基于Shearlet變換的泊松噪聲圖像復(fù)原問(wèn)題研究

李 紅，王俊艷，李厚彪

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 成都 611731)

基于Shearlet變換的泊松噪聲圖像復(fù)原問(wèn)題研究

李 紅，王俊艷，李厚彪

(電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 成都 611731)

為了解決泊松噪聲圖像的復(fù)原問(wèn)題，幾種正則化方法已被提出，其中最著名的是全變差(TV)模型，但TV模型會(huì)引起階梯效應(yīng)。總廣義變差(TGV)是全變差的推廣，用TGV作為正則項(xiàng)來(lái)恢復(fù)泊松圖像，可以消除階梯效應(yīng)，但圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息不能很好地保持。為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，基于TGV和Shearlet變換，該文提出了一種新的正則化模型，并用交替方向乘子法(ADMM)求解。數(shù)值結(jié)果有效地展示了該模型在保持圖像邊緣細(xì)節(jié)上的優(yōu)越性。

交替方向乘子法; 泊松噪聲; Shearlet變換; 階梯效應(yīng); 總廣義變差

圖像恢復(fù)是圖像處理中最基本的問(wèn)題之一，其目的是從得到的噪聲圖像或者噪聲模糊圖像中恢復(fù)出原圖像，同時(shí)避免破壞圖像的一些基本信息。目前大量的文獻(xiàn)已對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，但主要以加性高斯白噪聲為主。然而，在光量子計(jì)數(shù)成像系統(tǒng)中，如天文成像、醫(yī)學(xué)成像、熒光共焦顯微成像等，得到的圖像往往受到量子噪聲的污染。量子噪聲服從泊松分布的統(tǒng)計(jì)法則，并非加性噪聲，并且泊松噪聲的噪聲強(qiáng)度與方差具有信號(hào)依賴性。統(tǒng)計(jì)上，亮度大的像素受到更多的干擾，因此去除該類泊松噪聲是一個(gè)困難的科學(xué)問(wèn)題。

圖像去噪方法中最著名的是文獻(xiàn)[1]基于變分理論提出的全變分(total variation, TV)去噪模型。TV模型在去除加性噪聲的同時(shí)能很好地保持圖像的邊緣，但是會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng)。文獻(xiàn)[2]針對(duì)泊松噪聲恢復(fù)問(wèn)題，提出了新的全變分模型來(lái)處理泊松噪聲圖像，新變分模型的保真項(xiàng)適合泊松噪聲，該模型同樣也會(huì)產(chǎn)生階梯效應(yīng)，此后學(xué)者們又進(jìn)行了進(jìn)一步的研究[3-4]。

眾所周知，TGV正則項(xiàng)[5-6]可以有效地消除階梯效應(yīng)，但同時(shí)也會(huì)使圖像的邊緣以及紋理區(qū)域變得模糊。更嚴(yán)重的，圖像的一些細(xì)節(jié)信息在恢復(fù)過(guò)程中會(huì)丟失。Shearlet變換作為多尺度幾何分析中的一種，能夠?qū)D像進(jìn)行稀疏表示產(chǎn)生最優(yōu)逼近，并在圖像去噪過(guò)程中可以有效地保持圖像邊緣、角落等信息結(jié)合多尺度方法提取圖像的幾何特征。上述正則化方法在文獻(xiàn)[7]中首次提出，并應(yīng)用于壓縮感知中圖像重建問(wèn)題。本文把TGV和Shearlet變換相結(jié)合來(lái)處理乘性泊松噪聲恢復(fù)問(wèn)題。

1 TGV基本概念

通過(guò)運(yùn)用Legendre-Fenchel對(duì)偶定理，式(1)也可轉(zhuǎn)換成它的原始對(duì)偶形式：

式中，；D1、D2分別是x和y方向上的向前有限差分算子矩陣，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[7]，有：

2 Shearlet變換基本概念

Shearlet變換[7-9]最初是文獻(xiàn)[9]根據(jù)小波理論衍生而來(lái)的。連續(xù)Shearlet變換[7]定義為：

式中，ψa,s,t是Shearlet基函數(shù)；ψ∈L2(R2)定義為：

式中，Aa為各向異性膨脹矩陣；Ss是剪切矩陣:

在后面試驗(yàn)中，采用文獻(xiàn)[8]中的方法進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。

3 泊松噪聲復(fù)原模型及其算法

3.1 泊松噪聲復(fù)原模型

設(shè)u∈R+N是原始圖像， f∈NR 是觀察圖像，K∈RN×N是線性模糊算子，依據(jù)泊松分布的定義假定u是有界并且是正的，則該退化模型描述為：

式中，P表示泊松分布?；谖墨I(xiàn)[2]，運(yùn)用貝葉斯法則，有：

對(duì)于任意的u∈Ω，可以得到：

這里假設(shè)先驗(yàn)分布P(u)是TGV和Shearlet變換，那么得到的新模型的正則項(xiàng)為：

式中，λ是正則化參數(shù)。這樣本文的泊松復(fù)原模型可表示為：

式中，SH(u)∈NjR表示第j個(gè)變換子帶(subband)，總的子帶數(shù)目M由分解尺度的個(gè)數(shù)決定，試驗(yàn)中選擇的分解尺度為3；ls表示投影算子保證圖像中每個(gè)元素都為正，它的形式表示為：

進(jìn)一步極小化離散TGV，模型可表示為：

3.2 交替方向乘子法求解模型

交替方向乘子法(ADMM)[10-11]在求解約束的凸優(yōu)化問(wèn)題時(shí)有極快的收斂性，因此被廣泛的應(yīng)用于圖像處理。下面討論如何應(yīng)用ADMM算法求解新模型。

