將數(shù)學(xué)建模融入高職經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中的教學(xué)案例

賀靖

摘要：本文簡(jiǎn)要介紹了在經(jīng)濟(jì)學(xué)實(shí)際問(wèn)題中數(shù)學(xué)建模問(wèn)題，提出了可以將數(shù)學(xué)建模融入到高職經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中去，并給出了三個(gè)教學(xué)案例。通過(guò)教學(xué)案例，給出了數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程：模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解、結(jié)果分析。而且應(yīng)在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容，和實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)。

Abstract： This paper briefly introduces the problems of mathematical modeling in the practical problems of economics， puts forward that the mathematical model can be applied to the teaching of Economic Mathematics in higher vocational education and carries out three teaching cases. Through the teaching case， this paper gives the whole process of mathematical modeling： model preparation， model assumption， model establishment， model solution and result analysis. Moreover， the content of mathematical modeling should be introduced into the teaching of economic mathematics and it should be combined with the practical application.

關(guān)鍵詞：經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)教學(xué)

Key words： economic mathematics；mathematical modeling；mathematical education

中圖分類號(hào)：O141.4；G712 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1006-4311（2017）13-0207-02

0 引言

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)是高職院校財(cái)經(jīng)類專業(yè)設(shè)置的核心課程之一，是經(jīng)管類各專業(yè)的一門(mén)重要基礎(chǔ)課，而使數(shù)學(xué)建模的知識(shí)融入到高職經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)這門(mén)基礎(chǔ)課程教學(xué)中，以更好地為高素質(zhì)、高技能型人才培養(yǎng)目標(biāo)服務(wù)，一直是高職院校數(shù)學(xué)教學(xué)改革的難點(diǎn)。

數(shù)學(xué)建模是通過(guò)調(diào)查研究、了解信息、簡(jiǎn)化假設(shè)、抽象分析、運(yùn)用數(shù)學(xué)的符號(hào)和程序，以此建立數(shù)學(xué)模型，以求解模型得到結(jié)果并解決實(shí)際問(wèn)題，最后實(shí)際檢驗(yàn)結(jié)論是否正確的全過(guò)程。目前數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)實(shí)驗(yàn)雖取得了一些成效，但也存在著不足。究其原因，其一數(shù)學(xué)建模主要針對(duì)本科教學(xué)而高職類較少，特別是經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)建模教學(xué)和輔導(dǎo)的教材缺乏；其二重理論教學(xué)而輕實(shí)踐應(yīng)用，很難得到有實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型，缺乏所研究問(wèn)題的知識(shí)和背景；其三沒(méi)有明確的數(shù)學(xué)建模教學(xué)方法的指導(dǎo)。所以，要推動(dòng)高職院校數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動(dòng)的有效開(kāi)展，必須進(jìn)一步對(duì)數(shù)學(xué)建模在高職院校教學(xué)中的作用進(jìn)行探索與研究。

最近幾年數(shù)學(xué)建模的競(jìng)賽活動(dòng)在全國(guó)高職院校蓬勃開(kāi)展，廣州大學(xué)市政技術(shù)學(xué)院積極探索將數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容融入數(shù)學(xué)或?qū)I(yè)教學(xué)之中。下面作者結(jié)合自身的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，給出三個(gè)把數(shù)學(xué)建模融入高職經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)的案例。

1 交通網(wǎng)絡(luò)流量分析問(wèn)題

1.1 模型準(zhǔn)備 廣東某城市單行線的交通流量如下圖所示，以每小時(shí)通過(guò)的汽車數(shù)量來(lái)度量，數(shù)字則表示該路段每小時(shí)按箭頭方向通過(guò)的車流量（單位：輛）。

①建立各條道路上車流量的線性方程組；

②若確定唯一未知流量，還需要增加哪些條道路上的車流量；

③當(dāng)x5=350時(shí)，確定x1，x2，x3，x4的值。

1.2 模型假設(shè) 第一，每條道路都是單行線；第二，每個(gè)交叉路口車輛進(jìn)出數(shù)量相等。

1.3 模型建立 依據(jù)圖1和網(wǎng)絡(luò)流量模型的基本假設(shè)，在四個(gè)交叉路口處進(jìn)出車輛數(shù)量，我們可以得到下列方程：

