(shù)值不變或者其變化呈現(xiàn)出某種特征，可以猜想在新條件下，數(shù)值仍然不變，或者仍然按照原來的特征變化，以此猜想到結(jié)果的數(shù)值。這種題型比較新穎，需要學(xué)生的分析、判斷、探究、歸納和驗證，有效地考查學(xué)生的邏輯思維能力。

對于與圖形變化有關(guān)的猜想問題，解決問題的方法是利用數(shù)形結(jié)合的思想發(fā)現(xiàn)“變”和“不變”，找出變化中的共同點，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

本題綜合考查了等腰直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、正方形的性質(zhì)等。（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)：底邊上的中線與底邊上的高重合，得到△ AMC是等腰直角三角形，，則重疊部分的面積是△ACB面積的一半，為長為（2）易得重疊部分是正方形，邊長為面 積 為周長為 2a。（3）過點 M 分別做 AC、BC的垂線，垂足為H、G，求得 Rt△MHE≌Rt△ MGF，則陰影部分的面積等于正方形CGMH的面積，即重疊部分的面積為

鞏固練習(xí)：

觀察下列方程及其解的特征：

0）；

答案：

綜上，探究題的背景可謂千變?nèi)f化，但萬變不離其宗：我們在進行探究題的復(fù)習(xí)過程中，要從簡單入手，多練、多思考，善于總結(jié)、歸納，結(jié)合所學(xué)的知識，學(xué)會抓住題目條件中的“變” 和“不變”，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，那么很多探究性問題就可迎刃而解了。