一種新型不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)滑模同步控制方式

孫美美，胡云安，韋建明

(海軍航空工程學(xué)院控制工程系 山東 煙臺 264001)

一種新型不確定分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)滑模同步控制方式

孫美美，胡云安，韋建明

(海軍航空工程學(xué)院控制工程系 山東 煙臺 264001)

針對一類存在參數(shù)攝動(dòng)、未知函數(shù)及外部擾動(dòng)等不確定因素的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制問題，設(shè)計(jì)了一類具有新穎的分?jǐn)?shù)型積分滑模面的同步控制器。所設(shè)計(jì)的新型分?jǐn)?shù)階滑模面抖震更小、收斂速率更快。提出了一種改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階非增長型自適應(yīng)律，有效避免了隨時(shí)間增長可能引起的控制量無界的問題。引入頻率分布模型分析系統(tǒng)模型，并基于Lyapunov穩(wěn)定性定理證明同步誤差收斂，避免了直接用偽狀態(tài)變量對同步誤差系統(tǒng)進(jìn)行分析的錯(cuò)誤，形成了分?jǐn)?shù)階運(yùn)算和整數(shù)階同步控制方法有機(jī)結(jié)合的新方法。仿真結(jié)果證明了該方法的有效性。

自適應(yīng)控制; 混沌; 分?jǐn)?shù)階; 滑?？刂? 同步

由于實(shí)際工程應(yīng)用的需要以及研究的深入，實(shí)際問題常常面對復(fù)雜的工作環(huán)境和不確定因素，對系統(tǒng)精確的建模就變得尤為重要，分?jǐn)?shù)階微分模型為解決這一問題提供了新的思路，得到了越來越多的關(guān)注。相比于整數(shù)階系統(tǒng)的控制發(fā)展，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的控制和同步控制理論還很不完善，在某些方面甚至是空白，如對于線性定常的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，目前還沒有關(guān)于其穩(wěn)定性的勞斯型判據(jù)，也很難找到合適的李雅普諾夫函數(shù)來進(jìn)行系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計(jì)。

目前，發(fā)展最為成熟的可用于指導(dǎo)控制器設(shè)計(jì)并進(jìn)行穩(wěn)定性分析的方法是針對線性定常同元次分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)基于線性矩陣不等式(LMI)的分析與綜合方法[1-2]，學(xué)者們也嘗試了其他的控制方法，如根軌跡法[3]、H∞控制[4]、自抗擾控制[5]及最優(yōu)控制[6]等?；？刂扑矐B(tài)反應(yīng)快、對不確定性具有魯棒性等特點(diǎn)，在分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制設(shè)計(jì)中也得到了一些應(yīng)用[7-14]。文獻(xiàn)[15]設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階滑模面，開拓了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的滑?？刂频男碌缆?。文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了一種新型四維自治超混沌系統(tǒng)，并找到其分?jǐn)?shù)階狀態(tài)，設(shè)計(jì)了整數(shù)階滑模控制器實(shí)現(xiàn)了異結(jié)構(gòu)同步。文獻(xiàn)[17]將自適應(yīng)控制和模糊控制相結(jié)合，解決了帶有不確定、參數(shù)未知和外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的異同步問題。文獻(xiàn)[18]針對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)存在未知參數(shù)和未知外界擾動(dòng)的情況，提出了一種分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)更新律，通過Mittag-Leffler穩(wěn)定性定理證明了同步誤差系統(tǒng)收斂。

上述及現(xiàn)有文獻(xiàn)大多一是直接利用系統(tǒng)變量并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論進(jìn)行分析，但是由分?jǐn)?shù)階定義可知，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)具有對歷史特性的記憶性和全局特性，狀態(tài)變量實(shí)際是對之前狀態(tài)積累的一個(gè)反映，且積累的影響隨時(shí)間增長而減弱，直接對狀態(tài)變量進(jìn)行分析顯然是不準(zhǔn)確的；二是所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律隨時(shí)間增長而增大，可能引起控制量無界的問題。

