基于小波和乘法混合核函數(shù)LSSVM的順風(fēng)向非高斯空間風(fēng)壓預(yù)測(cè)

遲恩楠， 李春祥， 鄭曉芬

(1. 上海大學(xué) 土木工程系，上海 200444；2. 同濟(jì)大學(xué) 建筑工程系，上海 200092)

基于小波和乘法混合核函數(shù)LSSVM的順風(fēng)向非高斯空間風(fēng)壓預(yù)測(cè)

遲恩楠1， 李春祥1， 鄭曉芬2

(1. 上海大學(xué) 土木工程系，上海 200444；2. 同濟(jì)大學(xué) 建筑工程系，上海 200092)

提出了基于Marr小波核函數(shù)最小二乘支持向量機(jī)(Marr-LSSVM)的順風(fēng)向非高斯空間風(fēng)壓預(yù)測(cè)算法。通過(guò)傳統(tǒng)高斯核函數(shù)(RBF)和多項(xiàng)式核函數(shù)(Poly)的乘法運(yùn)算，提出了Poly*RBF-LSSVM(MK-LSSVM)的空間風(fēng)壓預(yù)測(cè)算法。運(yùn)用粒子群優(yōu)化(PSO)算法，對(duì)Marr-LSSVM、傳統(tǒng)單核CSK-LSSVM和MK-LSSVM的懲罰參數(shù)、核函數(shù)參數(shù)、權(quán)重、尺度因子進(jìn)行優(yōu)化，建立基于智能優(yōu)化的非高斯空間風(fēng)壓預(yù)測(cè)算法；以30 m和50 m處模擬順風(fēng)向風(fēng)壓時(shí)程作為輸入樣本，使用提出的預(yù)測(cè)算法對(duì)40 m處風(fēng)壓時(shí)程進(jìn)行了預(yù)測(cè)。數(shù)值分析表明，Marr-LSSVM、MK-LSSVM比CSK-LSSVM具有明顯高的非高斯風(fēng)壓預(yù)測(cè)性能。

預(yù)測(cè)；順風(fēng)向非高斯風(fēng)壓；小波核函數(shù)；乘法混合核函數(shù)；最小二乘支持向量機(jī)；粒子群優(yōu)化

基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)技術(shù)的樣本學(xué)習(xí)、訓(xùn)練為信號(hào)預(yù)測(cè)提供了一個(gè)可行的途徑。目前，信號(hào)預(yù)測(cè)主要有時(shí)間序列、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)等方法[1-5]。然而，這些方法都存在理論上或應(yīng)用上的不足。例如，時(shí)問(wèn)序列方法，高階模型參數(shù)估計(jì)難度大、低階模型預(yù)測(cè)精度低。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種常規(guī)的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)算法，具有逼近任意非線性函數(shù)的能力，可以映射出序列問(wèn)題復(fù)雜的非線性關(guān)系，從而在信號(hào)預(yù)測(cè)中得到廣泛應(yīng)用。然而，傳統(tǒng)的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在一些問(wèn)題：運(yùn)行時(shí)問(wèn)長(zhǎng)，容易陷入局部極小等。支持向量機(jī)(Support Vector Machine，SVM)通過(guò)核函數(shù)定義的非線性變換將輸入空間變換到一個(gè)高維空間，在這個(gè)高維空間中尋找輸入變量和輸出變量之間的一種線性關(guān)系，解決了“維數(shù)災(zāi)難”問(wèn)題。然而，核函數(shù)的選擇和參數(shù)優(yōu)化決定了SVM的特性。非高斯空間風(fēng)壓數(shù)據(jù)在高維特征空間分布不平坦，具有尖刺特征。顯然，常規(guī)(既傳統(tǒng)的)的核函數(shù)對(duì)非高斯空間風(fēng)壓樣本的處理可能不合理。為提升非高斯空間風(fēng)壓的預(yù)測(cè)精度，本文根據(jù)小波分析理論，構(gòu)造出滿足Mercer平移不變核定理的小波核函數(shù)，建立基于Marr小波核函數(shù)最小二乘支持向量機(jī)(Marr-LSSVM(Least Squares Support Vector Machines))的非高斯空間風(fēng)壓預(yù)測(cè)算法；同時(shí)，利用Hilbert空間運(yùn)算的封閉性，通過(guò)傳統(tǒng)高斯核函數(shù)(Radial Basis Function, RBF)和多項(xiàng)式核函數(shù)(Poly)的乘法運(yùn)算，建立基于乘法混合核函數(shù)LSSVM(MK-LSSVM)的非高斯空間風(fēng)壓預(yù)測(cè)算法。

