含液飽和不可壓多孔彈性板的隨機振動

周鳳璽, 李 丹, 曹小林

(1.蘭州理工大學 土木工程學院，蘭州 730050； 2.西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州 730050)

含液飽和不可壓多孔彈性板的隨機振動

周鳳璽1,2, 李 丹1, 曹小林1

(1.蘭州理工大學 土木工程學院，蘭州 730050； 2.西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，蘭州 730050)

在不可壓多孔彈性介質(zhì)理論和隨機振動理論的基礎上，以Kirchhoff假定和小變形為前提，根據(jù)飽和不可壓多孔板彎曲的數(shù)學模型，針對孔隙流體沿面內(nèi)擴散的情形，建立了含液飽和多孔彈性板在集中荷載作用下橫向彎曲的隨機振動方程。針對四邊簡支矩形板，對板內(nèi)位移響應和截面固相彎矩響應進行了分析，分別得到了輸入集中荷載為平穩(wěn)隨機過程時簡支板的位移響應和彎矩響應的功率譜密度函數(shù)和方差等數(shù)字特征。作為數(shù)值算例，考慮一理想白噪聲平穩(wěn)隨機集中荷載作用下的簡支飽和多孔板，對其位移響應和界面固相彎矩的功率譜密度函數(shù)進行了分析，并討論了流-固耦合項對板位移以及彎矩的影響規(guī)律。結(jié)果表明，通過調(diào)整孔隙中流體的滲透系數(shù)可以達到控制板隨機振動的目的。

多孔介質(zhì)理論；隨機振動；功率譜密度函數(shù)；四邊簡支板

多孔介質(zhì)理論假設多孔介質(zhì)理想化地分布在整個區(qū)域中,但每一相物粒子擁有各自獨立的運動,在連續(xù)介質(zhì)混合物公理和體積分數(shù)限制下建立相應的基本方程,充分考慮其中流體、固體骨架的應力應變關系，若干微觀性質(zhì)直接通過宏觀性質(zhì)描述,不僅避免了Biot理論模型中的非相容量和雜交混合物理論中的繁雜公式,而且更加符合連續(xù)介質(zhì)力學理論體系[1-3]。在不需要額外的假定下,諸如動力、材料和幾何非線性等一些效應可直接反映在其數(shù)學模型中。近年來，基于連續(xù)介質(zhì)混合物公理和體積分數(shù)概念的多孔介質(zhì)理論的理論和數(shù)值方法研究都已取得了長足的進展，并廣泛地應用于不同工程領域中。但大多數(shù)的研究主要是幾何特征為為無限半空間域或有限厚度層的巖土類材料，以大型實體物為主，對于小型柔韌方面，如多孔介質(zhì)梁、板等結(jié)構(gòu)研究則相對較少，而且多孔介質(zhì)理論研究柔韌多孔結(jié)構(gòu)力學行為主要關注生物力學和傳熱傳質(zhì)學等中的若干實際問題[4-5]，如對軟骨組織以及植物的莖桿和熱交換管道等的力學分析，但是復合多孔材料已廣泛應用于建筑、汽車和航空等不同行業(yè)中，如用于減震和吸音的聚亞安酯泡沫塑料和纖維材料[6-7]，因此，有必要對多孔柔韌結(jié)構(gòu)動靜力行為進行深入的分析。