穩(wěn)定性作為系統(tǒng)的基本性能要求，是控制器設(shè)計(jì)中最重要的環(huán)節(jié)。關(guān)于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論仍處于探索階段，目前比較常用的有分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論、Mittag-Leffler定理[19]、分?jǐn)?shù)階拓展穩(wěn)定性理論[20]、基于K類函數(shù)的分?jǐn)?shù)階Lyapunov直接法[21]。文獻(xiàn)[22]介紹了階次小于1的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論；文獻(xiàn)[23]從另一角度證明了分?jǐn)?shù)階穩(wěn)定性理論不僅適用于分?jǐn)?shù)階自治系統(tǒng)，也同樣適用于分?jǐn)?shù)階非自治系統(tǒng)。文獻(xiàn)[24-26]對幾種常用的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論方法進(jìn)行了總結(jié)分析，這些方法雖然比最原始的穩(wěn)定性判據(jù)更方便，但在指導(dǎo)控制器設(shè)計(jì)方面還存在較大困難。

綜上所述，分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)與控制研究既具有重要的工程意義和較廣的應(yīng)用前景，又充滿困難和挑戰(zhàn)。因此本文選取了一類存在參數(shù)攝動(dòng)、未知函數(shù)及外部擾動(dòng)等不確定因素的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)進(jìn)行研究，在傳統(tǒng)滑?？刂浦幸敕?jǐn)?shù)階微積分算子，既保持了傳統(tǒng)滑?？刂频睦碚撎匦裕衷黾恿诵碌膽?yīng)用特性；引入頻率分布模型[27]對系統(tǒng)模型，直接分析系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài)變量，設(shè)計(jì)一種新型分?jǐn)?shù)階滑模同步控制器，旨在豐富分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步控制研究。

1 預(yù)備知識

分?jǐn)?shù)階微積分實(shí)際上是指任意階次的微積分，在其發(fā)展的歷史中，學(xué)者們多次從不同角度對微積分進(jìn)行了定義，下面簡單介紹幾種常用的定義。

定義 1 分?jǐn)?shù)階積分由Riemann-Liouville積分定義[28-29]。函數(shù) f(t)的n階積分(n為正實(shí)數(shù))為：

定義 2 Riemann-Liouvill型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：

式中，n?1＜α＜n 。

Riemann-Liouvill型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有超奇異性，20世紀(jì)60年代，意大利的Caputo提出了弱奇異的分?jǐn)?shù)階微分定義。

定義 3 Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為：

由定義可以看出，輸入函數(shù)的初值以衰減的形式進(jìn)行輸出，零初值下分?jǐn)?shù)階微分是卷積分的形式。因此，分?jǐn)?shù)階微分實(shí)際上是一個(gè)積分，且隨時(shí)間衰減記憶，這就是分?jǐn)?shù)階微分算子最大的特點(diǎn)。

本文采用工程應(yīng)用較多的Caputo型定義，在處理具體問題時(shí)，可以選取不同類型的定義。為方便表達(dá)，用Dα代替aDtα。

2 系統(tǒng)描述

將分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)寫為如下的形式：

由于式(4)所表示的系統(tǒng)既包括線性部分又包括非線性部分，具有非常廣泛的代表性，能夠包含大多數(shù)混沌系統(tǒng)，將現(xiàn)有文獻(xiàn)中的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)總結(jié)如表1所示。

將式(4)表示的系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，則被控響應(yīng)系統(tǒng)表達(dá)式為：

式中，y(t)∈Rn為響應(yīng)系統(tǒng)的狀態(tài)向量；ΔAy∈Rn×n未知參數(shù)矩陣；g(y, t)∈Rn為響應(yīng)系統(tǒng)的非線性部分；Δg(y, t)∈Rn表示不確定非線性函數(shù)向量，ΔAy和Δg(y, t)分別表示系統(tǒng)中的線性和非線性的不確定性；u(t)∈Rn為需要設(shè)計(jì)的同步控制器。