1 最小二乘支持向量機(jī)(LSSVM)

給定訓(xùn)練樣本集T={(xi,yi)|xi∈Rn,yi∈R,i=1,2,…,l}，Suykens等[6]根據(jù)正則化理論改變標(biāo)準(zhǔn)SVM的約束條件和風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，即不敏感損失函數(shù)被誤差的二次平方項(xiàng)代替而作為損失函數(shù)，不等式約束條件轉(zhuǎn)變成等式約束條件。因此，LSSVM將求解二次規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求解式(1)線性方程組。

s.t.[yi-(ω·Ψ(xi)+b)=ei],i=1,2,3,…,l

(1)

式中：ω為權(quán)向量；b為偏置項(xiàng)；C為懲罰參數(shù)；ei∈R為誤差，e∈Rl×l為誤差向量。為解決式(1)的優(yōu)化問(wèn)題，構(gòu)造Lagrange函數(shù)

(2)

對(duì)式(2)求偏導(dǎo)，并根據(jù)最優(yōu)化理論中的KKT(Karush-Kuhn-Tucher)條件，得到式(3)和約束條件

(3)

設(shè)α=[α1,α2,…，αl]T，Q=[1,1,…,1]T，Y=[y1,y2,…,yl]T，I為單位矩陣。聯(lián)立求解方程組，消去ω和ei，則式(3)的解為

(4)

最后，得到LSSVM的回歸模型

(5)

式中，K為核函數(shù)矩陣，其中元素k(xi,xj)=Ψ(xi)×Ψ(xj)。

2 LSSVM的核函數(shù)及發(fā)展

由式(5)可知，核函數(shù)是支持向量機(jī)的核心。核函數(shù)的引入巧妙地避開(kāi)了高維空間數(shù)學(xué)運(yùn)算復(fù)雜度的問(wèn)題，使得支持向量機(jī)可以在較少的樣本下有效地處理高維問(wèn)題。

傳統(tǒng)的單一核函數(shù)(Conventional Single Kernel, CSK)。核函數(shù)研究表明，對(duì)于特定的核函數(shù)，在給定樣本集中的任意一個(gè)樣本都可能成為一個(gè)支持向量。這就意味著在一個(gè)核函數(shù)下觀察到的特征在其它核函數(shù)下并不能保持[7]。因此，對(duì)解決具體問(wèn)題來(lái)說(shuō)，選擇合適的核函數(shù)是非常重要的。核函數(shù)在數(shù)學(xué)上必須滿足Mercer條件，傳統(tǒng)的核函數(shù)分為兩大類：局部核和全局核[8-9]。局部核的二維圖形表現(xiàn)為鐘形特征，即當(dāng)輸入向量x和y相距較遠(yuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的核估計(jì)值將變得非常小甚至為0，具有很好的局部學(xué)習(xí)能力，插值能力較強(qiáng)，例如高斯核函數(shù)(RBF)

(6)

式中，σ為RBF核寬度。

全局核考慮所有輸入樣本數(shù)據(jù)在特征空間的點(diǎn)積作用，因此它有著良好的全局性質(zhì)，泛化能力出眾，例如多項(xiàng)式核函數(shù)(Poly)