目前應用多孔介質(zhì)理論對飽和多孔彈性結(jié)構(gòu)力學行為的研究成果中,楊驍?shù)热朔謩e建立了飽和不可壓多孔彈性梁軸向擴散下的線性和非線性動力響應數(shù)學模型,通過Laplace變換法和Galerkin法研究了飽和不可壓多孔彈性梁的動力和擬靜定彎曲問題[8]。周鳳璽等人基于線彈性理論和 Biot 多孔介質(zhì)模型，分析了含液飽和多孔二維簡支梁的動力響應，其中考慮了固體顆粒和流體的可壓縮性以及孔隙流體的黏滯性。通過 Fourier 級數(shù)展開和常微分方程組的求解，得到了含液飽和多孔二維梁動力響應問題的解[9-10],以及根據(jù)不可壓多孔彈性介質(zhì)理論和隨機振動理論，建立了孔隙流體沿軸向擴散的情形下，含液飽和多孔彈性梁在集中荷載作用下橫向彎曲的隨機振動方程。對梁的位移響應和截面固相彎矩響應進行分析，分別得到了輸入集中荷載為平穩(wěn)隨機過程時簡支梁的位移響應和彎矩響應的功率譜密度函數(shù)和方差等數(shù)字特征[11]。薛開等人采用改進傅里葉級數(shù)的方法對任意彈性邊界條件下的單向變厚度薄板進行自由振動分析，將板的振動位移函數(shù)表示為標準的二維傅里葉余弦級數(shù)和輔助級數(shù)的線性組合。通過輔助級數(shù)的引入，解決了位移導數(shù)在邊界不連續(xù)的問題[12-13]。何錄武等研究了飽和不可壓多孔彈性板在面內(nèi)擴散下的動力彎曲理論[14]?；诓豢蓧憾嗫捉橘|(zhì)理論，在Kirchhoff假定和小變形前提下，針對流體的面內(nèi)擴散情形，建立了飽和不可壓多孔彈性板動力彎曲的數(shù)學模型，利用Fourier展開法研究分析了階梯載荷作用下四邊簡支透水矩形多孔彈性板的擬靜定和動力彎曲響應[15-16]。

當結(jié)構(gòu)受到外界的隨機激勵時，它就有可能發(fā)生隨機振動，其危害性給人們的日常生活帶來很大的困擾，因此，對有關結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的隨機振動的研究已取得了一系列研究成果[17-19]，但是關于含液飽和多孔材料結(jié)構(gòu)的隨機振動分析，目前見之甚少。本文根據(jù)不可壓飽和多孔介質(zhì)模型和連續(xù)體的隨機振動理論，以簡支板為例，研究了不可壓含液飽和彈性板在隨機集中荷載作用下的隨機振動。對板的撓度響應以及界面固相彎矩響應進行了分析，獲得了功率譜密度函數(shù)、方差等數(shù)字特征，重點分析了流-固耦合項對板減振效果的影響規(guī)律。

1 含液飽和多孔板的隨機反應

含液飽和多孔板屬于兩相多孔介質(zhì)，是由多孔固體骨架和充填液體構(gòu)成，用角標α表示固體骨架(α=s)和充填液體(α=f)的相關物理量。如圖1所示的含液飽和多孔板，在(xp,yp)處受到一個集中隨機荷載p(t)的作用。在假設結(jié)構(gòu)本身內(nèi)阻尼力與應變速度成正比的情形下，考慮孔隙流體僅沿面內(nèi)擴散，引入組分不可壓假設，可得到含液飽和多孔板的運動微分方程為構(gòu)成面內(nèi)擴散情形下飽和不可壓多孔彈性板的基本控制方程

(1)

(2)

圖1 彈性地基上的飽和多孔板Fig.1 A saturated poroelastic plate on elastic foundation

設第(m,n)階主振動撓度為

wmn(x,y,t)=φmn(x,y)Amn(t)

則含液飽和多孔板的撓度w(x,y,t)為

(3)

其中φ(x,y)表示(m,n)階振型函數(shù)且為坐標變量，Amn(t)為時間變量。

對于四邊簡支矩形板，其邊界條件：

滿足上述邊界條件且函數(shù)序列在函數(shù)空間中線性無關,則振型函數(shù)可取為

(4)

其中，m,n均為正整數(shù)。

將式(3)和式(4)分別代入式(1)和式(2)中，然后用第(i,j)個振型函數(shù)φij(x,y)同乘等式兩邊，并沿板面進行積分，利用固有振型的正交條件和Dirac函數(shù)性質(zhì)可得

