特征標五元組的線性約化

鄭慧娟

(山西大學 數(shù)學科學學院,太原 030006)

特征標五元組的線性約化

鄭慧娟

(山西大學 數(shù)學科學學院,太原 030006)

研究了特征標五元組的線性約化的定義及性質(zhì), 推廣了Loukaki和Dade關于線性極限的相關定理, 得出了一些特征標五元組相關性質(zhì), 為研究單項特征標和本原特征標提供了一種新的技術。

線性約化;不可約特征標;特征標五元組

0 引言

本文中所使用的符號和術語大多是標準的,可參考[1]。

設G為有限群,N?G且ψ∈Irr(N),則稱T=(G,N,ψ)為一個三元組。記Z(T)=Z(ψG),稱為三元組的中心。Isaacs和 Dade在“穩(wěn)定子極限[2]”概念提出后給出一系列相關結果[3-5],在研究M-群的猜想[6]時,Dade和Loukaki又提出了一種特殊的穩(wěn)定子極限,即線性極限[7],并給出其一系列相關性質(zhì)。實際上，早在2001年Lowkaki在研究M-群猜想過程中就得到了一個重要的結果[8]：

如果一個M-群G的階|G|=paqb，其中p,q為兩個奇素數(shù)，則G的每個正規(guī)3群仍為M群。

這其中已經(jīng)提到并應用了線性極限的技術，把M-群猜想轉(zhuǎn)化為何時T=(6，N，4)有冪零的線性極限，此后又發(fā)表文獻[9]對該結果進行了特殊情況下的簡化。同年Lewis在[10]中給出了重大簡化。我們知道利用[7]中命題7.2和7.8知當三元組T線性不可約且N/Z(T)為冪零群時可得到一個特征標五元組(G,N,Z,ψ,ζ),其中Z=Z(T),ζ∈Irr(Z)是G-不變的線性特征標。在研究M-群的極大子群的本原特征標[11,12]時也可利用線性約化技術和特征標五元組性質(zhì)得到簡化。本文結合了特征標五元組性質(zhì)對線性約化的相關定理進行推廣,為研究單項特征標和本原特征標提供了新的技術。

我們知道對三元組T=(G,N,ψ)線性約化就是取A?G,A≤N且α∈Irr(A)為ψ下方的一個線性特征標,應用Clifford定理得到T(α)=(G(α),N(α),ψα),其中G(α)為α在G中的慣性群,故N(α)=G(α)∩N為α在N中的慣性群,而ψα為ψ關于α的Clifford對應。對T=(G,N,ψ)重復線性約化過程可以得到一個三元組序列:

T=T0,T1,…,Tn=T′,

使得Ti為Ti-1,i=1,…,n的一個線性約化,則稱T′為T的一個多重線性約化。線性極限就是重復約化過程得到“最小”的線性約化,“最小”表示線性不可約(其任意線性約化只能是其本身)。

我們類似地給出特征標五元組的線性約化的定義。

如果L≤K均為G的正規(guī)子群,且K/L為交換群,設φ∈Irr(L)是G-不變的,并且ε和φ關于K/L完全分歧,即εK=eφ和φL=eε,則稱(G,K,L,ε,φ)為一個特征標五元組。給定一個特征標五元組C=(G,K,L,ε,φ),設A?G,A≤L且令α∈Irr(A)是φ下方的一個線性特征標,則稱C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)為C的一個線性約化,其中K(α)=G(α)∩K,L(α)=G(α)∩L分別為α在K，L中的慣性群,而εα,φα分別為ε,φ關于α的Clifford對應。我們在本文定理A中將證明特征標五元組C的線性約化C(α)仍是特征標五元組。

如果對任意A,α滿足條件

A?G,A≤L,α∈Irr(A)在φ下方且α(1)=1,

總有C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)=C, 則稱C是線性不可約的。

假設C線性可約,記C0=C,C1=C(α),接著做C1的一個線性約化C2,重復該過程即得到一個線性約化序列C=C0,C1,…,Cn=C′,稱C′為C的一個多重線性約化。若C′是C的多重線性約化且線性不可約, 則稱C′是C的線性極限。

如果只從線性約化技術來考慮,特征標五元組C=(G,K,L,ε,φ)的線性約化可看作對三元組(G,L,φ)進行線性約化,設C′為C的一個多重線性約化,若L≤H≤G,θ∈Irr(H|φ),則存在唯一的θ′∈Irr(H′|φ′)可誘導到θ,我們?nèi)苑Qθ′是θ的T′-對應(可參見[13])。

定義特征標五元組C=(G,K,L,ε,φ)的中心Z(C)為Z(T),核Ker(C)為Ker(T),其中T=(G,L,φ)。這樣,根據(jù)對三元組中心的刻畫,我們知道Z(C)是包含在L中的G的極大的正規(guī)子群,使得ζ是φ下方的Z(C)的G-不變的線性特征標,而我們知道在特征標五元組中φ是G-不變的,故Z(C)=Z(φ),Ker(C)=Ker(φ)。

