應(yīng)用灰色馬爾科夫模型預(yù)測(cè)路面使用性能

蘇衛(wèi)國(guó)　李紹杰

摘要：為了提供更加準(zhǔn)確的路面使用性能預(yù)測(cè)方法，提出了一種基于灰色模型并用馬爾科夫鏈進(jìn)行修正的灰色馬爾科夫模型。結(jié)合工程實(shí)例對(duì)該方法的實(shí)用性和準(zhǔn)確性進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明：灰色馬爾科夫模型能夠在已知?dú)v史資料的基礎(chǔ)上對(duì)路面使用性能進(jìn)行比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，且和單一的灰色GM（1，1）模型相比具有更高的預(yù)測(cè)精度。

關(guān)鍵詞：灰色理論；馬爾科夫模型；路面使用性能；預(yù)測(cè)

中圖分類(lèi)號(hào)：U416.21文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B

Abstract： In order to provide a more accurate method for pavement performance prediction， the greymarkov model based on the grey model and modified by Markov chain was proposed. The applicability and accuracy of the method were tested by the engineering examples. The results show that the greymarkov model makes accurate prediction of pavement performance based on the known historic data. Compared with the single grey GM（1，1） model， the greymarkov model possesses higher precision of prediction.

Key words： grey theory； Markov model； pavement performance； prediction

0引言

在道路運(yùn)營(yíng)過(guò)程中，路面的使用性能會(huì)因?yàn)槁访姝h(huán)境的不斷變化以及交通荷載的重復(fù)作用而不斷下降，且隨時(shí)間推移呈現(xiàn)出某種衰減規(guī)律，路面使用性能的預(yù)測(cè)就是研究各種因素作用下的路面使用性能的變化規(guī)律[1]。這種規(guī)律受自然條件、社會(huì)環(huán)境、人為因素等多方面的影響，表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性和動(dòng)態(tài)性。灰色系統(tǒng)理論在預(yù)測(cè)變化趨勢(shì)較為明顯的時(shí)間序列中能表現(xiàn)出較高的精度，但是對(duì)于隨機(jī)波動(dòng)性大的時(shí)間序列預(yù)測(cè)則表現(xiàn)出比較低的精度。馬爾科夫鏈針對(duì)隨機(jī)變化的系統(tǒng)表現(xiàn)出比較好的預(yù)測(cè)性能，這恰好能彌補(bǔ)傳統(tǒng)灰色模型在這一方面的不足。路面使用性能隨時(shí)間變化的過(guò)程是一個(gè)非平穩(wěn)過(guò)程，這并不符合作為馬爾科夫鏈研究對(duì)象的條件，故本文通過(guò)灰色GM（1，1）模型對(duì)其進(jìn)行擬合，以滿(mǎn)足馬爾科夫鏈的要求[24]，為路面使用性能的預(yù)測(cè)提供一種新的有效方法。

1灰色馬爾科夫理論

1.1GM（1，1）模型

在灰色系統(tǒng)理論中，根據(jù)系統(tǒng)信息已知程度的不同將系統(tǒng)分為3種，分別是“白色系統(tǒng)”、“灰色系統(tǒng)”、“黑色系統(tǒng)”。若系統(tǒng)的信息均已知，那么就將該系統(tǒng)稱(chēng)為“白色系統(tǒng)”；若系統(tǒng)信息部分已知、部分未知，那么就將該系統(tǒng)稱(chēng)為“灰色系統(tǒng)”；如系統(tǒng)信息均為未知，那么就將該系統(tǒng)稱(chēng)為“黑色系統(tǒng)”。對(duì)于路面使用性能預(yù)測(cè)問(wèn)題而言，系統(tǒng)信息包含路面使用性能的歷史資料、交通荷載因素、環(huán)境影響因素、人為因素等諸多信息。該系統(tǒng)信息部分已知、部分未知，構(gòu)成了一個(gè)較為復(fù)雜的灰色系統(tǒng)，因此路面使用性能的預(yù)測(cè)問(wèn)題可以采用灰色系統(tǒng)理論來(lái)進(jìn)行求解[57]。

灰色系統(tǒng)理論建模的基本思想是：將白色信息序列按照一定規(guī)律組成動(dòng)態(tài)、非動(dòng)態(tài)的白色模塊，再通過(guò)一定的算法求解將來(lái)的灰色模型。灰色模型的求解過(guò)程是一個(gè)系統(tǒng)白度不斷提高的過(guò)程，隨著系統(tǒng)白度的不斷提高，其發(fā)展變化規(guī)律也會(huì)逐漸顯現(xiàn)?；疑碚撃Ｐ褪墙⒃诎央x散的時(shí)間序列擬合為一階線(xiàn)性微分方程的基礎(chǔ)之上的。GM（1，1）模型的變量只有一個(gè)，較為簡(jiǎn)單，容易被人們理解和接受，在灰色系統(tǒng)理論的預(yù)測(cè)模型中是應(yīng)用得比較廣泛的一種。在建模過(guò)程中，GM（1，1）模型并不是對(duì)系統(tǒng)中的所有因素進(jìn)行分析擬合，而是對(duì)系統(tǒng)中的主要因素進(jìn)行分析擬合并預(yù)測(cè)，以生成的函數(shù)作為預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)。GM（1，1）模型所采用的建模數(shù)據(jù)并非是所收集的原始?xì)v史數(shù)據(jù)序列，而是通過(guò)累加變換得到的新的數(shù)據(jù)序列。具體建模過(guò)程和運(yùn)算步驟如下。

