擬蒙特卡洛模擬方法在期權(quán)定價(jià)中的應(yīng)用研究

楊首樟　任燕燕

摘要：不斷變化的市場(chǎng)利率、匯率，難以預(yù)測(cè)的突發(fā)事件，以及各種復(fù)雜情形都對(duì)金融衍生產(chǎn)品定價(jià)方法提出了更高的要求。蒙特卡洛模擬是一種比較有效的衍生品定價(jià)方法，它通過偽隨機(jī)序列模擬標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的路徑，對(duì)相應(yīng)的期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，但它存在著一定的弊端：收斂速度慢，不能通過增加模擬次數(shù)有效地逼近真值。擬蒙特卡洛模擬對(duì)蒙特卡洛模擬進(jìn)行了改進(jìn)，用低差異序列代替?zhèn)坞S機(jī)序列，提高了模擬的準(zhǔn)確性。論文利用蒙特卡洛和擬蒙特卡洛模擬方法 對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，對(duì)兩種方法進(jìn)行比較分析，結(jié)果表明在低維情況下擬蒙特卡洛模擬方法可以得到更加精確地效果，收斂速度也比較快；在高維情況下通過修正也達(dá)到同樣的效果。

關(guān)鍵詞： 蒙特卡洛；擬蒙特卡洛； 歐式期權(quán)；Black-Scholes定價(jià)模型

中圖分類號(hào)：F830.91；F224 文獻(xiàn)編碼：A DOI：10.3969/j.issn.1003-8256.2017.01.007

0 引言

在過去的二十年中，期權(quán)作為管理風(fēng)險(xiǎn)和投機(jī)的工具得到了迅速的發(fā)展，同時(shí)也引發(fā)了對(duì)于期權(quán)定價(jià)的研究。由于期權(quán)的價(jià)格受市場(chǎng)供求的影響，進(jìn)而影響交易雙方的收益，使得期權(quán)定價(jià)研究成為期權(quán)交易中的一個(gè)重要部分。但由于市場(chǎng)的復(fù)雜性以及不可預(yù)見性，使得期權(quán)的定價(jià)非常復(fù)雜，當(dāng)所求問題的維度不高于三維的時(shí)候，運(yùn)用傳統(tǒng)的數(shù)值方法，例如，二叉樹方法、有限差分法等就可以得到比較理想的結(jié)果，但當(dāng)問題的維度比較高的時(shí)候，這些傳統(tǒng)數(shù)值方法表現(xiàn)就不太理想，這就是所謂的“維度災(zāi)難”。為了解決更加復(fù)雜的問題，諸多學(xué)者提出了蒙特卡洛方法。蒙特卡洛方法的基本思想是通過建立一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型或者隨機(jī)過程，使它的參數(shù)等同于所求問題的解，再通過反復(fù)的隨機(jī)取樣，計(jì)算參數(shù)的估計(jì)值和統(tǒng)計(jì)量，從而得到所求問題的近似解，當(dāng)抽樣次數(shù)越多的時(shí)候近似解就越接近于真實(shí)值，其基本原理就是大數(shù)定理和中心極限定理。

然而任何方法都不可避免地存在誤差，蒙特卡洛方法也不例外，為了得到更加精確地結(jié)果，往往需要誤差減小方法來降低誤差，對(duì)于蒙特卡洛方法來說，其收斂速度是O（N^[-1/2]）（其中，N 是模擬次數(shù)），顯然只通過增加模擬次數(shù)來降低模擬誤差的方法不是有效的。因此學(xué)者提出利用低差異序列來代替蒙特卡洛模擬方法所采用的偽隨機(jī)數(shù)列，使得收斂速度變?yōu)镺（N^[-1]），這種方法就是擬蒙特卡洛模擬方法，該方法采用低差異序列進(jìn)行數(shù)值積分以解決其他問題。

Boyle（1997）首次使用蒙特卡洛模擬方法對(duì)單一資產(chǎn)的歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，并指出方差減小技術(shù)可提高蒙特卡洛方法的精度，在大多數(shù)情況下使用擬蒙特卡洛模擬亦可以改進(jìn)蒙特卡洛方法。Paskov和Traub（1995）利用蒙特卡洛模擬及采用低差異序列的擬蒙特卡洛模擬計(jì)算高維積分，并將兩者的結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了擬蒙特卡洛模擬方法比蒙特卡洛模擬方法具有許多優(yōu)勢(shì)。Joy.Boyle和Tan（1996）的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也證明了擬蒙特卡洛模擬的效率更高，模擬結(jié)果更加精確，誤差收斂速度也更快。

國內(nèi)對(duì)于歐式期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛方法研究起步較晚。馬俊海、張維（2000）用蒙特卡洛模擬方法對(duì)衍生證券及套期保值參數(shù)進(jìn)行直接模擬，李亞妮（2007）詳細(xì)闡述了方差減小技術(shù)對(duì)期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛方法的改進(jìn)，向文彬、向開理（2008）提出了利用低差異序列（Halton序列）的擬蒙特卡洛模擬，并以歐式期權(quán)定價(jià)為例，比較了擬蒙特卡洛方法與蒙特卡洛方法的結(jié)果，得出擬蒙特卡洛方法更具優(yōu)勢(shì)的結(jié)論。

1 期權(quán)定價(jià)方法

1.1 歐式期權(quán)