(5)

當m≠i,n≠j時，上式為0

當m=i,n=j時，上式變?yōu)?/p>

(6)

第(m,n)階簡支板的固有頻率為

(7)

將式(7)代入式(6)，可得

(8)

式中，ξn為含液飽和多孔板的內(nèi)阻尼率，且有

(9)

由式(8)，可以得到主坐標Amn(t)對應于輸入為集中荷載p(t)時的頻響函數(shù)

(10)

結(jié)合式(3)，根據(jù)疊加原理可得到含液飽和多孔板的第(m,n)階主陣型Amn(x,y,t)頻響函數(shù)為

(11)

通過式(11)可以獲得板的脈響函數(shù)以及板的動力響應。

2 隨機反應的統(tǒng)計值

2.1 撓度的功率譜密度以及均方值

考慮飽和不可壓板上的集中荷載p(t)是均值為零、譜密度為Sp(ω)的平穩(wěn)隨機過程，則第(m,n)階主振動wmn(x,y,t)的譜密度為

(12)

從式(12)可以看出，Swmn分別與板的長、寬和厚度的二次方成反比；當飽和多孔板的阻尼系數(shù)ξn較小,且Sp(ω)為白噪聲時,在固有頻率ωmn附近出現(xiàn)共振，此時Swmn與固有頻率ωmn的四次方成反比,因此可以得出高階撓度分量的功率譜密度較??；在板上位置不同的各點,撓度分量的功率譜密度隨著點位置的不同而變化,但在板邊緣處始終為零。

由于固有陣型函數(shù)序列在函數(shù)空間中線性無關,wmn(x,y,t)(m,n=1,2,…)可以視為不相關，撓度w(x,y,t)的功率譜Sw(x,y,ω)為各個撓度分量的功率譜Swmn(x,y,ω)密度的疊加，即有：

(13)

當輸入p(t)為理想白噪聲時，即Sp(ω)為一常數(shù)Sp，求響應的方差就變?yōu)橛嬎泐l率響應函數(shù)幅值平方的積分，則通過留數(shù)積分可求得任意(m,n)階撓度wmn(x,y,t)方差為

(14)

由于固相和流相的耦合系數(shù)Sv與Darcy滲透系數(shù)kf成反比，結(jié)合式(9)和式(15)可以發(fā)現(xiàn)，隨著飽和多孔板的滲透系數(shù)kf減小撓度分量的方差也隨之減小；撓度分量方差與固有頻率ωmn的三次方成反比,所以高階撓度分量的方差較?。挥捎陲柡投嗫装逯辛?固耦合引起的內(nèi)阻尼與固有振型的階數(shù)無關,因此流-固耦合引起的內(nèi)阻尼對減小各階撓度分量的方差具有同樣的效果,這就使得含液飽和結(jié)構(gòu)特別適用于減小多頻或?qū)拵щS機激勵下振動；隨著多孔板上位置的不同,各點的撓度分量方差不同，在固有振型的邊緣處,方差始終為零。

撓度w(x,t)的方差為

(15)

(16)

由式(9)和式(16)可知，在含液飽和板中，流體在孔隙中的滲透系數(shù)對流-固耦合引起的減振效果影響較大，而流體的體積分數(shù)nf對其影響可以忽略不計。

2.2 固相彎矩的功率譜密度及方差

結(jié)合式(3)，由不可壓飽和多孔板的本構(gòu)關系得固相彎矩M(x,y,t)為

(17)

當輸入p(t)是均值為零、譜密度為Sp(ω)的平穩(wěn)隨機過程時，板固相彎矩Mx、My、Mxy的功率譜密度與板撓度的功率譜密度相似，即：

(18)

(19)

(20)

當集中荷載p(t)為理想白噪聲時，固相彎矩Mx,My,Mxy的方差為

(21)

(22)

(23)