KPoly(x,y)=[(x·y)+1]q

(7)

式中，q為Poly核階數(shù)。

單一小波核函數(shù)(Wavelet Kernel, WK)。根據(jù)小波分析理論，對(duì)母小波函數(shù)h(x)進(jìn)行伸縮和平移，可以得到與母小波相似的副本[10-11]，即

(8)

式中：a為尺度因子；b為平移因子。

根據(jù)式(8)構(gòu)造滿足Mercer平移不變核定理小波核函數(shù)，即平移不變核函數(shù)K(x,y)=K(x-y)是一個(gè)允許支持向量核，當(dāng)且僅當(dāng)K(x)的傅里葉變換

(9)

則由該函數(shù)生成的Mercer平移不變核函數(shù)為

(10)

選定常用的母小波有：Marr小波函數(shù)

(11)

為證明滿足Mercer平移不變核定理，將式(11)代入式(9)可得到

(12)

則對(duì)于所有ω均有式(13)的F[k](ω)≥0，所以Marr小波核函數(shù)為支持向量機(jī)允許核函數(shù)。將式(11)代入式(10)可生成Mercer平移不變核的Marr小波核函數(shù)

(13)

乘法混合核函數(shù)(Multiplicative Mixed Kernel, MK)。支持向量機(jī)核函數(shù)是在完備的內(nèi)積空間定義的，其在希爾伯特空間的乘積運(yùn)算屬于封閉運(yùn)算，其結(jié)果仍屬于希爾伯特空間[12-13]。根據(jù)Mercer條件，設(shè)K1和K2是χ×χ(χ?Rn)上的核函數(shù)，則式(14)對(duì)核函數(shù)的混合仍為支持向量機(jī)允許核函數(shù)。

K(x,y)=K1(x,y)·K2(x,y)

(14)

根據(jù)式(13)和式(14)，結(jié)合局部核RBF和全局核Poly兩種核函數(shù)的優(yōu)勢(shì)，構(gòu)造混合核函數(shù)，使其兼具局部核函數(shù)和全局核函數(shù)的特征，以此提高學(xué)習(xí)精度。混合核函數(shù)具體構(gòu)造為

Poly*RBF組合

(15)

式中，a為核權(quán)重系數(shù)，a∈[0,1]。

由式(15)所建立的多核混合矩陣為對(duì)稱矩陣，具有下列性質(zhì)。

(16)

綜上，本文根據(jù)小波分析理論，建立了滿足Mercer平移不變核定理的Marr小波核函數(shù)KMarr；為改進(jìn)傳統(tǒng)單核CSK-LSSVM預(yù)測(cè)精度不高的缺陷，構(gòu)造基于乘法運(yùn)算的混合核函數(shù)K*。

3 非高斯空間風(fēng)壓的預(yù)測(cè)算法

將順風(fēng)向非高斯風(fēng)壓樣本進(jìn)行歸一化處理后，輸入到核函數(shù)中，形成核函數(shù)矩陣，即將非高斯風(fēng)壓樣本映射到高維特征空間。在特征空間，對(duì)核函數(shù)矩陣實(shí)施各種線性算法，以建立順風(fēng)向非高斯風(fēng)壓的預(yù)測(cè)算法。根據(jù)上述核函數(shù)，表1給出了SK-LSSVM和MK-LSSVM的非高斯風(fēng)壓預(yù)測(cè)算。

表1 SK-LSSVM和MK-LSSVM非高斯風(fēng)壓預(yù)測(cè)算法

Fig.1 SK-LSSVM and MK-LSSVM algorithms for the prediction of non-Gaussian wind pressure

模型核函數(shù)形成方式核函數(shù)表達(dá)式SK-LSSVM(單核)CSK-LSSVM(傳統(tǒng)單核)RBFPoly式(6)式(7)Marr-LSSVM(小波核)Marr式(13)MK-LSSVM(混合核)Poly*RBF-LSSVM(乘法混合)式(15)

