基于MNC-FastICA算法的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成

阮宗利，魏 平，錢國兵，袁曉壘

(1. 電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院網(wǎng)絡(luò)空間安全研究中心 成都 611731；2. 中國石油大學(xué)(華東)理學(xué)院 山東 青島 266580；3. 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 重慶 北碚區(qū) 400715)

基于MNC-FastICA算法的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成

阮宗利1,2，魏 平1，錢國兵3，袁曉壘1

(1. 電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院網(wǎng)絡(luò)空間安全研究中心 成都 611731；2. 中國石油大學(xué)(華東)理學(xué)院 山東 青島 266580；3. 西南大學(xué)電子信息工程學(xué)院 重慶 北碚區(qū) 400715)

針對(duì)導(dǎo)向向量失配的穩(wěn)健自適應(yīng)算法主要是基于導(dǎo)向向量不確定集約束，但是其約束參數(shù)往往難以確定，提出了基于修正的非圓復(fù)值快速不動(dòng)點(diǎn)算法(MNC-FastICA)的波束形成方法，通過盲分離得到的分離矩陣來構(gòu)造波束權(quán)向量，并對(duì)由此產(chǎn)生的信源幅相模糊進(jìn)行校正。該方法不必預(yù)先估計(jì)信號(hào)來波方向，避免了傳統(tǒng)方法中來波方向估計(jì)不準(zhǔn)引起的期望信號(hào)的導(dǎo)向向量失配；對(duì)于陣列通道幅相誤差導(dǎo)致的導(dǎo)向向量失配，該方法對(duì)其不敏感，不必對(duì)陣列進(jìn)行校正。仿真實(shí)驗(yàn)與最差性能最佳化(WCPO)等經(jīng)典方法作了性能對(duì)比，結(jié)果驗(yàn)證了該算法的有效性和穩(wěn)健性。

陣列; 復(fù)數(shù)快速不動(dòng)點(diǎn)算法; 獨(dú)立分量分析; 穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成

迄今為止，波束形成的研究者們已經(jīng)提出了大量的自適應(yīng)方法，設(shè)計(jì)出了許多優(yōu)秀的波束形成器，如Caopn方法即樣本協(xié)方差矩陣求逆法(sample matrix inversion, SMI)、對(duì)角加載SMI(diagonal loading SMI, LSMI)方法、穩(wěn)健Capon方法(robust capon beamforming, RCB)和最差性能最佳化(worst-case performance optimization, WCPO)方法等[1-3]，最近的文獻(xiàn)中也提出了一些新的方法[4-6]，如基于非圓性恢復(fù)的對(duì)角加載方法(noncircularity restoral for diagonal loading, NRDL)[6]。然而，這些算法大多數(shù)對(duì)樣本快拍數(shù)或?qū)蛳蛄空`差敏感。其中，導(dǎo)向向量失配的原因主要是來波方向估計(jì)誤差和陣列誤差[7]。針對(duì)導(dǎo)向向量失配的自適應(yīng)算法，目前的研究主要是對(duì)導(dǎo)向向量不確定集進(jìn)行建模，將該不確定集約束到波束形成算法中，但是實(shí)際中其約束參數(shù)往往難以確定，它需要提供更多的先驗(yàn)信息，且約束參數(shù)過大或過小都會(huì)影響輸出性能[7-8]。此外，文獻(xiàn)[9]提出使用特征矩陣聯(lián)合近似對(duì)角化(joint approximate diagonalization of eigen-matrices, JADE)方法進(jìn)行盲波束形成，獲得了比SMI等方法更好的性能，但是沒有對(duì)盲分離帶來的信號(hào)幅相誤差進(jìn)行校正。

在信源非高斯等假設(shè)條件下，本文提出基于MNC-FastICA算法的波束形成，通過由盲分離得到的分離矩陣來構(gòu)造波束權(quán)向量。由于不涉及波束觀察方向，該方法避免了LSMI等方法中來波方向估計(jì)不準(zhǔn)引起的導(dǎo)向向量失配問題。對(duì)于陣列通道幅相誤差導(dǎo)致的導(dǎo)向向量失配，該方法對(duì)其不敏感，不必對(duì)陣列進(jìn)行校正，能獲得優(yōu)于WCPO等方法的輸出性能。對(duì)于理想的或僅有通道幅相誤差的陣列，該方法能夠?qū)γし蛛x帶來的幅相模糊進(jìn)行校正。