從上式看出，隨著滲透系數(shù)kf減小，飽和多孔板的彎矩方差也降低，與對板撓度的影響相似。

因此，設單相彈性固體板截面彎矩M0的方差為DM0，則單相彈性板和不可壓飽和板的截面彎矩的方差比為βM=DM/DM0，可以得到

(24)

(25)

(26)

由式(9)、(24)～(26)可知，得出相似結(jié)論，在含液飽和板中，流體在孔隙中的滲透系數(shù)對流-固耦合引起的減振效果影響起決定性作用，不計流體的體積分數(shù)nf對其的影響。

3 數(shù)值算例

選取飽和多孔不可壓四邊簡支方板，板長l=1 m，h=0.1 m,飽和多孔材料的物理力學參數(shù)為E=8.375×106N/m2，v=0.3，C=0.02 s，nf=0.33，ρs=2 000 N/m3，ρf=330 N/m3,γRf=1.0×104N/m3,kf=5×10-2～5×10-5m/s。在集中荷載為平穩(wěn)隨機過程下，且為理想白噪聲時，其功率譜密度為常數(shù)Sp。

在圖2～圖5中，分別繪出了隨機集中荷載作用在板中點(1/2,1/2)，kf=5×10-2～1×10-3m/s不同滲透系數(shù)下，板的中點位移以及截面彎矩的功率譜密度函數(shù)Sw/Sp與頻率的關系曲線。功率譜密度函數(shù)圖形從頻域方面描述振動的統(tǒng)計特性，反映振動能量對頻率的分布規(guī)律。由圖2～圖4可以看出，在飽和多孔板中流-固耦合項作用下，單相彈性介質(zhì)與不同滲透系數(shù)下的位移響應和彎矩響應功率譜隨頻率ω的變化曲線明顯不同；隨著孔隙中流體滲透系數(shù)kf的逐漸增加，功率譜隨頻率ω的增大而減小，功率譜的變化速率不斷減??；單相介質(zhì)彈性板與之相反，功率譜隨頻率ω的增大而增大，功率譜的變化速率不斷增大；利用此性質(zhì)可通過改變流體的滲透系數(shù)來改變振動能量對頻率的分布規(guī)律。但在圖5中，飽和多孔板功率譜的形狀與單相連續(xù)彈性板相似,在薄板中，Mxy由剪切力τxy引起的合力矩，在多孔介質(zhì)中，孔隙流體不傳遞剪應力，因此其功率譜的變化速率同單相彈性板基本相同，隨著頻率ω的增大，變化速率不斷增大。

圖2 板中點位移響應功率譜密度函數(shù)Fig.2 Power spectral density function of the plate midpoint displacement response

圖3 板中截面X方向彎矩響應功率譜密度函數(shù)Fig.3 Power spectral density function of the plate bending moment response in the X -direction

圖4 板中截面Y方向彎矩響應功率譜密度函數(shù)Fig.4 Power spectral density function of the plate bending moment response in the Y -direction

圖5 板中截面扭矩響應功率譜密度函數(shù)Fig.5 Power spectral density function of the cross section of the plate in the cross section

為了分析含液飽和板中流-固耦合引起的阻尼對板的撓度和彎矩的減振效果，在圖6～圖9中，分別繪出了βw和βM隨滲透系數(shù)的變化曲線。從圖中可以看出，

圖6 板的βw與kf關系曲線Fig.6 Relationship curve of βw and kf of the plate

圖7 板的βMX與kf關系曲線Fig.7 Relationship curve of βMX and kf of the plate

圖8 板的βMXY與kf關系曲線Fig.8 Relationship curve of βMXY and kf of the plate

圖9 板的βMY與kf關系曲線Fig.9 Relationship curve of βMY and kf of the plate

當滲透系數(shù)kf比較小時，βw和βM較小, 之后，在一定范圍內(nèi)隨著kf的增大不斷增大，說明這時減振比較有效；當kf增大到一定程度時, 曲線趨于平緩, 說明這時再增大kf對減振效果不大。利用此性質(zhì)可以通過控制滲透系數(shù)kf的大小來調(diào)節(jié)含液飽和板中流-固耦合引起的阻尼對板的撓度和彎矩的減振效果，進而在結(jié)構(gòu)減振降噪方面發(fā)揮重要作用。