為便于敘述,在此重述特征標五元組相關定義及性質(zhì)。給定一個特征標五元組C=(G,K,L,ε,φ),定義K/L上的一個二元復值函數(shù)〈x,y〉φ∈C×,對任意x,y∈K/L(在不引起混淆時可以省略下標φ),記E=K/L,Isaacs在[14]中證明了該二元函數(shù)滿足下述條件:

(1) 雙乘法性: 〈xy,z〉=〈x,z〉〈y,z〉及〈x,yz〉=〈x,y〉〈x,z〉,對任意x,y,z∈E;

(2) 交錯性: 〈x,x〉=1, 任意x∈E;

(3) 非退化性: 若對任意y∈E都有〈x,y〉=1,則x=1。

且該二元函數(shù)是G-不變的,即〈xg,yg〉=〈x,y〉,對任意x,y∈E,g∈G,此時稱E為一個辛G-模。

假設E′=K′/L′也為一個辛G-模,φ′∈Irr(L′),如果存在一個同構?∶E→E′對任意u,v∈E有〈u?,v?〉φ′=〈u,v〉φ,則稱?為一個從(E,〈-,-〉φ)到(E′,〈-,-〉φ′)的等距同構,也稱E與E′是等距的。

以下為本文的主要定理:

(1) 多重線性約化C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)仍是特征標五元組。

(3) 若C=(G,K,L,ε,φ)是互素或可控的特征標五元組,則其多重線性約化C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)也為互素或可控的特征標五元組。

由于Ψ是逐點定義的,故ΨG′∈Char(G′)有意義,從該定理中可以看出magic特征標是特征標五元組的約化過程中的一個不變量。

設L?G,χ∈Irr(G),如果存在子群N滿足L≤N≤G且ψ∈Irr(N)使得ψG=χ,ψL∈Irr(L),則稱χ是關于L的相對M-特征標。如果不存在子群J滿足L≤J≤G且δ∈Irr(J|φ)使得δG=χ,其中φ∈Irr(L),我們稱χ是關于L的相對本原特征標。

下面我們給出一個簡單的推論。

據(jù)介紹，印度是一個美麗神奇的國度，中印兩國具有密切的地緣關系和豐富的人口資源。作為發(fā)展中大國，兩國經(jīng)濟持續(xù)快速發(fā)展，人民生活水平不斷提高，中印兩國迎來了旅游業(yè)發(fā)展的黃金時期。印度已經(jīng)成為中國重要的新興客源市場，中國也是印度增長潛力最大的客源市場之一，兩國旅游市場發(fā)展前景廣闊。

推論B 設特征標五元組C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)是C=(G,K,L,ε,φ)的多重線性約化,若χ∈Irr(G|φ)是關于L的相對M-特征標,則χ的T′-對應χ′是關于L′的相對M-特征標;若χ∈Irr(G|φ)是關于L的相對本原特征標,則χ′是關于L′的相對本原特征標。

在約化過程中還發(fā)現(xiàn)一個重要的不變量:a(χ)。Lewis在[12]中給出了a(χ)的定義,它是誘導χ的子群的不可約特征標的最小次數(shù)。方便起見,我們稱其為χ的Lewis次數(shù)。關于Lewis次數(shù),我們看兩個極端情形:

當a(χ)=1,則χ為單項特征標;

當a(χ)=χ(1),則χ為本原特征標。

定理C 設特征標五元組C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)是C=(G,K,L,ε,φ)的多重線性約化,且假設χ∈Irr(G|φ),χ′是χ的T′-對應,則a(χ)=a(χ′)。特別地,χ是單項特征標當且僅當χ′是單項特征標。

1 主要定理的證明

為便于敘述,下文中Lin(A)表示A的線性特征標集合,Lin(φ|A)表示φ下方A的線性特征標集合。

由于Z(φ)是包含在L中的G的極大的正規(guī)子群,使得ζ是Z(φ)的φ下方的G-不變的線性特征標,則對任意A,α滿足條件

A?G,A≤L,α∈Lin(φ|A),且α是G-不變的,

有A≤Z(φ)且α是ζ在A的限制,容易得到φA=φ(1)α,因此可取A≥Z(C)對特征標五元組C進行線性約化,得到C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα),可以看出

Z(φ)=Z((φα)L)≤Z(φα),Ker(φ)=Ker((φα)L)≤Ker(φα)。

以下證明定理A。

定理A的證明 由多重線性約化的定義,我們只需對線性約化進行證明即可。

由于φ是G-不變的,則α的G-軌道就是α的L-軌道, 即L傳遞作用在α的G-軌道, 由Frattini引理知G=G(α)L,則容易看出G/L同構于G(α)/L(α)。