采用PSO優(yōu)化算法，對(duì)表1中的SK-LSSVM和MK-LSSVM參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，以建立PSO-CSK-LSSVM、PSO-WLSSVM(PSO-Marr-WLSSVM)和PSO-MK-LSSVM(PSO-Poly*RBF-LSSVM)預(yù)測(cè)算法。圖1給出了非高斯空間風(fēng)壓預(yù)測(cè)算法流程。

圖1 順風(fēng)向非高斯空間風(fēng)壓預(yù)測(cè)算法的流程

Fig.1 Flowchart of algorithms for the prediction of non-Gaussian spatial along-wind pressure

4 預(yù)測(cè)算法的數(shù)值驗(yàn)證

考慮某160 m高的超高層建筑，每隔10 m選為非高斯風(fēng)壓模擬點(diǎn)，以獲得不同高度處的非高斯風(fēng)壓時(shí)程，本文僅考慮順風(fēng)向風(fēng)荷載。脈動(dòng)風(fēng)速譜采用Kaimal譜，脈動(dòng)風(fēng)速互功率譜為

(17)

在順風(fēng)向風(fēng)荷載作用下，根據(jù)“準(zhǔn)定常”理論設(shè)風(fēng)壓目標(biāo)邊緣概率分布函數(shù)為對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則風(fēng)壓目標(biāo)功率譜函數(shù)為

(18)

根據(jù)上述風(fēng)速風(fēng)壓公式和表2的相關(guān)模擬參數(shù)，采用無(wú)記憶非線性轉(zhuǎn)換方法[14-15]模擬生成30 m和50 m處1 000 s順風(fēng)向非高斯風(fēng)壓樣本，如圖2所示。

表2 數(shù)值模擬參數(shù)

(a) h=30 m

基于智能優(yōu)化SK-LSSVM和MK-LSSVM的非高斯風(fēng)壓預(yù)測(cè)步驟如下：

步驟1 設(shè)30 m和50 m處的風(fēng)壓時(shí)程為輸入樣本，而40 m處的風(fēng)壓時(shí)程作為輸出。將1 000 s的非高斯風(fēng)壓樣本數(shù)據(jù)分成兩部分：前500 s的風(fēng)壓數(shù)據(jù)作為學(xué)習(xí)訓(xùn)練樣本，后500 s的風(fēng)壓數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)驗(yàn)證樣本。對(duì)40 m處的后500 s非高斯風(fēng)壓進(jìn)行預(yù)測(cè)。

步驟2 設(shè)PSO粒子種群規(guī)模M=30，迭代次數(shù)K=150，隨機(jī)產(chǎn)生粒子初始位置和初始速度，確定核函數(shù)待優(yōu)化參數(shù)的取值范圍，如表3所示。其中，對(duì)Poly核，取q=3以達(dá)到全局?jǐn)M合能力與計(jì)算時(shí)間的折衷。

表3 核參數(shù)的取值范圍

步驟3 輸入訓(xùn)練樣本數(shù)據(jù)，利用核函數(shù)將非高斯風(fēng)壓樣本映射到高維特征空間，建立LSSVM預(yù)測(cè)算法。計(jì)算每個(gè)粒子的適應(yīng)度，通過(guò)粒子自身適應(yīng)度與自身最佳適應(yīng)度值和群體最優(yōu)適應(yīng)度值的比較，不斷地更新粒子的速度和位置，獲得最優(yōu)參數(shù)，從而建立基于表1中4種核函數(shù)的最優(yōu)LSSVM算法。于是，對(duì)后500 s采樣時(shí)間點(diǎn)的非高斯風(fēng)壓進(jìn)行預(yù)測(cè)。

