淺談二次函數與線段最值問題

張駿峰??

摘 要：中考的壓軸題通常是函數搭臺，幾何唱戲。初中所學函數就是將生活中的實際問題轉化為數學問題，即構建函數數學模型的有效載體，特別是二次函數；而數形結合思想是分析、解決問題的關鍵。有關線段最值問題與二次函數的綜合是中考壓軸題中的?？?，它讓很多同學束手無策，望而生畏，實際上解這類試題關鍵是要理清題意，將線段最值問題借助相關的概念、性質與思想，進而轉化為相應的數學模型進行分析，利用典型的基本圖形加以解決，常常會事半功倍！

關鍵詞：二次函數；線段最值；轉化；數形結合；基本圖形；數學模型

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2016）24-109-1

初中二次函數的線段問題綜合題中，涉及到的類型通常有：1.直接求線段的長或用含字母的式子表示線段的長；2.根據題中給出的線段關系求相應字母的值；3.求多邊形周長、面積的最值。其中求三角形或四邊形周長、面積的最值，一般要將其轉化為求某線段長的最值或利用兩點之間線段最短來求最值。

讓學生理解并掌握在二次函數背景下借助基本圖形研究線段最值問題的方法；在分析解決問題的過程中體會數形結合與轉化等數學思想；在這過程中培養(yǎng)學生構建二次函數模型并借助基本圖形解決最值問題的意識及能力是至關重要的。在此，筆者結合自身一些教學實踐，就“二次函數與線段最值問題”方面，談一談自己的一些做法。

一、求豎直線段長的最值問題

這類問題通常是過拋物線上的一動點作x軸的垂線（或y軸的平行線），且與某直線相交于一點，以確定兩點之間長度關系的形式出題。解決此類問題時，一般要將線段問題轉化為點的坐標問題，根據拋物線和直線上點的橫坐標相同，設這兩點的橫坐標，從而得到這兩點的縱坐標，然后用含字母的式子表示兩點間的線段長，特別是遇到線段最值問題時，一般要結合二次函數求最值的方法，將二次函數解析式配成頂點式或利用公式求最值。

具體圖形如下圖所示：“在題目中已知直線l：y=12x+1與x軸、y軸分別相交于點A和點C。拋物線y=-2x2-72x+1的圖象交x軸于A、B兩點（B在A右邊），點P是直線AC上方的拋物線上一動點（不與A，C重合），設P點的橫坐標為m，過點P作y軸平行線交直線AC于Q點，求線段PQ的最大值?！?/p>

如何求線段PQ的最大值呢？首先要分析：如果想要線段PQ的最大值，必須明確P、Q兩點的坐標，可以用含有m的式子表示P、Q兩點的坐標，通過觀察，容易發(fā)現P、Q兩點的橫坐標相同，說明線段PQ是一條豎直線段，然后再利用豎直線段長=y上-y下求得PQ=-2m2-4m，接著可以結合二次函數求最值的方法，將二次函數解析式配成頂點式PQ=-2（m+1）2+2，然后求得最大值為2。

二、求水平線段長的最值問題

若將上題的問題改為：過點P作x軸平行線交直線AC于N點，求線段PN的最大值呢？通過觀察，容易發(fā)現P、N兩點的縱坐標相同，說明線段PN是一條水平線段，可以利用水平線段長=x右-x左將PN用二次函數求最值的方法求得最大值為4。

值得探究的是水平線段PN的長與豎直線段PQ長有內在聯系嗎？過點P作y軸平行線交直線AC于Q點，稍作思考就不難發(fā)現，tan∠PQN=tan∠OCA，所以PNPQ=OAOC=2；即PN=2PQ，從而容易求得線段PN的最大值為4。由此可知：求水平線段長的最值問題可轉化為求豎直線段長的最值問題。

三、求斜線段長的最值問題

若將上題的問題改為：求P點到直線AC距離的最大值。同樣的問題，斜線段PH的長與豎直線段PQ長有內在聯系嗎？過點P作y軸平行線交直線AC于Q點，再由sin∠PQH=sin∠ACO可知PH=255PQ。

進而求得線段PQ的最大值為455。由此可知：求斜線段長的最值問題可轉化為求豎直線段長的最值問題。

四、求三角形周長的最值問題

若將上題的問題改為：作PD⊥x軸于D點，交AC于Q點，作PH⊥AC于H點，求△PQH周長的最大值。顯然，求三角形周長的最值問題可轉化為求豎直線段長的最值問題。

五、求三角形面積的最值問題

這類求多邊形面積問題通常轉化為函數關系問題。解題技巧一般是過特殊點作x軸或y軸的垂線，將所求面積進行分割，再將面積問題轉化為線段問題，構建函數模型，通過二次函數的增減性求得相應的最值。

若將上題的問題改為：連接PA，PC。求△PAC面積的最大值。過點P作y軸平行線交直線AC于Q點，故S△APC=S△APQ+S△QPC=12PQ·（xP-xA）+12PQ·（xC-xP）=12PQ·（xC-xA）=12PQ·OA，顯然，求三角形面積的最值問題也可轉化為求豎直線段長的最值問題。

這種轉化的思想，借助基本圖形的方法，在初中數學幾何證明題中屢見不鮮，若能掌握了這一解決技巧，就能以不變應萬變，提高初中數學學習的效益，進而減輕學生的學習負擔，讓學生在面對星羅棋布的習題時能夠游刃有余，隨機應變，真正實現了素質教學減負增效的要求。當然有些問題還有其他好的解法。我想：無論是基本圖形的積累，還是建模思想的滲透，解題的方法因人而異，固定一個模式，有利有弊，模型的小船說翻就翻！