(1) 驗證C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)是特征標五元組。

(2) 顯然H(α)∩K(α)=H∩K∩G(α)=L(α)。觀察LH(α)K(α)=HK=G,由此可得

即H(α)是C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)的補子群。

下驗證(χα)H(α)=ΨH(α)θα。

(3) 由于G=G(α)L,則當C=(G,K,L,ε,φ)是互素的特征標五元組,結論顯然。當C=(G,K,L,ε,φ)是可控的特征標五元組,設K≤M?G且(|M∶K|,|K∶L|)=1,令Q=M∩H,實際上只需證明若有CK/L(Q)=1則有CK(α)/L(α)(Q(α))=1,其中Q(α)=G(α)∩Q。由于Q=Q(α)L且K/L交換,則CK/L(Q(α))=1。同(2),構造同構映射可得到CK(α)/L(α)(Q(α))=1,結論成立。

特別地,特征標五元組C的線性極限也是特征標五元組。

從線性約化角度考慮來看,特征標五元組C=(G,K,L,ε,φ)的線性約化相當于對三元組(G,L,φ)進行線性約化,故可給出特征標五元組等價的定義,并且得到特征標五元組的線性極限是等價的(參見[7]中的定理6.4)。

設L′≤J′≤G′,δ′∈Irr(J′|φ′)使得δ′G′=χ′,由于χ′G=χ,故δ′G=χ。令J=J′L,取δ∈Irr(J|φ),則δ′J=δ,從而δG=χ,這與假設矛盾,故χ′是關于L′的本原特征標。

接下來證明定理C,在證明之前,我們先給出一個引理。

引理1.1 設H≤G,θG=χ,其中χ∈Irr(G),θ∈Irr(H),且θ本原。如果存在A?G,且α∈Lin(A)在χ下方,則存在H′使得A≤H′≤G且θ′∈Irr(H′|α)滿足(θ′)G=χ,θ′(1)=θ(1)。特別地,當θ(1)=a(χ)時,θ′也本原。

證明 不妨設A≤/H。令G1=AH,A∩H=B,令χ1=?G1∈Irr(G1).

由A?G,則B?H,而θ本原,則可令β∈Irr(B)是θ下方唯一的不可約特征標。由Clifford定理可令(χ1)A=f(α1+α2+…+αt),其中f≥1,可以看出存在1≤i≤t使αi在β上方。注意到αi在χ下方,而α也在χ下方,則αi與α是G-共軛的。由于α線性,則αi線性,從而β也線性,即可得(αi)B=β。不妨設αB=β,則[αB,β]=1=[α,βA],由Mackey定理知(θG1)A=(θB)A,從而f=θ(1),βA=α1+α2+…+αt。注意到αi都是β的擴張,由此也可看出βA(1)=tα(1)=t,我們還知道βA(1)=|A∶B|β(1)=|A∶B|, 從而得到|A∶B|=t。

令H′=G1(α),且設θ′是χ1的α-Clifford對應,則(θ′)G1=χ1,從而(θ′)G=χ。

注意到|G1∶H′|=t=|A∶B|=|G1∶H|,則θ(1)=θ′(1)。

若θ(1)=a(χ),則θ′(1)=a(χ)。若θ′非本原,則a(χ)<θ′(1),與假設矛盾。

定理C的證明 令A,α滿足A?G,A≤L,α∈Lin(φ|A),只需證a(χ)=a(χα),即要說明此時Clifford對應保持Lewis次數(shù)。

取H≤G,令θ∈Irr(H)有θG=χ,且θ(1)=a(χ)。顯然,θ本原。由引理1.1,不妨設A≤H≤G,且θ在α上方。因為θ本原,所以H≤G(α)。設θG(α)=γ,由Clifford對應可以得到γ=χα,即χα是χ的α-Clifford對應,因此θ(1)≥a(χα)。這樣可得到a(χ)=θ(1)≥a(χα)≥a(χ),從而得到a(χ)=a(χα)。

當χ是單項特征標,則a(χ)=1,從而a(χα)=1,即χα是單項特征標。反過來,當χα是單項特征標,χ也是單項特征標。

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Linear Reductions of Character Fives

ZHENG Huijuan

(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

We mainly study linear reductions of character fives and gives some properties of linear reductions of character fives, which generalizes the theorems about linear limits due to Dade and Loukaki. Furthermore, it provides a kind of new technology for the study of monomial characters and primitive characters.

linear reduction;irreducible character;character five

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.002

2016-08-30；

2016-12-22

國家自然科學基金(11671238)

鄭慧娟 (1987-),女,博士研究生,研究方向為有限群表示論,E-mail:zhenghj-@hotmail.com

O152

A

0253-2395(2017)02-0216-05