基于拉普拉斯變換的路面一維時變溫度場預(yù)測*

張麗娟 黃建武 許薛軍

(1.華南理工大學(xué) 土木與交通學(xué)院， 廣東 廣州 510640; 2.廣東省公路管理局， 廣東 廣州 510075)

路面溫度場是路面結(jié)構(gòu)分析設(shè)計(jì)中非常重要的影響因素，關(guān)于路面溫度場的理論求解方法有很多種，主要包括分離變量法、積分變換法和拉普拉斯變換法等.

Barber[1]首先采用半無限表面介質(zhì)溫度周期變化時熱傳導(dǎo)方程的解來確定路面最高溫度.嚴(yán)作人[2]采用較簡單的三角函數(shù)(或級數(shù))來表示氣溫、太陽輻射等氣候條件，推導(dǎo)出一維層狀路面體系周期性溫度場的解析解.吳贛昌[3]得出了二維層狀體系溫度場分布的解析解.韓子?xùn)|[4]建立了一維路面結(jié)構(gòu)溫度場數(shù)學(xué)模型，采用分離變量法求解溫度場的解析解.Chong等[5]通過拉普拉斯變換及數(shù)值反演的方法求解了一維雙層路面結(jié)構(gòu)體系溫度場的解析解.Dong等[6- 7]采用拉普拉斯變換法及數(shù)值反演方法先后建立了柱坐標(biāo)下瀝青路面周期性溫度場的解析解及n層剛性路面體系一維溫度場的解析解.吳建良等[8]得到了路面非周期一維溫度場的傅里葉級數(shù)解.秦勃[9]利用積分變換法求解熱傳導(dǎo)微分方程，得到了路面結(jié)構(gòu)時變溫度場的解析解.

分離變量法和積分變換法廣泛應(yīng)用于求解路面溫度場的解析解，其計(jì)算模型的理論推導(dǎo)較為完整，但理論分析過程比較復(fù)雜，且需對計(jì)算公式進(jìn)行多次簡化，使得計(jì)算精度稍差.拉普拉斯變換法由傅里葉變換法發(fā)展而來，可以將關(guān)于時間變量的偏導(dǎo)數(shù)從微分方程中去除，大大簡化了求解過程；雖然逆變換相對復(fù)雜，很多情況下不能直接表示，但可以采用數(shù)值反演的方式進(jìn)行替代，可操作性較強(qiáng)，且其預(yù)測精度完全可以滿足工程的要求，便于工程應(yīng)用.因此，文中采用拉普拉斯變換及數(shù)值反演的方法，推導(dǎo)一種多層路面體系的一維時變溫度場解析解.

1 一維時變溫度場數(shù)學(xué)模型

1.1 導(dǎo)熱方程

設(shè)n層路面結(jié)構(gòu)體系的一維時變溫度函數(shù)為Tj(z，t)(℃)，其表示路面結(jié)構(gòu)內(nèi)部溫度隨深度z和時間t的變化情況，下標(biāo)j表示層位序號.假設(shè)路面結(jié)構(gòu)為各向同性的均質(zhì)體，各層材料的熱物性參數(shù)不隨溫度變化.

忽略路面水平方向的熱傳導(dǎo)，一維時變溫度場導(dǎo)熱方程為

(1)

1.2 層間接觸條件

由于層與層之間接觸緊密，因此假定溫度和熱流在層間連續(xù)，即

Tj(Hj，t)=Tj+1(Hj，t)

(2)

(3)

式中，λj為導(dǎo)熱系數(shù)(W·m-1·K-1).

1.3 溫度場限值

設(shè)各結(jié)構(gòu)層隨時間、深度變化的溫度上限是一個常數(shù)V(℃)，即

|Tj(z，t)|

(4)

1.4 路表邊界條件

路面結(jié)構(gòu)長期暴露在自然環(huán)境之中，經(jīng)受周期變化的氣候條件影響.求解一維路面溫度場時，須將氣溫Ta(t)的變化曲線和太陽輻射強(qiáng)度Q(t)的變化曲線進(jìn)行數(shù)學(xué)處理后輸入到路面結(jié)抅溫度場的預(yù)估模型中去.

應(yīng)用基于最小二乘近似的內(nèi)插三角函數(shù)多項(xiàng)式擬合氣溫和太陽輻射強(qiáng)度的變化曲線[10]：

(5)

(6)

當(dāng)l=0，1，2，…，2m-1時，Tl、Ql分別為t=lte/(2m)時的氣溫和太陽輻射強(qiáng)度實(shí)測值.