定義同步誤差e=y?x。控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)合適的控制器u(t)，使得，實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步。

由式(4)和式(5)可得同步誤差系統(tǒng)方程為：

式中，1ε和ε2為正常數(shù)。

表1 4種不同類型的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)

3 滑模同步控制器設(shè)計(jì)

3.1 滑模面的選擇

以簡單的分?jǐn)?shù)階線性滑模面為例，簡要說明分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡啾扔趥鹘y(tǒng)整數(shù)階滑?？刂频膬?yōu)勢。分?jǐn)?shù)階滑模面的表達(dá)式為：

當(dāng)α=1時(shí)，式(8)為整數(shù)階滑模面，收斂速度為e?kt；當(dāng)α≠1時(shí)，式(8)為分?jǐn)?shù)階滑模面，收斂速度為t?α。圖1為分?jǐn)?shù)階滑模的基本原理[31]，由圖可以看出，分?jǐn)?shù)階滑模運(yùn)動(dòng)相對于整數(shù)階滑模運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的抖震較小，且能取得較高的控制精度。引理 1[1,22]考慮如下分?jǐn)?shù)階自治系統(tǒng)：

圖1 整數(shù)階滑模面與分?jǐn)?shù)階滑模面收斂特性對比圖

式中，0＜α＜1，x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量；AD∈Rn×n為系統(tǒng)參數(shù)矩陣。當(dāng)時(shí)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)時(shí)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，此時(shí)，狀態(tài)向量以t?α速度收斂至零。

圖2 分?jǐn)?shù)階線性系統(tǒng)穩(wěn)定性理論原理圖

引理 2[30]分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)Dαy(t)=υ(t)， 0＜α＜1，y(t)∈R，υ(t)∈R可以被看作如下一個(gè)線性頻率分布模型：

式中，權(quán)重函數(shù)μα(ω)=sin(απ)/πωα；系統(tǒng)狀態(tài)z(ω,t)∈R。

定義滑模函數(shù)為：

對式兩邊關(guān)于時(shí)間求α階次導(dǎo)，有：

為方便表達(dá)，記s(t)為s。當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生滑模運(yùn)動(dòng)時(shí)，須滿足s=0和Dαs=0，那么有：

根據(jù)引理1，選擇合適的矩陣C，保證分?jǐn)?shù)階同步誤差系統(tǒng)穩(wěn)定，且C將決定||e||1→0的速度。

根據(jù)引理2，可以得到滑模面的等價(jià)頻率分布模型為：

式中，權(quán)重函數(shù)為μ(ω)=sin(απ)/πωα；z(ω,t)∈R為實(shí)際誤差變量。選擇Lyapunov函數(shù)為：

對其求導(dǎo)得：

3.2 滑模同步控制器的設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)控制器如下：

式中，q1, q2,γ1, γ2＞0為調(diào)節(jié)參數(shù)。顯然，

根據(jù)引理2，得到參數(shù)估計(jì)誤差的頻率分布模型為：

選擇Lyapunov函數(shù)為：

對其求導(dǎo)得：

定理 1 考慮形如式(4)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)作為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，形如式(5)的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)作為響應(yīng)系統(tǒng)，選取分?jǐn)?shù)階滑模面如式(11)的形式，選擇式(16)表示的控制律，選擇式(18)和式(19)表示的分?jǐn)?shù)階自適應(yīng)律，那么同步誤差系統(tǒng)(6)漸近穩(wěn)定，且收斂至零的鄰域。

證明：選擇全局Lyapunov函數(shù)為：

將μ(ω)代入，根據(jù)定積分中值定理可知存在ξ∈[0,∞ )，使得：

類似地，存在ζ∈[0,∞ )，使得：

式中，μ2, μ3＞0，使得：為正常數(shù)。同理可知，存在常數(shù)