1 信號(hào)模型

本文以均勻線陣作為信號(hào)接收的陣列。

1.1 均勻線陣接收信號(hào)模型

假定空間遠(yuǎn)場(chǎng)陣列接收的信號(hào)為窄帶信號(hào)，入射波可近似為平面波。如圖1所示，有K個(gè)窄帶信號(hào)分別從θ1, θ2,…,θK方向入射到陣元間隔為d的M元均勻天線陣列上。

圖1 均勻線陣接收信號(hào)模型

以陣元0作為參考陣元，則天線陣列接收到的離散時(shí)間基帶信號(hào)可表示為：

式中，a(θi)=[1e?jφi…e?j(M?1)φi]T是入射方向 θi對(duì)應(yīng)的導(dǎo)向向量，φi=2πd sinθiλ表示空間相位，λ表示載波的波長。

1.2 波束形成器的輸出信號(hào)模型

波束形成是對(duì)陣列各陣元采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)求和運(yùn)算，得到波束輸出，達(dá)到選擇期望信號(hào)并抑制干擾和噪聲的目的。將這些權(quán)值定義成向量，則波束形成器的波束輸出為：

若權(quán)向量w滿足wHa(θi)=0，則表明 θi方向的信號(hào)被抑制，不能通過波束形成器；若wHa(θi)=1，則表明iθ方向的信號(hào)可以無失真地通過波束形成器?？梢?，通過改變權(quán)向量，可以使某些方向的信號(hào)通過波束形成器，而抑制另一些方向的信號(hào)。

1.3 假設(shè)條件

利用MNC-FastICA算法來設(shè)計(jì)波束形成器的權(quán)向量，需要進(jìn)一步作以下假設(shè)：

H1：K個(gè)未知信源(包括一個(gè)期望信號(hào)和K?1個(gè)干擾，方向也未知)是相互獨(dú)立的，且至多有一個(gè)是高斯源；

H2：接收陣列的陣元個(gè)數(shù)M大于信源個(gè)數(shù)K，且陣列流形矩陣A是列滿秩的；

H3：期望信號(hào)功率小于所有干擾信號(hào)功率；

假設(shè)H1和H2是獨(dú)立分量分析(independent component analysis, ICA)模型的一般性假設(shè)[10]，對(duì)于基于陣列結(jié)構(gòu)的混合矩陣，列滿秩實(shí)際上就是要求空間信號(hào)的入射角度相隔不能太近。經(jīng)過盲分離得到的信號(hào)中如何區(qū)分出期望信號(hào)，需要某些先驗(yàn)信息，這里假設(shè)干擾信號(hào)很強(qiáng)，功率大于期望信號(hào)。

2 用ICA方法設(shè)計(jì)波束權(quán)向量

ICA方法廣泛用于解決盲信號(hào)分離問題[10]。對(duì)于瞬時(shí)混合x(n)=As(n)+v(n)，其中s(n)、v(n)和 x(n)分別表示未知信源向量、噪聲向量和觀測(cè)向量，A是未知混合矩陣，ICA方法就是要尋找一個(gè)分離矩陣W使得y(n)=WHx(n)是源信號(hào)s(n)的估計(jì)。波束形成的目的是要通過選擇最優(yōu)的權(quán)向量w來篩選期望信號(hào)而盡量抑制干擾和噪聲，即從混合信號(hào)中提取出期望信號(hào)，即y(n)=wHx(n)是期望信號(hào)s(n)的估計(jì)，因此在本質(zhì)上也是在進(jìn)行信號(hào)分離，此時(shí)的混合矩陣是波束形成中的陣列流形矩陣。所以，波束形成問題可看作一類特殊的盲信號(hào)分離問題，ICA方法也用于波束形成。

2.1 MNC-FastICA算法

快速不動(dòng)點(diǎn)算法(fixed-point algorithm, FastICA)是一類高效的盲信號(hào)分離算法，其擴(kuò)展算法包括復(fù)數(shù)的C-FastICA、非圓信號(hào)的NC-FastICA和去噪的非圓復(fù)信號(hào)MNC-FastICA等[10-12]。本文采用MNC-FastICA算法來辨識(shí)信源，步驟如下：