1.2馬爾科夫模型

馬爾科夫預(yù)測(cè)模型是一種隨機(jī)的、變化的數(shù)學(xué)過(guò)程，建模的核心在于掌握系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移規(guī)律。馬爾科夫概率預(yù)測(cè)模型的基本思想是分析研究系統(tǒng)現(xiàn)狀，利用馬爾科夫鏈求解得出系統(tǒng)將來(lái)可能變化所至的某特定狀態(tài)的概率[812]。因?yàn)樵摂?shù)學(xué)過(guò)程有一定的隨機(jī)離散特性，所以需要采用數(shù)學(xué)概率來(lái)定量表述系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移的可能性大小。定義St為系統(tǒng)在時(shí)刻t所處的狀態(tài)，若在t=i時(shí)刻的狀態(tài)Si為已知，那么在未來(lái)的某個(gè)t=i+1時(shí)刻系統(tǒng)所能達(dá)到的某種狀態(tài)Si+1只與t=i時(shí)刻的狀態(tài)Si有關(guān)，而與之前的狀態(tài)沒(méi)有關(guān)系，即馬爾科夫鏈可以看成是一種無(wú)后效性的離散隨機(jī)過(guò)程。定義Pij為系統(tǒng)由狀態(tài)Si經(jīng)過(guò)一次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的概率，當(dāng)系統(tǒng)存在n種狀態(tài)，把這些狀態(tài)組合在一起后所構(gòu)成的矩陣P稱(chēng)之為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

2應(yīng)用實(shí)例

2.1預(yù)測(cè)指標(biāo)選取

如今使用最多的路面結(jié)構(gòu)主要有2種——水泥路面和瀝青路面，本文選廣東省某路段水泥路面作為研究對(duì)象進(jìn)行分析。評(píng)價(jià)水泥路面狀況的指標(biāo)有很多，包含路面狀況指數(shù)（PCI）、斷板率（DBL）、彎沉等。當(dāng)用斷板率來(lái)評(píng)價(jià)路面時(shí)，由于相同斷板率下，不同損壞程度所對(duì)應(yīng)的路面損壞差異非常大，因此斷板率和路面損壞狀況的相關(guān)性不強(qiáng)。水泥路面的彎沉值是一個(gè)平均值，因此容易掩蓋彎沉值較大的板塊，所以采用彎沉值來(lái)衡量水泥路面的好壞也不合適。路面狀況指數(shù)PCI可以綜合反映混凝土路面各方面的性能，如混凝土面層的不同破壞類(lèi)型、破壞范圍和破損嚴(yán)重程度等，能夠?qū)⑺嗦匪幍穆访嫫茡p狀況最直接地反映出來(lái)，所以本文采用PCI作為示例中水泥路面的預(yù)測(cè)指標(biāo)[1718]。

2.2路面狀況指數(shù)GM（1，1）模型

收集廣東省某路段水泥路面2006～2015年的路面使用性能數(shù)據(jù)，選取PCI數(shù)值作為原始數(shù)據(jù)序列，其中以2006～2013年的PCI數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，2014～2015年P(guān)CI數(shù)據(jù)作為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛢?yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。2006～2015年某路段水泥路面PCI數(shù)據(jù)如表1所示。

由表5可知，2014年和2015年P(guān)CI的GM（1，1）預(yù)測(cè)值殘差處于3種狀態(tài)的概率是不一樣的，2014年預(yù)測(cè)值殘差所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)向量中，殘差狀態(tài)處于狀態(tài)1的概率最大為0.5，所以選擇狀態(tài)1所對(duì)應(yīng)的誤差區(qū)間[0.5%，1.5%]的中值1%對(duì)GM（1，1）模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正，修正方式如式（14）所示，修正后得到的2014年水泥路面PCI預(yù)測(cè)值為66.1。2015年預(yù)測(cè)值殘差所對(duì)應(yīng)的殘差狀態(tài)向量中，殘差狀態(tài)處于狀態(tài)1的概率最大為0.375，同理選擇狀態(tài)1所對(duì)應(yīng)區(qū)間[0.5%，1.5%]的中值1%對(duì)GM（1，1）模型預(yù)測(cè)值進(jìn)行修正，修正后得到的2015年水泥路面PCI預(yù)測(cè)值為63.2。根據(jù)式（11）分別計(jì)算GM（1，1）預(yù)測(cè)模型和灰色馬爾科夫模型的預(yù)測(cè)殘差比率，2種預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)值及相應(yīng)的殘差比率計(jì)算結(jié)果如表6所示。

3結(jié)語(yǔ)

本文運(yùn)用灰色馬爾科夫鏈路面使用性能預(yù)測(cè)模型，對(duì)廣東省某地區(qū)水泥路面的PCI進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析，得出如下結(jié)論。

（1）路面使用性能的預(yù)測(cè)受到各方面不同因素的影響，具有隨機(jī)性和波動(dòng)性。在具有一定歷史數(shù)據(jù)的條件下，通過(guò)建立灰色馬爾科夫模型，借助Matlab計(jì)算求解，驗(yàn)證了該模型能夠達(dá)到比較高的預(yù)測(cè)精度。

（2）灰色馬爾科夫模型是基于馬爾科夫鏈對(duì)灰色模型進(jìn)行修正，實(shí)例表明單一的GM（1，1）模型對(duì)路面使用性能的預(yù)測(cè)也能達(dá)到一定精度，但是經(jīng)過(guò)馬爾科夫鏈修正后的預(yù)測(cè)結(jié)果更加準(zhǔn)確，實(shí)用性更強(qiáng)。

（3）在實(shí)際工程中，采用灰色馬爾科夫模型對(duì)水泥路面使用性能進(jìn)行預(yù)測(cè)是可行的，本文雖然以路面狀況指數(shù)PCI的預(yù)測(cè)為例，但也適用于路面使用性能其他指標(biāo)的預(yù)測(cè)。實(shí)例證明這一模型具有較高的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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[責(zé)任編輯：杜敏浩]