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    數(shù)學(xué)中的習(xí)題變式教學(xué)
    ——從一道關(guān)于三角形內(nèi)接正方形習(xí)題談起

    2017-05-15 22:36:20吳衛(wèi)通
    青蘋(píng)果 2017年6期
    關(guān)鍵詞:邊長(zhǎng)拋物線矩形

    文/吳衛(wèi)通

    數(shù)學(xué)中的習(xí)題變式教學(xué)
    ——從一道關(guān)于三角形內(nèi)接正方形習(xí)題談起

    文/吳衛(wèi)通

    數(shù)學(xué)教材中例題、習(xí)題是數(shù)學(xué)問(wèn)題的精華,挖掘其內(nèi)在的學(xué)習(xí)線索,對(duì)這些題目進(jìn)行推廣與變式教學(xué),能積極培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,達(dá)成多維目標(biāo)的過(guò)程。現(xiàn)舉數(shù)學(xué)課本中一道習(xí)題為例來(lái)談?wù)勛兪浇虒W(xué)。

    如下圖,△ABC是一塊銳角三角形余料,邊BC=120mm,高AD=80mm,要把它加工成正方形零件,使正方形一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上,這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少?

    在教學(xué)中,筆者將此題做如下變式教學(xué):

    圖一

    圖二

    變式1 如圖一,如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形,且此矩形是由三個(gè)并排放置的正方形組成,此時(shí)這個(gè)零件的兩條邊長(zhǎng)分別是多是mm?

    變式2 如圖一,如果原題中要加工的零件是一個(gè)矩形,且此矩形是由n個(gè)(并排放置的正方形組成,此時(shí)這個(gè)零件的兩條邊長(zhǎng)分別是多是mm?(直接用含n的代數(shù)式表示)

    生1:上述變式1、2兩題根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可完成。

    變式3 如圖二,如果原題中要加工的零件是只一個(gè)矩形,求此時(shí)這個(gè)矩形零件面積的最大值是多少mm?

    生2:設(shè)矩形寬PQ=xmm,面積為ymm2,由相似性質(zhì)求得PN= ,得y= ,再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求得最大值。

    圖三

    圖四

    變式4 如圖三,有一塊三角形余料,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm。要在這塊余料中剪出一個(gè)盡可能大的正方形,有甲乙兩種剪法,比較兩種剪法,哪種剪法所得的正方形面積大,請(qǐng)說(shuō)明理由。

    生3:甲乙兩種剪法都可根據(jù)相似三角形性質(zhì)求得。

    變式5 如圖四,圖三中甲種剪法稱(chēng)為第一次剪取,記所得的正方形面積為s1;按照甲種剪法,在余下的△ADF與△BED中,再剪出兩個(gè)正方形,稱(chēng)為第二次剪取,并記這兩個(gè)正方形面積和為s2,則s2=。

    生4:根據(jù)相似三角形性質(zhì)求得。

    變式6 師:對(duì)任意一個(gè)三角形,其內(nèi)接正方形共有幾個(gè)呢?

    生5:要根據(jù)三角形形狀分類(lèi)討論。

    生6:當(dāng)三角形為銳角三角形時(shí),有3個(gè)內(nèi)接正方形;當(dāng)三角形為直角角三角形時(shí),有2個(gè)內(nèi)接正方形;當(dāng)三角形為鈍角三角形時(shí),有1個(gè)內(nèi)接正方形。

    師:再把有關(guān)”內(nèi)接正方形問(wèn)題“與函數(shù)等知識(shí)相結(jié)合,達(dá)到延伸拓展目的。

    變式7 在平面直角坐標(biāo)系中,將n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形并排組成矩形OABC,相鄰兩邊OA、OC分別在x軸和y軸正半軸上,設(shè)拋物線y=ax2+bx+c(a<0)過(guò)矩形頂點(diǎn)B、C。

    (1)當(dāng)n=1,如果a=-1,求b的值;

    (2)當(dāng)n=2,在矩形OABC上方作一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形EFMN,使EF在線段BC上,如果M、N兩點(diǎn)也在拋物線上,求出此時(shí)拋物線的解析式;

    (3)將矩形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)B落到x軸正半軸上,如果該拋物線同時(shí)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O。

    當(dāng)n=3時(shí)a的值;

    ②直接寫(xiě)出a關(guān)于n的關(guān)系式。

    生7:當(dāng)n=1時(shí),可知拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線x=,求得b=1;

    生8:當(dāng)n=2時(shí),把B(2,1),M(C(0,1)帶入函數(shù)解析式即可求得;

    生9:當(dāng)n=3時(shí),結(jié)合相似三角形來(lái)解決第(3)題。

    總之,教師在教學(xué)中要善于“借題發(fā)揮”,進(jìn)行一題多變,引導(dǎo)學(xué)生去探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的規(guī)律性和方法,達(dá)到“做一題,通一類(lèi),會(huì)一片”的教學(xué)效果,讓學(xué)生走出題海戰(zhàn)術(shù),真正做到輕負(fù)高質(zhì)。

    (作者單位:浙江省金華市第十四中學(xué))

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