關(guān)于M矩陣最小特征值界的不等式

李 艷 艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 文山 663000)

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李 艷 艷

(文山學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 云南 文山 663000)

利用變形的Gersgorin圓盤定理和Brauer卵形定理,結(jié)合嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣逆矩陣元素新的上、下界估計式,給出了M-矩陣最小特征值的兩個新估計式.數(shù)值算例說明,新的估計式提高了現(xiàn)有的結(jié)果.

M-矩陣;最小特征值;界;圓盤定理

M-矩陣最小特征值的估計是矩陣分析領(lǐng)域中非常重要的研究課題,因為M-矩陣的最小特征值在M-矩陣?yán)碚撝杏兄匾獞?yīng)用,例如考察微分方程系統(tǒng)dx/dt=-Ax(t),x(0)=x0>0的解x(t)的l1范數(shù)的界問題,其中A是弱鏈對角占優(yōu)M-矩陣.

1 相關(guān)引理及定義

關(guān)于M-矩陣最小特征值的界估計文獻(xiàn)[1-8]給出了許多結(jié)果.

Shivakumar etal在文獻(xiàn)[1]中給出,當(dāng)A為弱鏈對角占優(yōu)M-矩陣時的A的最小特征值(τ(A))的界.

引理1[1]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對角占優(yōu)M-矩陣,A-1=(αij),則

黃廷祝等2010年在文獻(xiàn)[2]中,利用非奇異M-矩陣A的迭代矩陣JA給出了τ(A)的新界.

引理2[2]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是非奇異M-矩陣,A-1=(αij),則

李朝遷,李耀堂2013年在文獻(xiàn)[3]中提出了引理2,給出了下面的新結(jié)果.

引理3[3]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是非奇異M-矩陣,A-1=(αij),則

本文繼續(xù)對該類問題進(jìn)行研究,給出嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣的最小特征值只與矩陣元素有關(guān)的一些新估計式.

下面先給出相關(guān)定義

定義1 矩陣A=(aij)∈Rn×n,A≥0表示元素全為非負(fù)的 (正)矩陣,稱A為非負(fù)矩陣(正矩陣).

定義2 記Zn×n={A=(aij)∈Rn×n:aij≤0,i≠j,i,j∈N},若A∈Zn×n,則稱A為Z矩陣,簡記為A∈Zn×n.如果A=(aij)∈Zn×n是非奇異的,且A-1≥0,則稱A為非奇異M-矩陣.

定義3 設(shè)矩陣A=(aij),B=(bij)∈Rn×n,用A°B=(aijbij)表示A和B的對應(yīng)元素相乘而成的n×n矩陣,稱其為A和B的Hadamard積.

引入一些記號

引理4[4]設(shè)A=(aij)∈Rn×n,若A是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則A-1=(αij)滿足

引理5[5]若A=(aij)∈Cn×n,x1,x2,…,xn是正實數(shù),則A的所有特征值位于下列區(qū)域

引理6[5]若A=(aij)∈Cn×n,x1,x2,…,xn是正實數(shù),則A的所有特征值位于下列區(qū)域

2 主要結(jié)果

這部分首先給出嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣A的逆矩陣主對角元素的新界,其次給出A的最小特征值的新估計式.

定理1 設(shè)A=(aij)∈Rn×n,若A是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則A-1=(αij)滿足

即

同理可證左邊成立.

定理2 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是非奇異的嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,A-1=(αij),B=(bij)∈Rn×n是非負(fù)矩陣,則

證明 因為A是非奇異嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,則A-1存在且A-1≥0,又因為B是非負(fù)矩陣,則A-1°B是非負(fù)矩陣.

(1) 假設(shè)A,B是不可約矩陣,則A-1°B也不可約.

應(yīng)用引理4,引理5得

則

(2) 當(dāng)A,B是可約矩陣時,證法與文獻(xiàn)[3]類似.

定理3 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是非奇異的嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,A-1=(αij),則

證明 當(dāng)定理2中的B=J(矩陣J的每個元素都是1),得

定理4 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是非奇異的嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,A-1=(αij),B=(bij)∈Rn×n是非負(fù)矩陣,則

ρ(A-1°B)≤

證明 (1)假設(shè)A,B是不可約矩陣,則A-1°B也不可約.

應(yīng)用引理4,引理6得

對上述不等式整理得

(2) 當(dāng)A,B是可約矩陣時,證法與文獻(xiàn)[3]類似.

定理5 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是非奇異的嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣,A-1=(αij),則

證明 類似定理3的證明.

注釋:本文所得到的這兩個估計式,只與矩陣A的元素有關(guān),計算起來比較方便.

3 數(shù)值算例

通過該例可以發(fā)現(xiàn),文中所得的估計式提高了文獻(xiàn)[3]中的相應(yīng)結(jié)果.

[1] SHIVAKUMAR P N, WILLIAMS J J, YE Q, et al. On two-sided bounds related to weakly diagonally dominant M-matriceswithapplicationtodigitalcircuitdynamics[J].SIAMJournalonMatrixAnalysisandApplications, 1996,17(2):298-312.

[2] TIAN G X, HUANG T Z. Inequalities for the minimum eigenvalue ofM-matrices[J]. Electronic Journal of Linear Algebra, 2010,20(1):291-302.

[3] LI C, LI Y, ZHAO R. New inequalities for the minimum eigenvalue ofM-matrices[J]. Linear and Multilinear Algebra, 2013,61(9):1267-1279.

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[8] 王躍華,王潔英. 關(guān)于不等式幾種常見證明方法的探究[J]. 沈陽大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2013,25(5):428-430). (WANG Y H, WANG J Y. Several common methods of proof of inequality[J]. Journal of Shenyang University(Natural Science), 2013,25(5):428-430.)

【責(zé)任編輯: 肖景魁】

Inequality on Minimum Eigenvalue Bounds ofM-Matrix

LiYanyan

(School of Mathematics, Wenshan University, Wenshan 663000, China)

Using the deformed Gersgorin disk theorem and the Brauer oval theorem, combining with new upper and lower bounds for the inverse matrix elements of strictly diagonally dominantM-matrices, two new estimators for the minimum eigenvalue ofM-matrix are given. Numerical examples illustrate that the new estimator improves the existing results.

M-matrix; minimum eigenvalue; bound; disk theorem

2016-09-07

云南省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)研究項目(2013FD052); 文山學(xué)院科學(xué)研究項目(16WSY11).

李艷艷(1982-),女,甘肅慶陽人,文山學(xué)院講師.

2095-5456(2017)02-0164-04

O 151.21

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