路表與周圍環(huán)境之間的能量平衡方程為

(7)

以上各式中，Q(t)為太陽輻射強(qiáng)度(W/m2)，Ta(t)為氣溫(℃)，T1(0，t)為路表溫度(℃)，μ為路面材料對流換熱系數(shù)(W·m-2·K-1)，γ為考慮路面本身向外輻射能量后的路面有效太陽能吸收率.

將式(5)和(6)代入式(7)，可以得出

(8)

式(1)-(4)和式(8)共同構(gòu)成了基于實(shí)測氣溫和太陽輻射強(qiáng)度的路面一維時變溫度場預(yù)測數(shù)學(xué)模型.

2 路面溫度場求解

2.1 初始條件

為簡化計(jì)算，假定各路面結(jié)構(gòu)層初始溫度相同且為一常量，即當(dāng)t=0時，

Tj(z，0)=G

(9)

式中，G是常量.

2.2 模型轉(zhuǎn)換

采用拉普拉斯變換法求解一維時變溫度場數(shù)學(xué)模型.引入變量θj(z，t)：

θj(z，t)=Tj(z，t)-Tj(z，0)

(10)

式中，j=1，2，…，n.

式(1)-(4)和式(8)所建立的數(shù)學(xué)模型可轉(zhuǎn)化為

(11)

θj(Hj，t)=θj+1(Hj，t)

(12)

(13)

|θj(z，t)|

(14)

(15)

θj(z，0)=0，j=1，2，…，n

(16)

利用變換后的數(shù)學(xué)模型并考慮實(shí)測氣溫和太陽輻射強(qiáng)度，可以求解路面一維溫度場.

2.3 拉普拉斯變換

(17)

對層間接觸條件(即式(12)和(13))進(jìn)行拉普拉斯變換，得

(18)

(19)

此外，由式(18)和(19)可以推導(dǎo)出Aj、Bj(j=2，3，…，n)與A1、B1的關(guān)系

(20)

(21)

當(dāng)j=2，3，…，n-1時，

由式(17)可知，對于n層路面結(jié)構(gòu)體系，總共有2n個積分常量Aj、Bj(j=1，2，…，n)，它們可通過對邊界條件和層間接觸條件進(jìn)行拉普拉斯變換得到.

由式(14)的溫度場限值假設(shè)，可知Bn(s)=0.再由式(21)，得

(22)

式(15)經(jīng)拉普拉斯變換后，與式(22)聯(lián)立，可求得A1、B1如下：

式中:

2.4 拉普拉斯數(shù)值反演

(23)

式中：ν為衰減指數(shù)；i是虛數(shù)，i2=-1.

(24)

式中，pj和wj(j=1，2，…，10)分別代表高斯積分點(diǎn)和權(quán)重系數(shù).

表1給出了10節(jié)點(diǎn)的高斯積分點(diǎn)和權(quán)重系數(shù).j=2，4，6，8，10時的pj、wj值分別為j=1，3，5，7，9時的共軛復(fù)數(shù)[12].

令st=p，式(23)變換為

(25)

(26)

最后將式(9)和(26)代入式(10)，得出各層路面結(jié)構(gòu)的溫度為

Tj(z，t)=θj(z，t)+G

(27)

表1 高斯積分點(diǎn)pj和權(quán)重系數(shù)wj

3 模型驗(yàn)證

3.1 溫度場的外部環(huán)境

3.1.1 氣溫和太陽輻射

利用基于最小二乘近似的內(nèi)插三角函數(shù)多項(xiàng)式，采用1stOpt曲線擬合軟件擬合隨時間變化的氣溫和太陽輻射強(qiáng)度，得出式(5)、(6)中氣溫和太陽輻射強(qiáng)度的相關(guān)參數(shù)值.以天為周期、30 min為間隔(即m=24)，對廣東省佛山市某舊水泥路面加鋪瀝青層路面結(jié)構(gòu)在2015年8月24日(夏季)和2015年12月16日(冬季)的氣溫、太陽輻射強(qiáng)度的實(shí)測與擬合結(jié)果進(jìn)行對比，結(jié)果如圖1-4所示.

圖1 氣溫實(shí)測值與擬合結(jié)果(2015年8月24日)

3.1.2 路面空氣對流

路面表面與空氣之間存在對流換熱，在實(shí)際工程應(yīng)用中，對流換熱系數(shù)主要受風(fēng)速影響，通常采用近似值代替，可以采用下列經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算對流換熱系數(shù)[13]：

μ≈9.4+3.7v

(28)

式中，v為一天的平均風(fēng)速(m/s).