1) 對(duì)陣列觀測(cè)信號(hào) x做中心化處理，即x←x?mx，其中mx=E{x}是x的均值；

3) x作偽白化q=Vsx；

4) 初始化M=IK，IK表示K×K的單位陣；

5) 對(duì)M中的各列向量mi(i=1,2,…,K)，依次運(yùn)用下式進(jìn)行更新：

在實(shí)際中，均值mx和協(xié)方差矩陣Rx都是未知的，常用一段樣本數(shù)據(jù)的平均即樣本均值和樣本協(xié)方差矩陣來估計(jì)，分別表示如下：

式中，N為樣本快拍數(shù)。

2.2 校正盲分離導(dǎo)致的幅相模糊

眾所周知，ICA方法用于分離盲信號(hào)，一般會(huì)存在幅相的不確定性和順序的不確定性[10-11]，這兩種不確定性在ICA中也是可以被接受的。而在進(jìn)行波束形成時(shí)，往往要求期望信號(hào)盡可能無失真地通過空域?yàn)V波器，這與盲分離的幅相模糊似乎形成了一對(duì)矛盾；而且，幅度模糊會(huì)影響對(duì)信號(hào)功率的檢測(cè)。幸運(yùn)的是，對(duì)于理想陣列或僅有通道幅相誤差的陣列，利用陣列流形矩陣的特殊結(jié)構(gòu)，盲分離的幅相模糊可以被校正。

在不考慮噪聲的情況下，如果陣列是理想的，則陣列接收數(shù)據(jù)經(jīng)盲分離后，其分離矩陣W和混合矩陣A(這里就是陣列流形矩陣)有如下關(guān)系：

記矩陣WH的偽逆為B，即B?(WH)?，則有：

由于置換矩陣P的逆?1P仍然是置換矩陣，因此AP?1是將A中的某些列交換位置。設(shè)矩陣A中從左到右各列編號(hào)為1,2,…,K，置換后的編號(hào)為P1, P2,… ,PK，則AP?1可表示為：

將AP?1和D代入式(4)，可得：

矩陣B的第一行元素恰好包含了各信號(hào)的幅相模糊信息，即可以從B中提取幅相模糊，以便對(duì)估計(jì)信號(hào)進(jìn)行幅相校正。于是有：

式中，B(1, :)表示取矩陣B的第一行。

考慮噪聲后，盲分離得到的輸出可以近似為：

式中，Δs(n)=WHv(n)表示由于加性噪聲引起的誤差。因此，可以通過對(duì)y(n)左乘矩陣?1D 進(jìn)行盲分離的幅相校正，即：

將y(n)代入上式，可得：

從前面的分析過程不難發(fā)現(xiàn)，幅相模糊信息的提取利用了陣列流形矩陣第一行元素全為1這一特征，而沒有涉及到矩陣中的其余元素，因此盲分離的幅相校正方法對(duì)其他任意結(jié)構(gòu)的陣列照樣適用。

如果考慮陣列的通道幅相誤差，則式(1)所表示的陣列接收信號(hào)應(yīng)改寫為：

相應(yīng)地，式(3)應(yīng)改寫為：

類似于式(6)，矩陣HW的偽逆B可以表示為：

可見，仍然可以從B中第一行元素直接得到對(duì)角矩陣D，式(9)和式(10)所表示的校正方式依然適用。

通常β0≠1，因此校正后的信號(hào)仍然存在幅相誤差0β。然而，標(biāo)量0β是會(huì)作用到每一個(gè)信號(hào)上的，包括期望信號(hào)和干擾信號(hào)，因此它不會(huì)妨礙對(duì)期望信號(hào)的判斷。

綜上，無論陣列通道幅相誤差是否存在，盲分離后信源估計(jì)的幅相校正都可寫成：

2.3 波束權(quán)向量

依據(jù)前面的假設(shè)H3，假設(shè)判別出(n)中第i個(gè)信號(hào)是期望信號(hào)，則的第i列就是要尋找的波束權(quán)向量w，即：

為了方便，這里把所提方法得到的波束形成器命名為MNC-FastICA波束形成器。

綜上，MNC-FastICA波束形成算法可歸納為：

1) 用MNC-FastICA算法對(duì)觀測(cè)信號(hào)x做盲分離，得到分離矩陣W和信源估計(jì)y；

2) 對(duì)WH求Moore-Penrose偽逆B=(WH)?；

3) 提取B中第一行元素，生成盲分離的幅相模糊的校正矩陣diag{B(1, :)}；

2.4 性能指標(biāo)