首先，引入輔助變量x、y、z、w 、v ，問(wèn)題式(2)轉(zhuǎn)化為以下約束問(wèn)題：

約束條件可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為：

從以上形式，可以清楚地看出問(wèn)題式(3)滿足ADMM算法條件，并且收斂性也可以得到保證[12]。

對(duì)約束優(yōu)化問(wèn)題式(3)，它的增廣拉格朗日乘子函數(shù)為：

式中，ci是拉格朗日乘子，i=1,2,…,5；μi是正的懲罰參數(shù)i=1,2,…,5。由ADMM算法，問(wèn)題式(3)的迭代公式表示為：

式中，w子問(wèn)題可直接求解，即對(duì)i=1,2,…,N ，有：

子問(wèn)題x、y、z的解，直接應(yīng)用收縮閾值法：

1) 極小化問(wèn)題x的解表示為：

所謂的解釋，就是說(shuō)明某種現(xiàn)象何以如此。語(yǔ)用學(xué)的研究目的之一就是解釋語(yǔ)言形式何以如此。在Givón(1979:3-4)認(rèn)為語(yǔ)言學(xué)的解釋需要涉及下面一個(gè)或多個(gè)“自然解釋性參數(shù)”：命題內(nèi)容、話語(yǔ)語(yǔ)用學(xué)、語(yǔ)言處理器、認(rèn)知結(jié)構(gòu)、世界觀語(yǔ)用學(xué)、個(gè)體發(fā)生學(xué)的發(fā)展、歷時(shí)演變和種系發(fā)生學(xué)的進(jìn)化。這些參數(shù)就是我們稱之為外部解釋的參數(shù)。語(yǔ)體與命題內(nèi)容、話語(yǔ)語(yǔ)用學(xué)、認(rèn)知結(jié)構(gòu)等參數(shù)密切相關(guān)，那么語(yǔ)體研究能為語(yǔ)言學(xué)提供什么樣的解釋？這是本文試圖回答的問(wèn)題。

另外，(u,p)子問(wèn)題是一個(gè)鞍點(diǎn)問(wèn)題，可以分解為以下問(wèn)題。

1) 對(duì)于u子問(wèn)題，求解下面的極小化問(wèn)題：

通過(guò)求解下面的線性方程得到結(jié)果：

而子問(wèn)題p又可分解成子問(wèn)題p1、p2來(lái)求解：

① 子問(wèn)題p1，可由下列線性方程獲得：

② 類似的，子問(wèn)題p2可表示為下列線性方程的解：

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證新模型的有效性，分別對(duì)Lena和Peppers兩幅圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，對(duì)Lena圖像加高斯模糊，用文獻(xiàn)[13]中的模糊函數(shù)psfGauss(5,2)；Peppers圖像加運(yùn)動(dòng)模糊，其中r=6，θ=45，然后再用Poissrnd函數(shù)加泊松噪聲。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與文獻(xiàn)[3]中的方法PIDAL和文獻(xiàn)[4]中的方法PID-Split進(jìn)行比較，如圖1、圖2所示，其中圖1c～圖1e、圖2c～圖2e是用對(duì)應(yīng)的算法獲得的復(fù)原圖像；圖2f～圖2h是局部放大圖像。

圖1 Lena圖像與其他復(fù)原方法的比較結(jié)果

圖2 Peppers圖像與其他復(fù)原方法的比較結(jié)果

以上兩個(gè)實(shí)驗(yàn)直觀地展示了本文模型能夠緩解甚至消除階梯效應(yīng)，并且很好地保持了圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息。

為了更加客觀地評(píng)價(jià)本文模型的優(yōu)越性，用相對(duì)誤差(relative error, RelErr)、信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)、峰值信噪比(peak signal-to-noise, PSNR)、結(jié)構(gòu)相似度指數(shù)測(cè)量(structural similarity index, SSIM)4種定量指標(biāo)來(lái)評(píng)價(jià)本文模型的去噪效果。它們的計(jì)算公式分別為：

表1 不同算法的SNR、PSNR、RelErr和MSE值的結(jié)果比較

5 結(jié) 束 語(yǔ)

本文基于TGV和Shearlet變換提出了一種新的泊松圖像去噪模型。它在有效去除噪聲的同時(shí)不僅可以消除階梯效應(yīng)，還能很好地保持圖像的邊緣細(xì)節(jié)信息。然而，模型引入了多個(gè)參數(shù)，如何自適應(yīng)地選擇參數(shù)將需要進(jìn)一步的研究。

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編 輯 漆 蓉

Research on Poisson Noise Image Restoration Problems Based on Shearlet Transform

LI Hong, WANG Jun-yan, and LI Hou-biao

(School of Mathematics Sciences, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 611731)

Restoring Poisson noise images has been drawn a lot of attention in recent years. To solve this problem, several regularization methods have been put forward. One of the most famous methods is the Total variation (TV) model. However, the TV model will cause staircasing effects. The total generalized variation (TGV) is the extension of TV. Using TGV as a regularization term to recover the Poission image can eliminate staircase effects but the edge details will not preserved very well. In order to overcome this drawback, based on TGV and Shearlet transform, we propose a new regularization method. The proposed model is solved by the alternating direction method of multiplier (ADMM). The numerical results reflect the efficiency of the new model in dealing with Poisson noise image.

alternating direction method of multiplier (ADMM); Poisson noise; Shearlet transform; staircase; total generalized variation

TN911.73

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.03.006

2015 ? 04 ? 13；

2016 ? 07 ? 10

國(guó)家自然科學(xué)基金(51175443,11101071)；四川省科技支撐計(jì)劃(2015GZX0002)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金(ZYGX2016J131, ZYGX2016J138)

李紅(1979 ? )，女，博士，主要從事動(dòng)力系統(tǒng)與數(shù)字圖像處理方面的研究.