一類常微分方程和Volterra積分方程解的存在唯一性

吳 雪 蓉

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210023)

?

一類常微分方程和Volterra積分方程解的存在唯一性

吳 雪 蓉

(南京財經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210023)

利用Banach壓縮映射原理,研究了一類四階常微分方程和Volterra積分方程解的存在性和唯一性,并且利用MATLAB討論了此類方程的數(shù)值解.

Banach壓縮映射原理; 常微分方程; 積分方程; 數(shù)值解

在代數(shù)方程、微分方程、積分方程、泛函方程等諸多方程問題的研究中,常常會建立與之相關(guān)的積分算子T[1-2],把所考慮的方程問題轉(zhuǎn)化為求T的不動點(diǎn)u,即

u=Tu,

不動點(diǎn)理論是泛函分析的主要組成部分,并且有著廣泛的應(yīng)用價值.本文利用Banach壓縮映射原理,研究一類常微分方程和Volterra積分方程解的存在性和唯一性.以下我們給出相應(yīng)的概念定理以及所討論的方程.

引理1[3](Banach壓縮映射原理).設(shè)X是完備的度量空間,d是X中的距離,設(shè)映射S:X→X滿足

d(Sv1,Sv2)≤kd(v1,v2),?v1,v2∈X,

其中 0

討論下述四階常微分方程初值問題

(1)

解的存在唯一性.

本文除了研究Banach壓縮映射原理在一類常微分方程問題中的應(yīng)用,還將其應(yīng)用在第二類Volterra積分方程問題中,積分方程如下:

(2)

并且此積分方程的核為

1 解的存在唯一性證明

在方程(1)中,總假定:

(ⅰ) P(x)在[-r,r]上連續(xù);

于是,得到如下主要結(jié)果:

定理1 假設(shè)條件(ⅰ)、(ⅱ)成立,則微分方程(1)存在唯一的解.

證明 令F(x)=(y,y′,y″,y(3)), 則F′(x)=(y′,y″,y(3),y(4)).設(shè)Φ(x,y0,y1,y2,y3)=(y1,y2,y3,y4)=(y1,y2,y3,Q(x)-P(x)y3),且Γ=(1,-1,1,0),那么方程(1)可轉(zhuǎn)化成如下一階微分方程:

作積分算子

使得

注意到,如果T存在唯一的不動點(diǎn),那么方程(1)存在唯一的解,因此,若?F,G∈C([-r,r],R4), 得到

同理可得

同理可得

因此,

由于

由此可得

故依據(jù)Banach壓縮映射原理,算子T是一個壓縮映射,具有唯一的不動點(diǎn),因此,微分方程(1)存在唯一的解,定理1得證.

對于積分方程(2),同樣可以應(yīng)用Banach壓縮映射原理得到解的存在唯一性,主要結(jié)果如下:

定理2 考慮方程(2),則積分方程(2)存在唯一的解.

證明 由于

當(dāng)0≤t

則M′(y)=-ye-y<0,因此,M(y)在(0,1)上為單調(diào)減函數(shù),故M(y)

作積分算子

使得

若對?φ(x),ψ(x)∈C[-1,1],有

ψ(t)‖∞,

2 具體微分方程和積分方程的數(shù)值解

雖然求解微積分方程有各式各樣的解析方法,但解析方法只能用來求解一些特殊類型的方程,一般情況下,從一些實際問題中歸結(jié)出來的方程,都難以求得解析解,此時可以利用MATLAB求其數(shù)值解.本節(jié)給出了求解上述四階常微分方程初值問題以及積分方程的數(shù)值解法.

例1 對于微分方程(1),取P(x)=x2,Q(x)=2xex,則方程為

(3)

則條件(ⅰ)、條件(ⅱ)成立,依據(jù)定理1可知,方程(3)存在唯一的解.

關(guān)于高階微分方程的初值問題,原則上總可以歸結(jié)為一階方程組來求解,引進(jìn)新的變量:

則方程(3)即可化為如下一階方程組:

滿足初值條件y1(0)=1,y2(0)=-1,y3(0)=1,y4(0)=0.

數(shù)值結(jié)果如表1.圖1為方程的近似解的圖像.

表1 方程(3)的近似解

圖1 方程(3)的近似解圖像

Fig.1 The image of approximate solution of equation (3)

例2 用數(shù)值積分法[4]來近似求解積分方程

(4)

0≤t≤x≤1,

解 當(dāng)0≤x

令x=xj(j=1,…,6),得到:

對上式中的定積分用有限和來代替,可得:

(5)

式中φj=φ(xj),kjm=k(xj,xm),fj=f(xj).

令

則式(5)可寫成Y=KY+F,即(I-K)Y=F,這是一個系數(shù)矩陣是下三角的矩陣的線性方程組[5],求解非常方便.下面利用MATLAB編程得到數(shù)值結(jié)果如表2.

表2 各節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的近似解

[1] 郭海杰. 非線性Dirichlet型三點(diǎn)邊值問題正解的存在性[J]. 沈陽大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2016,28(4):340-344. (GUO H J. Existence of positive solutions for nonlinear dirichlet type three point boundary value problems[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2016,28(4):340-344.)

[2] 馬亮亮. 變系數(shù)空間分?jǐn)?shù)階對流擴(kuò)散方程的有限差分解法[J]. 沈陽大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2013,25(4):341-344. (MA L L. Finite difference method for fractional convection diffusion equation with variable coefficients[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2013,25(4):341-344.)

[3] 布萊基斯. 泛函分析:理論和應(yīng)用[M]. 葉東,周風(fēng),譯. 北京:清華大學(xué)出版社, 2009. (Haim Brezis. Analy fonctionnelle-theorie at applications[M]. YE D,ZHOU F, Translate. Beijing: Tsinghua University Press, 2009.)

[4] 沈以淡. 積分方程[M]. 3版. 北京:清華大學(xué)出版社, 2012. (SHENG Y D. Integral equations[M]. The third edition. Beijing: Tsinghua University Press, 2012.)

[5] 李慶揚(yáng),王能超,易大義. 數(shù)值分析[M]. 5版. 北京:清華大學(xué)出版社, 2015. (LING Q Y, WANG N C, YI D Y. Numerical analysis[M]. The fifth edition. Beijing: Tsinghua University Press, 2015.)

【責(zé)任編輯: 肖景魁】

Existence and Uniqueness of Solutions for Ordinary Differential Equations and Volterra Integral Equations

WuXuerong

(School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing 210023, China)

The existence and uniqueness of solutions for the fourth-orderordinary differential equation and the Volterra integral equation are studied, by using Banach contracting mapping principle. The numerical solutions of these equations are discussed by MATLAB.

Banach contracting mapping principle; ordinary differential equation; integral equation; numerical solutions

2016-11-24

吳雪蓉(1992-),女,江蘇如皋人,南京財經(jīng)大學(xué)碩士研究生.

2095-5456(2017)02-0168-05

O 175

A