本文以輸出信干噪比(signal to interference plus noise ratio, SINR)來衡量波束形成器的性能。假定期望信號(hào)方向?yàn)?θ1，干擾方向?yàn)?θ2,θ3,…,θK，則波束權(quán)向量w確定后，波束形成器的輸出SINR[7]為：

3 計(jì)算機(jī)仿真

本節(jié)通過仿真實(shí)驗(yàn)，將所提波束形成器與理想Capon(導(dǎo)向向量和干擾噪聲協(xié)方差矩陣都精確已知)、SMI、LSMI、NRDL和WCPO等波束形成器作性能對(duì)比。仿真中，LSMI方法的加載噪聲級(jí)設(shè)置為經(jīng)驗(yàn)值LNR=10 dB，NRDL方法采用文獻(xiàn)[6]中的方案2，即NRDL2來確定對(duì)角加載量，WCPO方法中導(dǎo)向向量誤差范數(shù)約束參數(shù)設(shè)為ε0=2.8。

基本仿真條件：假定空間有K=3個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)入射到M=10陣元的均勻線陣上，陣元間距為半波長即d=λ/2。期望信號(hào)為二相移鍵控(binary phase shift keying, BPSK)信號(hào)，入射方向?yàn)棣萻=20°，兩個(gè)強(qiáng)干擾信號(hào)分別是BPSK和四相相移鍵控(quadrature phase shift keying, QPSK)信號(hào)，入射方向分別為θi1=?40°和θi2=60°，干信比(interference to signal ratio, ISR)均為20 dB。加性噪聲是功率為0 dB的復(fù)高斯白噪聲。期望信號(hào)、干擾和噪聲相互獨(dú)立。期望信號(hào)的信噪比(signal to noise ratio, SNR)及觀測(cè)數(shù)據(jù)的快拍數(shù)在具體實(shí)驗(yàn)中設(shè)定，實(shí)驗(yàn)結(jié)果均取自500次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)的平均。

3.1 導(dǎo)向向量匹配時(shí)各波束形成器的性能比較

假設(shè)導(dǎo)向向量匹配，此時(shí)顯然不存在陣元通道幅相誤差和來波方向估計(jì)誤差。圖2顯示了各波束形成器的輸出SINR隨輸入SNR與快拍數(shù)變化的情況。

圖2 導(dǎo)向向量匹配時(shí)各波束形成器的輸出SINR隨輸入SNR與快拍數(shù)變化情況

從圖2a和圖2b中可以看出，導(dǎo)向向量匹配時(shí)，各方法的輸出SINR隨輸入SNR或快拍數(shù)增加而變大。MNC-FastICA與LSMI方法的性能比較相近，它們都優(yōu)于SMI方法，且在快拍數(shù)N≥600時(shí)，它們的輸出SINR隨快拍數(shù)的變化緩慢?？梢姡贛NCFastICA算法的波束形成是有效的。

3.2 陣列通道幅相誤差存在時(shí)各波束形成器的性能比較

陣列通道幅相誤差會(huì)導(dǎo)向向量失配。假設(shè)陣列僅存在道幅相誤差，并假定式(11)中各陣元幅度誤差和相位誤差 ?m均服從高斯分布且相互獨(dú)立，零均值， ξm具有相同的方差=(0.1)2， ?m也具有相同的方差=(5π/180)2。波束觀察方向有3°偏差即θLook=θs+3°=23°，快拍數(shù)為N=800?？疾燧斎隨NR在?10～20 dB變化時(shí)各波束形成器的輸出SINR，實(shí)驗(yàn)平均結(jié)果如圖3所示。

從圖3可以看出，LSMI方法的輸出SINR在SNR＞5 dB時(shí)開始迅速下降。其他3種方法的輸出SINR隨SNR增加而逐漸上升，它們的輸出性能整體優(yōu)于LSMI方法，特別是在SNR較高時(shí)。MNC-FastICA的輸出SINR在不同輸入SNR下都優(yōu)于WCPO和NRDL兩種方法。