A：x1+20=30+x2；B：x2+30=x3+x4；

C：x4=40+x5；D：x5+50=10+x1；

1.4 模型求解 根據(jù)該網(wǎng)絡(luò)的總流入量（200+300+500）等于網(wǎng)絡(luò)的總流出量（300+x3+400+100），化簡(jiǎn)得x3=200，把這個(gè)方程與整理后的前4個(gè)方程聯(lián)立，得如下方程組：

1.5 結(jié)果分析

若確定唯一未知流量，只要增加x5統(tǒng)計(jì)的值即可。當(dāng)x5=350時(shí)，確定x1=350，x2=350，x4=350。網(wǎng)絡(luò)分支中的負(fù)流量表示與模型中指定的方向相反，由于街道是單行線，因此變量不能取負(fù)值，這也導(dǎo)致變量在取正值時(shí)有一定的局限。

2 黃牛出售的問(wèn)題

2.1 模型準(zhǔn)備 養(yǎng)殖場(chǎng)預(yù)計(jì)每天投入資金為10元，用于購(gòu)買飼料、設(shè)備以及工人工資，估計(jì)將使當(dāng)前200公斤重的黃牛每天增長(zhǎng)2公斤。目前的市場(chǎng)價(jià)格為每公斤20元，但是預(yù)計(jì)每天將會(huì)降低0.1元，問(wèn)黃牛應(yīng)該在何時(shí)出售。如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果影響如何。

2.2 模型假設(shè) 資金投入使黃牛體重隨時(shí)間同步增長(zhǎng)，出售單價(jià)隨時(shí)間同步減少，所以若使利潤(rùn)最大定存在最佳的出售時(shí)機(jī)。

2.3 模型建立 根據(jù)題意，令黃牛的增長(zhǎng)速度為r=2，收購(gòu)價(jià)格降低速度為g=0.1。

①若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為200×20=4000（元）

②若t天后出售，黃牛體重w=200+rt，銷售收入R=pw，出售價(jià)格p=20-gt，資金投入C=8t

若黃牛的價(jià)格每天降低量r增加1%，出售時(shí)間提前3%。

3 商品的最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題

3.1 模型準(zhǔn)備 設(shè)廣東某手機(jī)廠商生產(chǎn)一臺(tái)手機(jī)的成本是c，而每臺(tái)手機(jī)的銷售價(jià)格是p，銷售量是x。若該廠商的生產(chǎn)處于均衡狀態(tài)，即手機(jī)的生產(chǎn)量等于銷售量。按照市場(chǎng)預(yù)測(cè)分析，銷售量x與銷售價(jià)格p之間的關(guān)系為：x=Me-ap（M>0，a>0）。其中市場(chǎng)最大需求量為M，價(jià)格系數(shù)為a。

而生產(chǎn)部門(mén)對(duì)生產(chǎn)環(huán)節(jié)的進(jìn)行分析后，對(duì)每臺(tái)手機(jī)的生產(chǎn)成本c計(jì)算如下：c=c0-klnx（k>0，x>1）。其中規(guī)模系數(shù)為k，只生產(chǎn)一臺(tái)手機(jī)的成本為c0。據(jù)上所述，該廠商若要獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)如何確定手機(jī)的銷售價(jià)格p。

3.2 模型假設(shè) 在商品的生產(chǎn)和銷售過(guò)程中，手機(jī)的銷售量、生產(chǎn)成本與銷售價(jià)格是相互影響的。所以廠商只有選擇合適的銷售價(jià)格即最優(yōu)價(jià)格，才能獲得最大的利潤(rùn)。

3.3 模型建立 假設(shè)手機(jī)廠家獲得的利潤(rùn)為U，每臺(tái)手機(jī)的生產(chǎn)成本為c，銷售價(jià)格為p，銷售量為x，則利潤(rùn)函數(shù)為U=（p-c）x，問(wèn)題變?yōu)樵诩s束條件g（x，p）=0和h（c，p）=0中求解該利潤(rùn)函數(shù)的最大值。

3.4 模型求解

為了更好地使數(shù)學(xué)建模進(jìn)入高職經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中，需要把數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)建模有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，在教學(xué)中適時(shí)適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)建模思想，這樣可以提高學(xué)生的各方面能力，有助于他們更好地學(xué)習(xí)專業(yè)課，更有利于今后時(shí)代對(duì)人才的需要。

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