圓錐曲線一個統(tǒng)一性質(zhì)的簡證及推廣

陳益周

福建省莆田第五中學(xué) (351100)

圓錐曲線一個統(tǒng)一性質(zhì)的簡證及推廣

陳益周

福建省莆田第五中學(xué) (351100)

《數(shù)學(xué)教學(xué)》2014年第12期文[1]給出了圓錐曲線的一個統(tǒng)一性質(zhì)，即文[1]的定理3，并用較大的篇幅就橢圓、拋物線的情形給以證明，同時指出其逆命題成立，即文[1]的定理4(沒有給出證明).本文先給出文[1]的定理3、4的一個簡單證明，再把定理3、4進(jìn)一步推廣到更一般的情形.

先把文[1]的定理3、4抄錄如下：

性質(zhì)1 (文[1]的定理3)在橫向的標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線中，已知定點(diǎn)C和定直線l是一對類焦點(diǎn)和類準(zhǔn)線，過定點(diǎn)C作圓錐曲線的兩條弦AB、DE，則直線AD與BE的交點(diǎn)P的軌跡在直線l上.

性質(zhì)2 (文[1]的定理4)在橫向的標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線中，已知定點(diǎn)C和定直線l是一對類焦點(diǎn)和類準(zhǔn)線，P是l上一點(diǎn)，AB是經(jīng)過點(diǎn)C的一條弦，D、E是圓錐曲線上異于A、B的兩點(diǎn)，若AD與BE的交點(diǎn)P在l上，則直線DE恒過定點(diǎn)C.

下面先給出性質(zhì)1、性質(zhì)2的一個簡單證明.再把上述性質(zhì)中的“類焦點(diǎn)和類準(zhǔn)線”推廣到“極點(diǎn)和極線”的情形.

引理2[2]已知圓錐曲線Γ的內(nèi)接四邊形P1P2P3P4(字母P1，P2，P3，P4按逆時針排列)中，直線P1P4、P2P3相交于曲線Γ外一點(diǎn)P，PT1、PT2與曲線Γ相切，切點(diǎn)為T1、T2，則四邊形P1P2P3P4的對角線P1P3、P2P4與切點(diǎn)弦T1T2三線共點(diǎn)(如圖1).

圖1 圖2

下面利用上述引理給出上述性質(zhì)1、性質(zhì)2的一個簡證(同文[1]，只證明橢圓、拋物線的情形)：

對于拋物線y2=2px(p>0)，設(shè)定點(diǎn)C(m,0)(m>0)和定直線l：x=-m是一對類焦點(diǎn)和類準(zhǔn)線，直線AD與BE的交點(diǎn)P(x0,y0).若連結(jié)AE,BD，則ADBE(字母A、D、B、E按逆時針排列)是拋物線的內(nèi)接四邊形. 過點(diǎn)P(x0,y0)作拋物線的兩條切線PT1、PT2，切點(diǎn)為T1、T2，據(jù)引理1，切點(diǎn)弦T1T2所在直線方程為y0y=p(x+x0).據(jù)引理2，切點(diǎn)弦T1T2與四邊形ADBE的對角線即弦AB、DE三線共點(diǎn).又由弦AB、DE都過定點(diǎn)C(m,0)(m>0)，得切點(diǎn)弦T1T2過定點(diǎn)C(m,0)(m>0).把C(m,0)的坐標(biāo)代入y0y=p(x+x0)，得0=p(m+x0).又由p>0 ，得x0=-m. 這表明，點(diǎn)P(x0,y0)在定直線l：x=-m上，即直線AD與BE的交點(diǎn)P的軌跡在直線l：x=-m上.

這就證明了上述性質(zhì)1.

這就證明了上述性質(zhì)2.

下面把上述性質(zhì)1、2中的“類焦點(diǎn)和類準(zhǔn)線”推廣到“極點(diǎn)和極線”的情形.

性質(zhì)Ⅰ (文[1]的定理3的推廣)在橫向的標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線中，已知定點(diǎn)C和定直線l是一對極點(diǎn)和極線，過定點(diǎn)C作圓錐曲線的兩條弦AB、DE，則直線AD與BE的交點(diǎn)P的軌跡在直線l上.

性質(zhì)Ⅱ (文[1]的定理4的推廣)在橫向的標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線中，已知定點(diǎn)C和定直線l是一對極點(diǎn)和極線，P是l上一點(diǎn)，AB是經(jīng)過點(diǎn)C的一條弦，D、E是圓錐曲線上異于A、B的兩點(diǎn)，若AD與BE的交點(diǎn)P在l上，則直線DE恒過定點(diǎn)C..

下面利用引理1、2給出性質(zhì)Ⅰ、Ⅱ的統(tǒng)一簡證.

特別地，當(dāng)n=0時，性質(zhì)Ⅰ、Ⅱ分別為性質(zhì)1、2. 當(dāng)橫向的標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線Γ上的點(diǎn)A與D、B與E分別重合于T1、T2，可分別得性質(zhì)Ⅰ、Ⅱ的推論.

推論1 在橫向的標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線Γ中，已知定點(diǎn)C和定直線l是一對極點(diǎn)和極線，過定點(diǎn)C作圓錐曲線Γ的弦T1T2，則以T1、T2為切點(diǎn)的兩切線的交點(diǎn)P的軌跡在直線l上.

推論2 在橫向的標(biāo)準(zhǔn)圓錐曲線中，已知定點(diǎn)C和定直線l是一對極點(diǎn)和極線，P是l上一點(diǎn)， 過點(diǎn)P作圓錐曲線Γ的兩條切線PT1、PT2，切點(diǎn)為T1、T2，則切點(diǎn)弦T1T2恒過定點(diǎn)C.

由上觀之，上述性質(zhì)Ⅰ、Ⅱ?qū)嵸|(zhì)上是圓錐曲線配極性質(zhì)的拓展.

至此，我們完成了對文[1]的定理3、4的簡證及推廣.

[1]石鑫. 由一道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題引的出圓錐曲線統(tǒng)一性質(zhì)[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué),2014(12): 8-10.

[2]馬躍進(jìn)，康宇.圓錐曲線內(nèi)接四邊形的一個統(tǒng)一性質(zhì)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣州),2011(4)：26-29.