談?wù)劮蛛x思想在高考題中的應(yīng)用

☉湖北大學(xué)附屬中學(xué) 蔡有緣

談?wù)劮蛛x思想在高考題中的應(yīng)用

☉湖北大學(xué)附屬中學(xué) 蔡有緣

回顧近幾年的高考題，無論是地方卷，還是全國(guó)卷，分離思想在解決利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)與不等式的綜合問題，以及求參數(shù)的相應(yīng)題型時(shí)，應(yīng)用比較多.下面就分離思想的應(yīng)用談?wù)勛约旱目捶?

一、利用分離把相同變量放在一邊構(gòu)造函數(shù)比較大小

例1（2014年湖北卷22題）π為圓周率，e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)和最小數(shù)；

（3）將e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論.

易知f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減.

所以3lne＞eln3，πl(wèi)n3＞3lnπ，πl(wèi)ne＞elnπ.

所以e3＞3e，3π＞π3，eπ＞πe.

根據(jù)函數(shù)y=xα（α＞0），y=ex，y=πx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π，綜上可知3π是最大數(shù)，3e是最小數(shù).

（3）略.

利用這種方法我們可以解決下列問題：

附：（1）比較20162017與20172016的大小.

解析：欲比較20162017與20172016的大小，

不妨假設(shè)20162017＞20172016，

所以ln20162017＞ln20172016.

所以2017ln2016＞2016ln2017.

所以f（2016）＞f（2017），

所以20162017＞20172016.

（2）（2001年湖北卷20題的第（2）問）求證（1+m）n＞（1+n）m，其中1≤i≤m＜n，m，n∈N*.

證明：欲證（1+m）n＞（1+n）m，

即證nln（1+m）＞mln（1+n），

由前述知m＜n，

所以f（m）＞f（n），

二、利用分離把不同類型的函數(shù)分列不等式的兩邊，進(jìn)而比較大小

例2（2014年課標(biāo)I卷21題）設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+，曲線（fx）在點(diǎn)（1，（f1））處的切線方程y=e（x-1）+2.

（1）求a，b；

（2）證明：（fx）＞1.

解析：由條件易知a=1，b=2，在第（2）問中利用分離.

設(shè)g（x）=xlnx，則g（′x）=1+lnx.

則h′（x）=e-x（1-x）.

綜上，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞h（x），即f（x）＞0.

利用這種方法我們可以解決2016年山東卷第20題的第（2）問.

（1）討論（fx）的單調(diào)性；

因?yàn)棣眨?）=1，φ（2）=-10，所以存在x0∈［1，2］，使得x∈（1，x0）時(shí)，φ（x）＞0，x∈（x0，2）時(shí)，φ（x）＜0.

所以h（x）在（1，x）0內(nèi)單調(diào)遞增，在（x0，2）內(nèi)單調(diào)遞減.由h（1）=1，可得，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào).

三、利用分離求解參數(shù)的值或范圍

已知x的取值范圍利用不等式解決恒成立，存在性問題對(duì)所涉及的參數(shù)取值問題.

例3（2015年課標(biāo)I卷12題）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一整數(shù)x0，使f（x0）＜0，求a的取值范圍.

解析：由f（x0）＜0，即ex0（2x0-1）-a（x0-1）＜0，得ex0（2x0-1）＜a（x0-1）.

當(dāng)x0=1時(shí)，得e＜0，顯然不成立.

易知x∈（-∞，0）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)；

x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù).

要滿足題意，則需x0=0，

此時(shí)需滿足g（-1）≤a＜g（0），得

例4（2014年遼寧卷11題）已知x∈［-2，1］時(shí)，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解析：由題意知，?x∈［-2，1］，都有ax3-x2+4x+3≥0，即ax3≥x2-4x-3在x∈［-2，1］上恒成立.

當(dāng)x=0時(shí)，a∈R.

所以g（t）在［1，+∞）上單調(diào)遞減，g（t）min=g（1）=-6（t≥1），所以a≥-6.

綜上，可知-6≤a≤-2.

在利用分離思想求參數(shù)的值或范圍時(shí)，注意討論參數(shù)系數(shù)的正負(fù)問題.

通過這些高考題的歸類和總結(jié)，我們不難發(fā)現(xiàn)，分離思想在高考中的重要性，因此建議在高三復(fù)習(xí)中，滲透這種思想應(yīng)用，讓學(xué)生熟練掌握.