陳波
摘 要:平面向量具有代數(shù)與幾何雙重身份,是溝通代數(shù)與幾何的橋梁。查閱近幾年來的高考試卷,發(fā)現(xiàn)向量與最值有關(guān)的問題每年都有考查。主要結(jié)合具體實例談?wù)勥@類問題的常用解題策略與方法。
關(guān)鍵詞:平面向量;轉(zhuǎn)化思想;最值
平面向量具有代數(shù)與幾何雙重身份,是溝通代數(shù)與幾何的橋梁??v觀最近幾年的高考數(shù)學(xué)試卷,其中出現(xiàn)不少有關(guān)平面向量模長最值問題。由于這類問題一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),大部分試題不以“圖形”為載體,導(dǎo)致題目很抽象,學(xué)生往往很難入手。解決此類問題關(guān)鍵在于正確運用相關(guān)知識,進行合理轉(zhuǎn)化。本文主要結(jié)合具體實例談?wù)勥@類問題的常用解題策略與方法。
一、利用向量基本知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題
例1.(2013浙江理17題)設(shè)e1,e2為單位向量,非零向量■=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夾角為■,則■的最大值為 .
解:■=■=■
當(dāng)x=0時,■=0
當(dāng)x≠0時,
■=■=■
■=■
∵■∈R,∴■≤2
解題思路:借助向量的模長公式,使■轉(zhuǎn)化成關(guān)于■的一個二次函數(shù)最值問題。
二、利用坐標(biāo)進行轉(zhuǎn)化,結(jié)合圖形求向量最值
例2.如圖,點M在扇形AOB的弧AB上且弧AM為弧AB的四分之一。動點C、D分別在OA、OB上,OC=BD。若|■|=1,∠AOB=120°,則|■|+|■|的最小值為______.
解:建如圖所示坐標(biāo)系
■
因為C、D分別在OA、OB上,
所以設(shè)■=λ■,則■=(1-λ)■
∴A(1,0),B(-■,■),C(λ,0),D(■,■),M=(■,■)
∴|■|=■
|■|=■=■
∴|■|+|■|=■+■
此時的問題可以轉(zhuǎn)化成點(λ,0)到點(■,■)和(1,-1)間的距離之和,即|■|+|■|=■+■,
∴|■|+|■|≥■
∴|■|+|■|≥■∴|■|+|■|的最小值為■.
解題思路:本題通過建立平面坐標(biāo)系得到關(guān)于向量模長的有關(guān)表達式,因為涉及兩點距離公式,轉(zhuǎn)化成動點到兩定點距離最值問題,回歸到通識通法上去解決問題。
三、轉(zhuǎn)化成有關(guān)三角函數(shù)的式子,利用三角函數(shù)的有界性求最值
例3.(2010浙江卷)已知平面向量■,■(■≠0,■≠■)滿足|■|=1,且■與■-■的夾角為120°,則|■|的取值范圍是 。
解:令θ=(■,■-■),由正弦定理可知:■=■
∴|■|=■sinθ,又∵0<θ<120°,∴0 即0<|■|≤■ 解題思路:本題主要考查向量模長及向量減法的幾何意義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,關(guān)鍵是利用正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù),利用正弦函數(shù)的有界性來求最值。 四、利用基本不等式求向量模長的最值 例4.若向量■,■滿足4■2+■■+■2=1,則|2■+■|的最大值為 。 解:4■2+■■+■2=1?圯(2■+■)2=1+3■■ ∵■■=■·2■·■≤■(2■+■)2 ∴(2■+■)2≤1+■(2■+■)2 ∴(2■+■)2≤■?圯|2■+■|≤■(當(dāng)且僅當(dāng)2■=■時等號 成立) 平面向量模長最值的有關(guān)問題還有很多種形式,不需要一一掌握。只需要抓住向量模長的最值問題的命題意圖:考查學(xué)生建模能力和求最值能力,若能從這兩個方面多下工夫,一定能收獲頗多。類似的方法和結(jié)論也可遷移到空間向量中。 參考文獻: [1]朱賢良,付朝華.平面向量巧搭臺,“取值范圍”唱好戲[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2014(6). [2]陳燕.多視角探尋平面向量最值問題[J].數(shù)學(xué)通訊,2014(4).