廣東省佛山市某舊水泥路面加鋪瀝青層路面結(jié)構(gòu)在2015年8月24日和2015年12月16日的日平均風(fēng)速分別為0.48和1.09 m/s，計(jì)算得到的對流換熱系數(shù)分別為11.2和13.5 W/(m2·K).

3.2 材料熱物理性能參數(shù)

廣東省佛山市某舊水泥路面加鋪瀝青層路面結(jié)構(gòu)組成及其厚度如表2所示.在驗(yàn)證溫度場數(shù)學(xué)模型時，將該路面結(jié)構(gòu)假設(shè)為三層路面結(jié)構(gòu)體系：第1層為瀝青混凝土層，厚度為9 cm；第2層為水泥混凝土層，厚度為46 cm；第3層為路基，厚度為無限大.參考文獻(xiàn)[14]中的取值選取各層的材料熱物理性能參數(shù)，列于表2.由于加鋪層為瀝青混凝土層，考慮路面本身向外輻射能量后的路面有效太陽能吸收率γ取為0.8.

表2 模型驗(yàn)證輸入?yún)?shù)

3.3 模型驗(yàn)證結(jié)果

利用Matlab軟件編制溫度場解析解計(jì)算程序，計(jì)算出各結(jié)構(gòu)層的溫度場數(shù)據(jù).路面結(jié)構(gòu)層溫度從上向下逐漸趨于穩(wěn)定，通過觀察實(shí)測溫度數(shù)據(jù)，2015年8月24日和2015年12月16日的路面結(jié)構(gòu)層溫度初值分別取為36和20 ℃.輸入層厚、材料參數(shù)、實(shí)測空氣溫度和太陽輻射強(qiáng)度后，可以預(yù)測該舊水泥路面加鋪瀝青層路面結(jié)構(gòu)體系中任一深度處的溫度曲線.

選取該舊水泥路面加鋪瀝青層路面結(jié)構(gòu)的上面層中(z=0.020 m)、上面層底(z=0.040 m)、下面層中(z=0.065 m)、下面層底(z=0.090 m)、C35水泥板基層底(z=0.350 m)、C20水泥板基層底(z=0.550 m)等不同路面結(jié)構(gòu)深度，以天為周期、15 min為間隔，得到2015年8月24日(夏季)和2015年12月16日(冬季)路面結(jié)構(gòu)層溫度的實(shí)測值和理論預(yù)測值，分別如圖5-10所示.

表3列出了溫度場預(yù)測值Tp與實(shí)測值Tm偏差(Tp-Tm)的最大、最小值以及平均絕對偏差(|Tp-Tm|)值.

圖5 z=0.020 m和z=0.040 m處預(yù)測溫度和實(shí)測溫度(2015年8月24日)

從圖5-10、表3可以看出，采用基于拉普拉斯變換法的一維路面溫度場理論預(yù)估的舊水泥路面加鋪瀝青層路面結(jié)構(gòu)溫度與實(shí)測溫度之間的最大偏差在3 ℃以下，平均絕對偏差在1.6 ℃以下，可見該模型預(yù)測精度非常高.出現(xiàn)偏差的原因可能與模型的一些假設(shè)(如將路面結(jié)構(gòu)內(nèi)部初始溫度設(shè)為常數(shù))、參數(shù)的取值(如設(shè)路表對流換熱系數(shù)在一天之內(nèi)為常量)以及實(shí)測數(shù)據(jù)本身存在的誤差等因素有關(guān).