為了討論含液飽和板長寬比對板位移與彎矩功率譜密度的影響。在不同的長寬比下，圖10和圖11分別繪出了板位移功率譜密度以及板彎矩功率譜密度隨頻率的變化曲線，并與飽和多孔彈性梁進行了比較。從圖中可以看出，長寬比對簡支板的位移響應和彎矩響應的功率譜密度有著顯著的影響，可通過改變板的長寬比來改變振動能量對頻率的分布規(guī)律，且當長寬比越小時，其響應越接近于飽和彈性梁。

圖10 不同長寬比時彎矩響應功率譜密度函數(shù)Fig.10 Power spectral density function with difference length-width ratio

圖11 不同長寬比時位移響應功率譜密度函數(shù)Fig.11 Power spectral density function with difference length-width ratio

4 結(jié) 論

在不可壓飽和多孔介質(zhì)模型和隨機振動理論的基礎上，研究了不可壓含液飽和彈性簡支板在隨機集中荷載作用下的隨機振動。分析結(jié)果表明：

(1)在飽和多孔板中流-固耦合項作用下，隨kf的增加撓度和彎矩響應譜的值隨頻率的增加而變小，且與單向介質(zhì)彈性板的變化趨勢相反，因此通過調(diào)節(jié)孔隙中流體的滲透系數(shù)kf的值來改變振動能量對頻率的分布規(guī)律。且在多孔介質(zhì)中，孔隙流體不傳遞剪應力，因此其功率譜的變化速率同單相彈性板基本相同，因此不能改變振動能量對頻率的分布規(guī)律。

(2)孔隙中流體的滲透系數(shù)的減小可以增大含液飽和板的阻尼系數(shù)ξn，撓度和彎矩方差減小，βw和βM隨之減小，減振效果顯著，但超過一定范圍，隨著滲透系數(shù)增大，βw和βM變化趨于平緩，減振效果就不顯著了。

(3)當板的長寬比越小時，板的彎矩和位移功率譜密度越接近飽和彈性梁的響應。

(4)對各階固有振型，流-固耦合項有同樣的減振效果，因此流-固耦合阻尼減振特別適用于彈性板在多頻或?qū)拵щS帶激勵的情況。

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Random vibration of fluid-saturated porous elastic plates

ZHOU Fengxi1,2, LI Dan1, CAO Xiaolin1

(1. School of Civil Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China;2. Western Engineering Research Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering of Ministry of Education, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

On the basis of the theories of incompressible porous elastic medium and random vibration, on the premises of Kirchhoff assumption and small deformation, according to the mathematical model for the bending of saturated incompressible porous plates, a random vibration equation for the transverse bending of fluid-saturated porous elastic plates was established with a concentrated load under the condition of in plane diffusion of pore fluid. Through the analysis on the displacement response of plate and the solid phase moment response of cross section, the power spectral density function and the variance as well as other digital features of the displacement and moment responses of a simply supported plate were obtained when the concentrated load is a stationary random process. As a numerical example, the saturated porous simply supported plate under the concentrated load with an ideal white noise stationary randomness was considered, the power spectral density functions of the displacement and moment response were analyzed and the damping effect of the fluid-solid coupling term on the plate displacement and bending moment was discussed. The results show that the random vibration of the plate could be controlled by changing the permeability coefficient of the pore fluid.

porous media theory; random vibration; power spectral density function; simply supported plate

國家自然科學基金(11162008；51368038)；甘肅省環(huán)境保護廳(GSEP-2014-23)；甘肅省教育廳研究生導師基金(1103-07)

2015-10-27 修改稿收到日期： 2016-02-27

周鳳璽 男，博士，教授，1979年2月生

E-mail：geolut@163.com

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.027