從變換中尋找二元最值問題的不變性

☉江蘇省蘇州市第四中學(xué) 校蔣艷

從變換中尋找二元最值問題的不變性

☉江蘇省蘇州市第四中學(xué) 校蔣艷

一、問題背景

二元最值是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)問題，其相比一元最值來(lái)說(shuō)，因?yàn)樽兞康脑黾邮沟米钪档那蠼怆y度大幅度上升.從教學(xué)經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，學(xué)生對(duì)于單變量最值的求解能掌握基本方法，但是對(duì)于二元多變量問題的處理往往缺乏頭緒，無(wú)法辨別其入手的角度、方向.

從知識(shí)背景來(lái)說(shuō)，對(duì)高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行大量的研究與教學(xué)實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，二元最值問題涉及的知識(shí)點(diǎn)廣，包括函數(shù)、向量、三角函數(shù)、線性規(guī)劃、立體幾何、解析幾何等等；在解決方法上，有代數(shù)式的變形變換、構(gòu)造法、換元法等；就數(shù)學(xué)思想上，有分類討論、數(shù)形結(jié)合等基本數(shù)學(xué)思想.另一方面來(lái)說(shuō)，二元最值問題正因?yàn)楸容^分散，也沒有完全可以套用的共性模型.這是本問題之所以成為難點(diǎn)的原因.

二、學(xué)習(xí)困惑

在教育改革不斷深化推進(jìn)中，數(shù)學(xué)課程的編排難度遞進(jìn)和知識(shí)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)螺旋式上升的形式.但是二元最值問題依舊是學(xué)生感到困難與難以把握的內(nèi)容，造成這種現(xiàn)象的原因有以下幾個(gè)方面：

1.缺乏統(tǒng)一的解題方法

學(xué)生最理想的學(xué)習(xí)過程是掌握一種方法解決一類問題，但是二元最值問題沒有“一招鮮”，根據(jù)實(shí)際問題派生出多種解法、多重視角、多維思考，復(fù)雜性強(qiáng)，要求學(xué)生考慮的方面比較多，思維量就比較大.如果某一個(gè)方面沒有考慮到的話，可能都造成錯(cuò)誤的解法，或者考慮的方向不正確，也會(huì)造成錯(cuò)誤.

2.問題涉及的知識(shí)面較廣

二元最值問題包括函數(shù)、向量、三角函數(shù)、線性規(guī)劃、立體幾何、解析幾何等等，尤其是需要對(duì)問題進(jìn)行高技術(shù)含量的轉(zhuǎn)化與化歸，綜合性強(qiáng)，學(xué)生很難根據(jù)自己已有的經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決此類問題.

3.數(shù)學(xué)思維能力要求較高

由于學(xué)生的思維發(fā)展水平不同，認(rèn)知的結(jié)構(gòu)和水平、理解能力、心理發(fā)展特點(diǎn)有明確的差異性特征，所以對(duì)最值問題學(xué)習(xí)對(duì)象的特點(diǎn)快速、全面、正確的把握，是能否解決好最值問題的一個(gè)必備條件.因此學(xué)生在處理二元最值問題的時(shí)候，自身的知識(shí)儲(chǔ)備：知識(shí)模塊之間橫向聯(lián)系，相關(guān)知識(shí)之間的縱向聯(lián)系，編織成一個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)學(xué)生的思維能力與思維品質(zhì)都提出了非常高的要求.

三、尋找不變性策略

二元最值問題是指含有多個(gè)變量的最大值、最小值或取值范圍的求解問題，此類問題涉及的知識(shí)廣、難度大、方法多、靈活多變、綜合性較強(qiáng)成為最值求解中的難點(diǎn)與熱點(diǎn).其具體的解題策略受題設(shè)條件以及目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)與形式影響最大.

二元最值問題是指含有多個(gè)變量的最值問題，數(shù)學(xué)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)會(huì)對(duì)學(xué)生形成一定的視覺沖擊.所以解題首先應(yīng)該調(diào)整題設(shè)條件與目標(biāo)式的結(jié)構(gòu)，具體策略如下：

1.消元換元策略

數(shù)學(xué)是美的，數(shù)學(xué)是簡(jiǎn)潔的.此類問題的解題的核心策略首先應(yīng)當(dāng)是減少未知量——消元.多元最值往往涉及兩元以上，通過題設(shè)的等式條件將多元降解為單元，從而形成能求解的模式.

問題1設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是_______.

分析1：題設(shè)條件是一個(gè)有關(guān)x，y的二元二次方程，目標(biāo)式是有關(guān)x，y的一次式，因此可令2x+y=t，代入4x2+ y2+xy=1消元，得到t為參數(shù)，有關(guān)x的一元二次方程有解.

解法1：設(shè)2x+y=t，則y=t-2x代入4x2+y2+xy=1得到

6x2-3tx+t2-1=0.

分析2：因?yàn)?x+y是平面二維問題，兩個(gè)變量x，y之間應(yīng)該存在一定的線性關(guān)系，所以我們?cè)诮鉀Q此類問題的時(shí)候可以先建立x，y線性關(guān)系，實(shí)現(xiàn)代入消元.

當(dāng)且僅當(dāng)k=2時(shí)，等號(hào)成立.

此法在多元最值問題解決中消元的效果很好，所以鼓勵(lì)學(xué)生要大膽去嘗試和運(yùn)用.