表3 不同深度處的路面溫度預(yù)測值與實(shí)測值對比

4 結(jié)語

文中采用熱傳導(dǎo)方程建立自然環(huán)境下一定周期內(nèi)路面結(jié)構(gòu)的一維時變溫度場數(shù)學(xué)模型，將影響時變溫度場的主要因素(即氣溫和太陽輻射強(qiáng)度)考慮為路表邊界條件，應(yīng)用基于最小二乘近似的內(nèi)插三角函數(shù)多項(xiàng)式擬合一定時段內(nèi)的氣溫和太陽輻射強(qiáng)度，據(jù)此確定溫度場路表邊界條件.將溫度場數(shù)學(xué)模型進(jìn)行拉普拉斯變換，推導(dǎo)出第j層和第1層的積分常量之間的關(guān)系，以簡化求解過程；然后利用高斯積分公式進(jìn)行拉普拉斯數(shù)值近似反演求解出路面結(jié)構(gòu)溫度場.利用Matlab軟件編制溫度場模型的計(jì)算程序，輸入層厚、材料參數(shù)、實(shí)測氣溫和太陽輻射強(qiáng)度，可以預(yù)測路面結(jié)構(gòu)體系中任意深度處的溫度值.通過與舊水泥路面加鋪瀝青層路面結(jié)構(gòu)實(shí)測溫度場數(shù)據(jù)的對比發(fā)現(xiàn)，預(yù)測溫度與實(shí)測溫度之間的最大偏差在3 ℃以下，平均絕對偏差在1.6 ℃以下，表明提出的一維時變溫度場解析解模型可以合理預(yù)測舊水泥路面加鋪瀝青層路面結(jié)構(gòu)在冬季和夏季條件下以天為周期的路面結(jié)構(gòu)溫度場分布.

下一步將開展路面材料的熱物性參數(shù)隨氣溫、太陽輻射和風(fēng)速等環(huán)境因素的變化規(guī)律研究，進(jìn)一步完善溫度場預(yù)測模型，研究路面溫度場對高溫車轍、低溫開裂和疲勞破壞等路用性能的影響，為舊水泥路面加鋪瀝青層路面結(jié)構(gòu)和材料設(shè)計(jì)提供參考.

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[1] BARBER E S.Calculation of maximum pavement tempe-ratures from weather reports [J].Highway Research Board Bulletin，1957(168):1- 8．

[2] 嚴(yán)作人.層狀路面體系的溫度場分析 [J].同濟(jì)大學(xué)學(xué)報，1984(3):76- 85．

YAN Zuo-ren.Temperature field of layered pavement [J].Journal of Tongji University，1984(3):76- 85．

[3] 吳贛昌.層狀路面體系溫度場分析 [J].中國公路學(xué)報，1992，5(4):17- 25．

WU Gan-chang.The analysis of pavement temperature field of multi-layer system [J].China Journal of Highway and Transport，1992，5(4):17- 25．

[4] 韓子?xùn)|.道路結(jié)構(gòu)溫度場研究 [D].西安:長安大學(xué)，2001．

[5] WANG Chong，RAMONE Tramontini，LUCIANO Pivoto Specht.Application of the Laplace transform and its numerical inversion to temperature profile of a two-layer pavement under site condition [J].Numerical Heat Transfer，Part A:Applications，2009，55(11):1004- 1018．

[6] WANG Dong，ROESLER Jeffery R，GUO Da-zhi.Analytical approach to predicting temperature fields in multila-yered pavement systems [J].Journal of Engineering Mechanics，2009，135(4):334- 344．

[7] WANG Dong，ROESLER Jeffery R.One-dimensional rigid pavement temperature prediction using Laplace transformation [J].Journal of Transportation Engineering，2012，138(9):1171- 1177．

[8] 吳建良，孫立軍.路面非周期一維溫度場的傅里葉級數(shù)解 [J].中國公路學(xué)報，2012，25(1):29- 34．

WU Jian-liang，SUN Li-jun.Fourier series solution of non-periodic 1-D temperature field of pavement [J].China Journal of Highway and Transport，2012，25(1):29- 34．

[9] 秦勃.路面結(jié)構(gòu)時變溫度場的解析解及預(yù)估模型 [D].杭州:浙江大學(xué)，2014．

[10] BURDEN R L，F(xiàn)AIRES J D.Numerical analysis [M].7th Ed.Pacific Grove：Brooks/Cole，2001．

[11] 胡漢平.熱傳導(dǎo)理論 [M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2010．

[12] STROUD A H，SECREST D.Gaussian quadrature formulas [M].Upper Saddle River:Prentice Hall，1966．

[13] 朱伯芳.大體積混凝土溫度應(yīng)力與溫度控制 [M].北京:中國電力出版社，1998．

[14] 資建民，王海軍，李福寶，等.大粒徑瀝青混合料基層緩解反射裂縫應(yīng)力分析 [J].華中科技大學(xué)學(xué)報(城市科學(xué)版)，2006，23(Sup 1):8- 12．

ZI Jian-min，WANG Hai-jun，LI Fu-bao，et al.Reflection cracking resistance stress analysis of large stone asphalt mixures base in asphalt pavement [J].Journal of Huazhong University of Science and Technology(Urban Science Edition)，2006，23(Sup 1):8- 12．