用圖式理論理解高中數(shù)學(xué)教學(xué)的嘗試

萬凌霞

[摘 要] 圖式理論是經(jīng)典的教學(xué)理論，在課程改革以來的教學(xué)語境中，圖式理論有被邊緣化的情形. 在核心素養(yǎng)引領(lǐng)教育的背景下，進(jìn)一步研究圖式理論，可以為高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來有益的啟示. 一線教師可以從圖式理論如何解釋學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如何指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)角度來展開研究，并在實(shí)踐的基礎(chǔ)上展望圖式理論可能發(fā)揮的作用.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；圖式理論；教學(xué)理解

圖式理論是描述學(xué)生學(xué)習(xí)的基本理論，在近年來高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究中，看到不少仍然堅(jiān)持從圖式理論角度來研究高中數(shù)學(xué)教學(xué)的文獻(xiàn)，這一點(diǎn)特別值得肯定，因?yàn)榻陙恚P(guān)于高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究更多的是在教學(xué)方式、教學(xué)形式上做文章，在筆者看來這是必要的，因?yàn)榻虒W(xué)的形式常常決定了教學(xué)內(nèi)容能否有效地被學(xué)生內(nèi)化，這對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來說尤為必要. 可以肯定的是，通過教學(xué)方式與教學(xué)形式的改變，可以讓學(xué)生更好地進(jìn)入學(xué)習(xí)的狀態(tài)中來，從而促進(jìn)學(xué)生更好地完成數(shù)學(xué)知識的構(gòu)建. 但同時(shí)不可忽視的是，教學(xué)形式與方式的改變，只能是從學(xué)生的學(xué)習(xí)表象處研究并施力，要真正了解學(xué)生的學(xué)習(xí)機(jī)制，那還得從內(nèi)在的因素入手，而圖式理論就是一個(gè)很好地解釋學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)在機(jī)制的理論. 考慮到高中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出來的不同程度的困難，筆者以為在學(xué)科核心素養(yǎng)引領(lǐng)教學(xué)的今天，更需要用這些經(jīng)典理論來研究并理解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

圖式理論如何解釋高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

在筆者與同行交流的過程中發(fā)現(xiàn)，其實(shí)只要是經(jīng)過基本的師范教育的同行，對圖式這一概念還是比較熟悉的，但對圖式的內(nèi)容相對就陌生了一些. 而在筆者的研究中也發(fā)現(xiàn)，其實(shí)不同理論流派對圖式的解釋也有所差異，因此這里只選擇獲得相對普遍認(rèn)同的理解，來作為解釋高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的內(nèi)容，并以之支撐對高中數(shù)學(xué)教學(xué)的研究. 這里闡述三個(gè)層次的內(nèi)容：第一個(gè)層次，認(rèn)識圖式，圖式是表征學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中形成于記憶中的基本概念；第二個(gè)層次，理解圖式，圖式被認(rèn)為是一個(gè)“知識包”，這個(gè)知識包中的不同知識在學(xué)生受到外界刺激（這里指服務(wù)于學(xué)習(xí)的問題刺激）時(shí)，可以向?qū)W生的思維提供各種材料，以保證學(xué)習(xí)可以順利發(fā)生；第三個(gè)層次，圖式理論，圖式理論通常被認(rèn)為是圖式如何在學(xué)生的學(xué)習(xí)中發(fā)揮作用的理論.

有人為了普通教師更好地理解圖式，提出了這樣的觀點(diǎn)：既然圖式是為了解釋學(xué)習(xí)的，那圖式就應(yīng)當(dāng)是一個(gè)心理模型. 筆者以為，從模型的角度來認(rèn)識圖式，最大的好處就是其可以為教師研究學(xué)生的學(xué)習(xí)提供一個(gè)整體性思路，使得教師可以用這個(gè)模型去解釋學(xué)生的學(xué)習(xí). 事實(shí)上在筆者在用圖式理解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的時(shí)候，恰恰就是將其當(dāng)模型使用的. 這里不妨以“拋物線”的學(xué)習(xí)為例，來看看圖式理論是如何發(fā)揮作用的.