使用提出的Marr-WLSSVM和MK-LSSVM算法對(duì)40 m處的后500 s非高斯風(fēng)壓進(jìn)行預(yù)測(cè)，同時(shí)給出CSK-LSSVM(包括RBF-LSSVM和Poly-LSSVM)的預(yù)測(cè)結(jié)果作為對(duì)比。非高斯風(fēng)壓時(shí)程的預(yù)測(cè)值，如圖3所示，自相關(guān)函數(shù)的對(duì)比，如圖4所示；訓(xùn)練集和預(yù)測(cè)集的評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比，如圖5所示；訓(xùn)練集和預(yù)測(cè)集的偏度、峰度對(duì)比如表4和表5所示。

(a)

(b)

從這些結(jié)果可看出，核函數(shù)的選取對(duì)LSSVM預(yù)測(cè)效果有較大的影響。無(wú)論是訓(xùn)練集還是預(yù)測(cè)集，CSK-LSSVM的風(fēng)壓預(yù)測(cè)結(jié)果精度較差；特別，從預(yù)測(cè)風(fēng)壓的自相關(guān)函數(shù)(見(jiàn)圖4)看，CSK-LSSVM的結(jié)果與模擬值擬合較差，存在很大的誤差。根據(jù)評(píng)價(jià)指標(biāo)(見(jiàn)圖5)，無(wú)論是訓(xùn)練集還是預(yù)測(cè)集，MK-LSSVM和Marr-LSSVM的MAE和RMSE比CSK-LSSVM的下降很多。以預(yù)測(cè)集的風(fēng)壓為例，MK-LSSVM較RBF-LSSVM的MAE由15.165降為6.506，RMSE由20.527降為8.081，誤差下降幅度分別為57%和60%；Marr-LSSVM也是如此。同時(shí)，雖然預(yù)測(cè)集風(fēng)壓的相關(guān)系數(shù)R=0.904(RBF-LSSVM)、R=0.920(Poly-LSSVM)都達(dá)到0.9以上，但與MK-LSSVM(R=0.986)和Marr-LSSVM(R=0.967)相比，其精度依然有待提高。其主要原因是：RBF核有局部性，學(xué)習(xí)能力很強(qiáng)但泛化能力較弱，導(dǎo)致其預(yù)測(cè)結(jié)果誤差很大；而Poly核為全局核，雖然有較強(qiáng)的泛化能力，但是對(duì)數(shù)據(jù)信號(hào)的局部分析能力較弱，不能滿足預(yù)測(cè)完整風(fēng)壓時(shí)程精度的要求。

(a)

(b)

Fig.4 Autocorrelation functions, respectively, corresponding to predicted and simulated wind pressure time histories at 40 m

(a) 訓(xùn)練集

(b) 測(cè)試集

Fig.5 Prediction performance index for training and testing data set(at 40 m)

非高斯風(fēng)壓的最顯著特征是高階矩，即偏度(三階)和峰度(四階)。表4給出了訓(xùn)練集中模擬風(fēng)壓的偏度為0.929、峰度為4.498，而4種核函數(shù)的訓(xùn)練集結(jié)果呈現(xiàn)：MK-LSSVM和Marr-LSSVM的訓(xùn)練集結(jié)果與模擬風(fēng)壓的非常接近。表5給出預(yù)測(cè)集中模擬風(fēng)壓的偏度為0.98、峰度為4.925，而4種核函數(shù)的預(yù)測(cè)集結(jié)果顯示：MK-LSSVM和Marr-LSSVM的預(yù)測(cè)集結(jié)果與模擬風(fēng)壓能較好吻合。偏度和峰度的比較再次表明MK-LSSVM和Marr-LSSVM的預(yù)測(cè)精度更好。這主要是由于MK核利用Hilbert空間乘法運(yùn)算的包閉性質(zhì)，融合了RBF與Poly的優(yōu)點(diǎn)，既具有很強(qiáng)的學(xué)習(xí)能力也同時(shí)具備了強(qiáng)的泛化能力；而Marr小波核函數(shù)具有稀疏變化和尺度分析性質(zhì)，能夠提升預(yù)測(cè)算法的精度。