2.幾何視角策略

中學(xué)數(shù)學(xué)中的兩元最值問題，往往有幾何視角.繼續(xù)觀察問題1，我們發(fā)現(xiàn)：4x2+y2+xy=1類似于標(biāo)準(zhǔn)的橢圓方程，因此可以猜測(cè)其是標(biāo)準(zhǔn)橢圓旋轉(zhuǎn)后的方程，而求2x+y的最大值從幾何視角解釋不正是直線截距的最大值嘛！因此可以從這樣的通性入手：

說(shuō)明：消元換元是針對(duì)二元最值問題最基本的解決思路，盡管問題可能千變?nèi)f化，但是從問題解決中獲得的基本思路是不變的，消元正是將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的典型.另一方面，中學(xué)數(shù)學(xué)二元最值問題還有幾何的視角，這是教學(xué)必須滲透的，因?yàn)閹缀我暯峭档土硕钪祮栴}的代數(shù)難度，從而形成了較為簡(jiǎn)單的解題思路.

問題2若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2≤1，則F=|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值為__________.

圖1

解析：求解本題的難點(diǎn)是如何去掉絕對(duì)值符號(hào)，首先我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)x2+y2≤1時(shí)，6-x-3y≥0，所以|2x+y-2|+|6-x-3y|=|2x+y-2|+6-x-3y，為了求F的最小值，我們可以分為兩類：2x+y-2＞0與2x+ y-2≤0，把問題轉(zhuǎn)化為約束條件（x2+y2≤1及2x+y-2＞0或2x+y-2≤0）下，求F的最小值.

如圖1，直線l：2x+y-2=0將單位圓面x2+y2≤1分為兩部分：

（1）當(dāng)2x+y-2＞0時(shí)，F(xiàn)=|2x+y-2|+|6-x-3y|=x-2y+4，即問題轉(zhuǎn)化為求目標(biāo)函數(shù)z=x-2y+4在陰影區(qū)域及其邊界的最小值，由線性規(guī)劃知識(shí)可求得F＞3.

說(shuō)明：這種解法的最初想法在于去掉絕對(duì)值，而這是碰到絕對(duì)值問題時(shí)最容易想到的一種思考方法，思路比較自然.本題二元最值問題轉(zhuǎn)換為幾何視角，是從條件x2+y2≤1入手思考，從而以基本的分類討論進(jìn)行求解.

3.不等式視角策略

二元最值問題也可以從不等式視角切入，這是純粹代數(shù)的解決方式.從解決過程來(lái)看，能用不等式解決的問題往往來(lái)得比上述消元、幾何策略都更簡(jiǎn)單，但思維含量比較高.但從大量的問題中，我們發(fā)現(xiàn)還是需要掌握下列重要的不等式結(jié)論：

結(jié)論1完全平方式a2+b2≥2ab，a2+b2≥-2ab（a，b∈R）.

結(jié)論3二維柯西不等式（x2+y2）（a2+b2）≥（ax+by）2，變量范圍：x，y，a，b∈R，等號(hào)成立的條件：bx-ay=0.

最值問題尤其是含絕對(duì)值的最值問題通?？梢越柚^對(duì)值不等式、柯西不等式等重要不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解.在求解時(shí)，要注意取到最值時(shí)的條件.對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，|a|+|b|≥|a+b|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0取等號(hào)；|a|+|b|≥|ab|，當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0取等號(hào).因此，繼續(xù)研究問題2我們有：

當(dāng)x2+y2≤1時(shí)，易知6-x-3y＞0.由于x2+y2≤1，不妨令x=rcosθ，y=rsinθ，其中0≤r≤1，0≤θ≤2π.

（1）當(dāng)2x+y-2＞0時(shí)，

F=|2x+y-2|+|6-x-3y|≥|（2x+y-2）+（6-x-3y）|=|x-2y+ 4|.①

（2）當(dāng)2x+y-2≤0時(shí)，F(xiàn)=|2x+y-2|+|6-x-3y|≥|（2x+y-2）-（6-x-3y）|=|3x+4y-8|.②

說(shuō)明：利用絕對(duì)值不等式減少絕對(duì)值個(gè)數(shù)也是解決此類問題時(shí)的一種常規(guī)方法，在選用|a|+|b|≥|a+b|還是需要分別討論，此外還要注意使用絕對(duì)值不等式時(shí)的取等號(hào)條件.在求解①與②的最小值時(shí)，由x2+y2≤1的條件進(jìn)行三角代換，是非常自然的思路，但求解時(shí)易忽視對(duì)“2x+y-2＞0時(shí)”F＞3的證明.

總之，二元最值問題的解決往往涉及多個(gè)知識(shí)，因此沒有一成不變的初等方法.但是從上述列舉的典型案例中，我們不難發(fā)現(xiàn)其依舊有不變性可以總結(jié)——消元策略、幾何視角策略、不等式策略，相對(duì)而言這三種策略是解決二元最值最為常用的策略.教學(xué)中教師要多加以合理引導(dǎo)，讓學(xué)生通過嘗試獲得更為優(yōu)秀的解題體驗(yàn)，從而加強(qiáng)二元最值問題解決的信心，從高效的學(xué)習(xí)方法獲得問題解決的快樂.

1.葉燕.多元變量的最值探討［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2013（11）.

2.石磊.例談多元最值問題的不等式解法［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)，2013（12）.

3.鄧城.一道多元變量最值問題的探討過程與反思［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（11）.