高中階段的拋物線學(xué)習(xí)，是在原有基礎(chǔ)上研究拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等問題. 通常情況下，拋物線的教學(xué)遵循著這樣的幾個(gè)基本環(huán)節(jié)：一是通過生活中實(shí)例的提供，讓學(xué)生認(rèn)識到生活當(dāng)中是有拋物線（面）的存在的；二是通過拋物線定義的給出，通過一系列的邏輯推理來得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；三是通過一定的形式（通常都是表格）來構(gòu)建對拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程在不同形式下的圖形、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、開口方向等要素的理解. 從拋物線的邏輯來看，這樣的教學(xué)順序是合理的，而從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展角度來看，這樣設(shè)計(jì)的奧妙就可以從圖式理論角度來給予解釋.具體闡述如下：

第一，生活實(shí)例的提供，讓學(xué)生認(rèn)識到拋物面是由拋物線旋轉(zhuǎn)而成的. 通常情況下，這樣的表述在教學(xué)中常常被一語帶過，但在筆者看來其實(shí)可以稍微多花點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生去構(gòu)建想象的表象. 因?yàn)榇藭r(shí)，學(xué)生原有的圖式中是有拋物線的表象的，提到拋物線，學(xué)生第一反應(yīng)就是腦海中會出現(xiàn)一個(gè)開口向上、頂點(diǎn)在原點(diǎn)處的拋物線，如果讓學(xué)生對此表象進(jìn)行動態(tài)加工，讓學(xué)生想象其圍繞y軸轉(zhuǎn)動，就可以得到一個(gè)拋物面. 這個(gè)過程中，拋物線表象的出現(xiàn)，以及生成的拋物面的想象表象，都是圖式在發(fā)揮作用.

第二，當(dāng)教師呈現(xiàn)“拋物線是平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（F不在l上）距離相等的點(diǎn)的軌跡”，并給定F點(diǎn)就是焦點(diǎn)，l就是準(zhǔn)線的界定. 在此基礎(chǔ)上，學(xué)生的學(xué)習(xí)就圍繞推理得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程而進(jìn)行. 這個(gè)過程中，圖式發(fā)揮的作用是，用圖式中的邏輯推理為學(xué)生理解加工拋物線的定義，而思維的加工過程，就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程形成的過程，在此過程中直角坐標(biāo)系的建立、焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的設(shè)定（這一點(diǎn)在前面的圓錐曲線的學(xué)習(xí)中學(xué)生是有經(jīng)驗(yàn)的）、等式的得出直至y2=2px（p>0）的得出，其實(shí)都是圖式中的“知識表征以及知識如何運(yùn)用”等在發(fā)揮作用.

這里不妨說明一下，如果學(xué)生在拋物線的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)了困難，那就是這些學(xué)生的圖式中對相關(guān)知識的表征不完整，或者是這些知識的運(yùn)用出現(xiàn)了問題，這也意味著教師的教學(xué)重心應(yīng)當(dāng)落在完善學(xué)生的圖式上. 關(guān)于這一點(diǎn)，下面進(jìn)行詳細(xì)的描述.

如何用圖式理論指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，會出現(xiàn)很明顯的分層現(xiàn)象，總分150分的試卷常常會出現(xiàn)高的近乎滿分，低的才十幾二十幾分. 造成這樣的差距的原因是多方面的，很多時(shí)候教師與學(xué)生一起三年的努力也未必能夠改變多少，但筆者發(fā)現(xiàn)如果從圖式理論角度來對這些加以解釋并做出改進(jìn)，數(shù)學(xué)教學(xué)的思路會更加明晰. 當(dāng)然，考慮到文章的方向，這里不針對分層教學(xué)做出過細(xì)的解釋，只從高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般規(guī)律角度，針對學(xué)生在數(shù)學(xué)知識建構(gòu)過程中出現(xiàn)的困難來給予解釋.

仍以上面的“拋物線”教學(xué)為例.有的學(xué)生在構(gòu)建拋物線最初就會遇到困難，為什么呢？因?yàn)槠浯竽X中的拋物線表象是模糊的，其在構(gòu)建拋物面的想象表象時(shí)也是有困難的.如果教師在教學(xué)中關(guān)注到這類學(xué)生的這一問題，那就可以采取一些預(yù)設(shè)的教學(xué)手段，比如說用多媒體呈現(xiàn)一個(gè)動態(tài)的拋物線旋轉(zhuǎn)形成拋物面的圖形，這就可以讓這些學(xué)生順利地跨過形成表象、加工表象這一困難. 當(dāng)然，這里要注意教學(xué)順序：不能一下子就呈現(xiàn)動畫，而應(yīng)當(dāng)先讓學(xué)生想象—滿足圖式中材料充足者的需要，然后再呈現(xiàn)—豐富這一類學(xué)生的圖式，這樣就可以滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需要.