表4 40 m處訓(xùn)練集風(fēng)壓和模擬風(fēng)壓的峰度和偏度

Fig.4 Kurtosis and skewness, respectively, corresponding to training data set and simulated wind pressure time histories at 40 m

指標(biāo)模擬風(fēng)壓RBF-LSSVMPoly-LSSVMMK-LSSVMMarr-LSSVM峰度4.4983.5634.2804.6124.597偏度0.9290.8240.8810.9600.928

表5 40 m處預(yù)測(cè)集風(fēng)壓和模擬風(fēng)壓的峰度和偏度

Fig.5 Kurtosis and skewness, respectively, corresponding to testing data set and simulated wind pressure time histories at 40 m

指標(biāo)模擬風(fēng)壓RBF-LSSVMPoly-LSSVMMK-LSSVMMarr-LSSVM峰度4.9254.3875.2084.7024.651偏度0.9800.9160.9030.9780.948

5 結(jié) 論

提出了Marr-LSSVM和MK-LSSVM的順風(fēng)向非高斯空間風(fēng)壓預(yù)測(cè)算法。數(shù)值結(jié)果表明，Marr-LSSVM核函數(shù)具有小波的局部化、多層次的優(yōu)點(diǎn)，其預(yù)測(cè)精度相較于CSK-LSSVM有很大的提升，可以作為機(jī)器學(xué)習(xí)的一種新的有效單核函數(shù)。MK-LSSVM能夠在RBF核函數(shù)的作用下有具有很好的學(xué)習(xí)能力(訓(xùn)練誤差小)，同時(shí)也在Poly核函數(shù)的作用下有很強(qiáng)的泛化能力(測(cè)試誤差小)，從而使預(yù)測(cè)誤差較Marr-LSSVM進(jìn)一步下降，預(yù)測(cè)性進(jìn)一步提升。因此，提出的Marr-LSSVM和MK-LSSVM能夠?yàn)榻Y(jié)構(gòu)風(fēng)工程設(shè)計(jì)和分析提供完整可靠的空間風(fēng)壓時(shí)程，具有較高的工程應(yīng)用價(jià)值。

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Forecasting non-Gaussian spatial along-wind pressure using wavelet kernel and multiplicative mixed kernel functions based LSSVM

CHI Ennan1, LI Chunxiang1, ZHENG Xiaofen2

(1. Department of Civil Engineering, Shanghai University, Shanghai 200444, China; 2. Department of Structural Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Here, Marr wavelet kernel-based least squares support vector machines (LSSVM) referred to as Marr-LSSVM, was proposed to predict along-wind non-Gaussian spatial wind pressure. Through multiplication operation of the conventional radial basis function (RBF) kernel and polynomial kernel, Poly*RBF-LSSVM was then proposed, it was called the multiplicative mixed kernel MK-LSSVM. By using the particle swarm optimization (PSO) algorithm, optimizations were implemented for penalty parameters, kernel parameters, weights, and scale factors of Marr-LSSVM, conventional single kernel CSK-LSSVM, and MK-LSSVM, thus the non-Gaussian spatial wind pressure forecasting algorithms were built based on intelligent optimization. The simulated along-wind pressures at 30 m and 50 m were taken as input samples, the wind pressure at 40 m was then predicted using the proposed algorithms. The numerical analyses demonstrated that Marr-LSSVM and MK-LSSVM can provide an obvious higher performance to predict the non-Gaussian spatial wind pressure than CSK-LSSVM can.

forecasting; non-Gaussian spatial along-wind pressure; wavelet kernel functions; multiplicative mixed kernel functions; least squares support vector machines; particle swarm optimization

國(guó)家自然科學(xué)基金(51378304)

2015-12-22 修改稿收到日期：2016-03-01

遲恩楠 男，碩士生，1989年生

鄭曉芬 女，博士，講師，1963年生

TU311

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.018