圖3 陣列通道幅相誤差存在時(shí)各波束形成器的輸出SINR隨輸入SNR變化情況

現(xiàn)將輸入信噪比固定在SNR=15 dB，各方法的輸出SINR隨快拍數(shù)N變化的實(shí)驗(yàn)平均結(jié)果如圖4所示。

圖4 陣列通道幅相誤差存在時(shí)各波束形成器的輸出SINR隨快拍數(shù)變化情況

從圖4可以看出，隨著快拍數(shù)增加，NRDL和MNC-FastICA方法的輸出SINR緩慢提高，而WCPO和LSMI方法的輸出則幾乎保持不變。MNC-FastICA方法在不同快拍數(shù)下的輸出性能優(yōu)于其他方法。

3.3 陣列通道幅相誤差不同時(shí)MNC-FastICA波束形成器的性能

本文實(shí)驗(yàn)考察3.2小節(jié)中陣列通道幅相誤差不同時(shí)MNC-FastICA波束形成器的性能。首先固定各陣元相位誤差的方差，改變幅度誤差的方差，然后將固定，讓變化，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。特別地，為方便比較，兩幅圖中也都給出了陣列通道沒有幅相誤差即σξ=σ?=0時(shí)的結(jié)果。

圖5 陣列通道幅相誤差不同時(shí)MNC-FastICA波束形成器的輸出SINR隨輸入SNR變化情況

從圖5a和圖5b可以看出，在陣列通道幅相誤差較小的情況下，盡管誤差(包括誤差為零的情況)不同，但MNC-FastICA方法的輸出性能幾乎相同，因此它對(duì)該誤差具有良好的穩(wěn)定性。這恰好驗(yàn)證了2.2小節(jié)的結(jié)論，即當(dāng)通道存在幅相誤差H時(shí)，相當(dāng)于給混合矩陣A即陣列流形矩陣做了一個(gè)線性變換，變換成了另一個(gè)混合矩陣HA，只要HA仍然是列滿秩的，它并不妨礙MNC-FastICA方法對(duì)信源做分離。

4 結(jié) 束 語

本文采用MNC-FastICA方法對(duì)波束權(quán)向量進(jìn)行了設(shè)計(jì)。其中，對(duì)理想陣列或僅有通道幅相誤差的陣列，用同一方法校正了ICA方法分離源信號(hào)過程中產(chǎn)生的幅相模糊。MNC-FastICA波束形成器不必預(yù)估信號(hào)來波方向，從而避免了LSMI等經(jīng)典方法中由于波束觀察方向誤差導(dǎo)致的導(dǎo)向向量失配問題。陣列通道幅相誤差存在時(shí)，不必進(jìn)行通道校正，MNC-FastICA方法對(duì)其不敏感，仿真表明它能獲得優(yōu)于WCPO等方法的輸出性能。應(yīng)當(dāng)指出，本文方法的信源中非高斯源至多允許有一個(gè)，這是ICA方法的基本假設(shè)之一，而WCPO等方法則不受此條件限制，適用范圍更廣。

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編 輯 稅 紅

Robust Adaptive Beamforming Based on MNC-FastICA Algorithm

RUAN Zong-li1,2, WEI Ping1, QIAN Guo-bing3, and YUAN Xiao-lei1

(1. Center for Cyber Security, School of Electronic Engineering, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731; 2. College of Science, China University of Petroleum Qingdao Shandong 266580; 3. School of Electronic and Information Engineering, Southwest University Beibei Chongqing 400715)

The actual steering vector with errors is usually modeled as an uncertainty set in most robust adaptive beamforming (RAB) against the steering vector mismatch. However, it is commonly difficult to determine the constraint parameter in practice. In this paper, a RAB based on modified noncircular complex fast independent component analysis(MNC-FastICA) algorithm is proposed. The weight vector of beamformer can be constructed with the separation matrix found by MNC-FastICA algorithm and the amplitude and phase ambiguities of estimations resulted from separation are also calibrated. Thus, the signal directions of arrival (DOA) do not need to be predestinated, which voids the mismatch of signal steering vector due to the error of DOA in classical RAB methods. Moreover, the proposed method is not sensitive to the amplitude and phase errors of array channel so that array calibration is not necessary. Simulations are run and the performances are compared with classical methods such as worst-case performance optimization(WCPO). Results demonstrate the effectiveness and robustness of our method.

array; complex fast fixed-point algorithm; independent component analysis; robust adaptive beamforming

TN911.7

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.03.005

2016 ? 03 ? 05；

2016 ? 05 ? 20

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(15CX02055A)

阮宗利(1978 ? )，男，博士生，主要從事盲源分離、陣列信號(hào)處理方面的研究.