因此由不等式(26)可知：

因此，當(dāng)時(shí)間趨向于無窮時(shí)，V(t)≤Q/ρ，系統(tǒng)同步誤差及參數(shù)估計(jì)誤差收斂到原點(diǎn)的鄰域Ω={V≤Q/ρ}內(nèi)，系統(tǒng)漸近收斂。

4 仿真分析

選取分?jǐn)?shù)階超Chen系統(tǒng)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為：

初始值選取為x (0)=(3,2,1,?1)T。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)出現(xiàn)混沌吸引子，如圖3所示。

圖3 分?jǐn)?shù)階超Chen混沌吸引子(α=0.98)

被控響應(yīng)系統(tǒng)模型為：

式中，函數(shù)不確定項(xiàng)和外部干擾項(xiàng)為：

自適應(yīng)律增益選擇為 q1=0.01，q2=0.01，響應(yīng)系統(tǒng)階次選為α=0.98，C=diag(2,2.15,3,1.6)， K=diag(2,3,3,2)。仿真結(jié)果如圖4所示。

從圖中可以看到，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步誤差漸近收斂到零，意味著兩個(gè)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了同步。參數(shù)曲線如圖5所示，從圖中也可以看出，使用分?jǐn)?shù)階非單增型自適應(yīng)律可以使估計(jì)誤差漸近收斂，避免參數(shù)估計(jì)隨時(shí)間無限增大的問題，及在時(shí)間足夠長的情況下，可能引起的控制量無界問題。

圖4 同步誤差曲線

圖5 參數(shù)估計(jì)曲線

5 結(jié) 束 語

本文對分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)滑?？刂蒲芯楷F(xiàn)狀進(jìn)行了簡要介紹，分析了目前研究存在的不足和難點(diǎn)，研究了一類帶有不確定性和外部擾動(dòng)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的滑模同步問題，充分利用已知條件，將系統(tǒng)不確定性分為系統(tǒng)名義矩陣部分和不確定部分。設(shè)計(jì)了一類新型分?jǐn)?shù)階PI滑模面和非單增型自適應(yīng)魯棒同步控制律，與現(xiàn)有文獻(xiàn)中的滑?？刂圃O(shè)計(jì)相比，能夠有效減小抖震并縮短收斂時(shí)間，避免了隨時(shí)間增長可能引起的控制量無界的問題。最后，選擇了頻率分布表示的Lyapunov函數(shù)證明該控制律能夠控制系統(tǒng)誤差狀態(tài)收斂到滑模面上，避免了大多文獻(xiàn)中直接用偽狀態(tài)變量對同步誤差系統(tǒng)進(jìn)行分析的錯(cuò)誤。

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編 輯 漆 蓉

A Novel Sliding Mode Synchronization Method of Uncertain Fractional-Order Chaotic Systems

SUN Mei-mei, HU Yun-an, and WEI Jian-ming

(Department of Control Engineering, Naval Astronautical and Aeronautical University Yantai Shangdong 264001)

A novel adaptive sliding mode synchronization controller for uncertain fractional order chaotic systems is proposed in this paper. The proposed controller can realize the synchronization of systems with parameters perturbation, function uncertainties, and exterior disturbance. The new sliding mode surface with fractional order has advantages of week chattering and high convergent rate. A novel fractional order adaptive updating law is proposed to prevent the estimations from increasing infinitely. The sliding mode surface and the parameter estimation error of the controller are modelled by utilizing frequency distribution model, and the convergence of the error system is verified by Lyapunov functions, avoiding the mistake caused by directly applying pseudo state variables for the analysis of system synchronization error. Simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed scheme.

adaptive control; chaos; fractional-order; sliding mode control; synchronization

TP273

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.03.013

2015 ? 12 ? 21；

2016 ? 03 ? 15

國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目(61433011)

孫美美(1987 ? )，女，博士，主要從事混沌控制與同步方面的研究.