淺談數(shù)學(xué)中輔助函數(shù)的構(gòu)造與應(yīng)用

徐秋倉

【摘 要】本文簡(jiǎn)要論述了輔助函數(shù)在解決數(shù)學(xué)中利用輔助函數(shù)來解決數(shù)學(xué)問題的作用。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)；構(gòu)造；輔助函數(shù)

在解決數(shù)學(xué)問題的時(shí)候，輔助函數(shù)是一種常用且很重要而又很巧妙的一種方法，它的主要思維方式是：利用條件與結(jié)論的特殊性，構(gòu)造出一個(gè)新的輔助函數(shù)，架起條件與結(jié)論之間的橋梁，從而使我們?cè)诶щy中找到一條通往目標(biāo)的道路。以下我們舉例來說明輔助函數(shù)的一些構(gòu)造方法與應(yīng)用。

1借助幾何圖形構(gòu)造

例1【拉格朗日中值定理】：如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，那么在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn) 使等式 成立。

分析：直接證明該定理難度很大。從定理的幾何意義（各教材都有，略）上來看，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。既然它們之間有這樣的特殊關(guān)系，我們自然而然的就會(huì)想到利用羅爾定理來證明拉格朗日中值定理，但在拉格朗日中值定理中，函數(shù)f（x）不一定滿足羅爾定理中的條件f（a）=f（b），為此我們就設(shè)想構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)φ（x），且它與f（x）有密切的關(guān)系而又滿足羅爾定理中的條件φ（a）=φ（b）。然后對(duì)φ（x）應(yīng)用羅爾定理，再把對(duì)φ（x）所得的結(jié)論轉(zhuǎn)嫁到f（x）上，從而證得我們想要的結(jié)果來。我們從拉格朗日中值定理的幾何解釋中可以尋找到輔助函數(shù) 。

下面我們就利用這個(gè)輔助函數(shù)來證明拉格朗日中值定理。

證明：引進(jìn)輔助函數(shù)

容易驗(yàn)證φ（x）滿足羅爾定理的條件：①φ（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，②φ（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)，③ 。

由羅爾定理知，在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn) 使等式 。

由此可得 。

即 。

定理得證。

同理，我們可以借助于幾何意義通過構(gòu)造輔助函數(shù)

滿足羅爾定理的條件，用羅爾定理對(duì)φ（x）的結(jié)論轉(zhuǎn)化為柯西中值定理的結(jié)論。從而證明柯西中值定理。

2根據(jù)題目的結(jié)論構(gòu)造

例2. 設(shè)函數(shù)f（x）在 上可導(dǎo)，且 證明：存在 ，使得

。

此結(jié)論直接證明不好找方向，但我們把結(jié)論變形一下

我們就不難想到羅爾定理的結(jié)論了，只需要證明函數(shù)F（x）=xf（x）滿足羅爾定理的條件，用羅爾定理的結(jié)論就可以得到所要證明的。

證明：設(shè)輔助函數(shù)F（x）=xf（x）

（1）由題意知f（x）在 上可導(dǎo)，則f（x）在 上連續(xù)，從而F（x）=xf（x）在 上連續(xù)；（2）f（x）在 上可導(dǎo)，則f（x）在 內(nèi)可導(dǎo)，易證F（x）=xf（x）在 內(nèi)可導(dǎo)；（3）F（0）=0，f（0）=0，F(xiàn)（1）=1，f（1）=0。F（x）=xf（x）滿足羅爾定理的三個(gè)條件，所以在 內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

即 得證。

例3. 設(shè) ，證明存在 使得 。

此證明題似乎證明難度比較大，但我們對(duì)所需要證明的式子進(jìn)行等價(jià)變形

從這個(gè)變形的等式左邊看，很容易讓人想起柯西定理的結(jié)論，所以設(shè)想用柯西定理來證明。自然而然的就會(huì)想到引入輔助函數(shù) 。

證明：引入輔助函數(shù)：

很顯然引入的兩個(gè)輔助函數(shù)在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，且

由柯西定理，在 內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得

即

3根據(jù)所解決問題的目的聯(lián)想

例4證明當(dāng) 時(shí)，

。

此題要求證明對(duì)數(shù)函數(shù)介于有理函數(shù)之間，兩類函數(shù)如何發(fā)生關(guān)系呢？最好把對(duì)數(shù)函數(shù)用有理函數(shù)表示出來，同類函數(shù)比較要容易一些。而這個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)有理函數(shù)，所以設(shè)想找出該函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的等式關(guān)系來，容易想到拉格朗日中值定理。所以引入輔助函數(shù)，應(yīng)用拉格朗日中值定理來證明。

證明：設(shè)輔助函數(shù) ，顯然函數(shù)在區(qū)間 上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據(jù)定理，應(yīng)有

， 。

由于 ， ，因此上式即為

又由 ，有 ，

即 。

例5.證明當(dāng) 時(shí)，

。

分析：欲直接證，此證明不好證，思路不容易有，若把此問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，就是比較函數(shù) 在 處函數(shù)值的平均值與 的平均值處的函數(shù)值，這個(gè)問題不難想到利用函數(shù)的凹凸性來解決。

證明：設(shè)輔助函數(shù) ，則 ， ，當(dāng) 時(shí) ，所以曲線 在 時(shí)為凹弧。根據(jù)凹弧定義，設(shè)x，y是 范圍內(nèi)的兩點(diǎn)，則有 。

即有 。得證。

參考文獻(xiàn)：

[1]《高等數(shù)學(xué)》.同濟(jì)大學(xué)編.高等教育出版社，1988年版

[2]數(shù)學(xué)分析原理.格馬菲赫金哥若次著.丁壽田譯.人民教育出版社，1960