再談學(xué)生對拋物線定義的理解.在呈現(xiàn)拋物線定義的時(shí)候，是以文字形式，還是圖片形式，其實(shí)也是需要教師認(rèn)真思考的. 因?yàn)槲淖中问脚c圖片形式對于學(xué)生的思維方式來說是不同的，提供文字意味著學(xué)生需要的是抽象思維，呈現(xiàn)圖片意味著學(xué)生所需要的是形象思維. 盡管我們說高中學(xué)生的抽象思維能力比較強(qiáng)，但不要忘了圖式理論同時(shí)提醒我們：如果學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中遇到困難的時(shí)候，他們很可能會退回到更低級的思維方式上去.形象思維相對于抽象思維而言，是一種較為低級的思維方式（這里的低級并無貶義，而是指思維的層次性），因此在這一教學(xué)環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生的思維方式充分發(fā)揮應(yīng)有的作用，就需要教師認(rèn)真斟酌. 筆者的觀點(diǎn)是，高中數(shù)學(xué)知識體系的建立更多的需要依賴于抽象思維，而形象思維通常是發(fā)生在新概念或規(guī)律的形成過程中，那拋物線作為一節(jié)新課的學(xué)習(xí)，更多的還是應(yīng)當(dāng)先以學(xué)生的形象思維作為支撐，即先用圖片（也可以是幾何畫板制成的動畫）來刺激學(xué)生的形象思維，這樣可以保證絕大總分學(xué)生的學(xué)習(xí)需要；其后再通過表格來呈現(xiàn)不同形式的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及各個(gè)方面的性質(zhì)，則可以從抽象思維角度刺激學(xué)生構(gòu)建關(guān)于拋物線的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 筆者以為，這樣的選擇是一個(gè)比較合理的運(yùn)用圖式指導(dǎo)拋物線學(xué)習(xí)的選擇.

又如學(xué)生在利用拋物線知識解決問題的過程中，也需要引導(dǎo)學(xué)生用圖式來實(shí)現(xiàn)有效的思維加工. 關(guān)于這一點(diǎn)，專家研究得最多的就是新手與專家（比如說教師）的區(qū)別，研究發(fā)現(xiàn)專家與新手面對同一個(gè)問題時(shí)，所選擇的解決問題的模型是不一樣的，而建構(gòu)出什么水平的模型就與圖式有關(guān). 讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)從陳述性知識向程序性知識的轉(zhuǎn)化，是提升圖式水平的重要舉措，在運(yùn)用拋物線解決的情境中，就是要讓學(xué)生將定義性知識、表格中的陳述性知識轉(zhuǎn)換為基于不同標(biāo)準(zhǔn)方程的拋物線的結(jié)構(gòu)性知識.

基于圖式理論展望高中數(shù)學(xué)教與學(xué)

回顧已有的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，展望學(xué)生未來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，在課程改革的理念之下，當(dāng)教師將研究的目光從研究教學(xué)轉(zhuǎn)向研究學(xué)生的學(xué)習(xí)然后再研究教學(xué)時(shí)，就意味著圖式理論可以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮重要的作用，也意味著學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以在建構(gòu)更好的圖式基礎(chǔ)上獲得發(fā)展.

這里需要特別指出的一點(diǎn)是，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來說，提高圖式的自動化是提高教學(xué)效益的關(guān)鍵途徑. 研究表明，當(dāng)圖式的自動化程度越高時(shí)，學(xué)生的思維加工更容易被釋放，而這對于高中數(shù)學(xué)教學(xué)來說是極為珍貴的，因?yàn)檫@意味著學(xué)生可以將更多的思維（工作記憶）投入問題理解與解決當(dāng)中去.

總之，基于圖式理論展望高中數(shù)學(xué)教學(xué)，可以更好地抓住學(xué)生的思維本質(zhì)，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)沿著健康的軌道順利發(fā)展.