歐式期權(quán)是指買入期權(quán)的一方必須在期權(quán)到期日當(dāng)天才能行權(quán)的期權(quán)，根據(jù)權(quán)利的不同，歐式期權(quán)可分為歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)。歐式看漲期權(quán)是指期權(quán)的持有方具有在到期日以提前約好的執(zhí)行價(jià)格買入標(biāo)的資產(chǎn)權(quán)利的交易。歐式看跌期權(quán)是指期權(quán)的持有方具有在到期日以提前約好的執(zhí)行價(jià)格賣出標(biāo)的資產(chǎn)權(quán)利的交易。期權(quán)給予其持有人的是權(quán)利而非義務(wù)，也就是說，期權(quán)持有人可拒絕行權(quán)。因此，期權(quán)的價(jià)格一定大于或者等于零。

假設(shè)， 歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為V， 那么V一定服從以下條件：

V隨著執(zhí)行價(jià)格K的增加而減少。

V取決于到期日T。

V隨著標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S的增加而增加。

V取決于無風(fēng)險(xiǎn)利率r。

對(duì)于歐式期權(quán)的價(jià)值，可以通過運(yùn)用數(shù)理金融方法得到。

1.2 期權(quán)定價(jià)模型

由于股票現(xiàn)價(jià)與它未來的預(yù)期價(jià)格有關(guān)，并且現(xiàn)價(jià)、到期日、無風(fēng)險(xiǎn)利率和執(zhí)行價(jià)格等這些變量都可以影響期權(quán)定價(jià)，因此，二十世紀(jì)七十年代，Black 和 Scholes發(fā)表了題為《THE PRICING OF OPTIONS AND CORPORATE LIABILITIES》的文章，文中提到的期權(quán)定價(jià)模型很好的解決了期權(quán)定價(jià)的問題，但Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型需要一定的假設(shè)條件：

股票價(jià)格是波動(dòng)的并服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，也就是說，標(biāo)的資產(chǎn)收益是正態(tài)分布的。

在期權(quán)的存活期，無風(fēng)險(xiǎn)利率，期望收益和股票價(jià)格波動(dòng)是常數(shù)。

市場(chǎng)是完全流動(dòng)市場(chǎng)并且不存在交易費(fèi)和印花稅。

在期權(quán)存活期，標(biāo)的股票是不分紅的。

期權(quán)是歐式期權(quán)，不能再到期日之前提前行權(quán)。

市場(chǎng)中不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)。

在這個(gè)模型中，期權(quán)的價(jià)格并不依賴于投資者對(duì)于資產(chǎn)的預(yù)期收益率。可以說Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型提供了一種在除波動(dòng)率以外其他變量都能被觀察到的情況下精確估計(jì)期權(quán)價(jià)格和控制風(fēng)險(xiǎn)的方法。

1.3 歐式期權(quán)定價(jià)的蒙特卡洛模擬方法

2 研究方法

2.1 蒙特卡洛模擬方法

蒙特卡洛模擬方法的基本思想是通過建立一個(gè)統(tǒng)計(jì)模型或者隨機(jī)過程，使它的參數(shù)等同于所求問題的解，再通過反復(fù)的隨機(jī)取樣，計(jì)算參數(shù)的估計(jì)值和統(tǒng)計(jì)量，從而得到所求問題的近似解，當(dāng)抽樣次數(shù)越多的時(shí)候近似解就越接近于真實(shí)值。其基本原理就是大數(shù)定理和中心極限定理。

但是蒙特卡洛模擬的計(jì)算量非常大，計(jì)算速度也很慢。蒙特卡洛隨機(jī)取樣所采用的隨機(jī)數(shù)服從偽隨機(jī)序列，而偽隨機(jī)序列存在聚類特點(diǎn)，且樣本的分布不服從真實(shí)分布，這使得計(jì)算結(jié)果會(huì)出現(xiàn)偏差。其誤差可以通過中心極限定理得到：

從誤差式中可以看出蒙特卡洛模擬的誤差與方差和樣本數(shù)量n有關(guān)。為了降低其誤差，需要選擇合適的隨機(jī)變量使方差減小，但是蒙特卡洛模擬的隨機(jī)數(shù)取自偽隨機(jī)數(shù)列，因此并不能得到最小的方差，也就無法有效的減小誤差，且蒙特卡洛模擬的收斂速度為，這個(gè)收斂速度很慢且很難得到高正確率的結(jié)果。

2.2 擬蒙特卡洛模擬方法

與蒙特卡洛模擬相同，擬蒙特卡洛模擬也是在單位區(qū)間中通過計(jì)算積分，其與蒙特卡洛模擬最基本的區(qū)別在于的選取，換句話說，擬蒙特卡洛模擬改善了蒙特卡洛模擬的收斂效果，用低差異序列代替?zhèn)坞S機(jī)序列。低差異序列具有低偏差的特征，例如Halton序列、Sobol序列、Faure序列等都是常見的低差異序列。

擬蒙特卡洛模擬的方法也存在誤差，只是可以經(jīng)過修正得到改進(jìn)。擬蒙特卡洛模擬的誤差可以通過以下運(yùn)算進(jìn)行估計(jì)。對(duì)于單位區(qū)間中的點(diǎn)集，定義：

因此，已知擬蒙特卡洛模擬的誤差，可以得到擬蒙特卡洛模擬的熟練速度為。

相對(duì)于蒙特卡洛模擬效果，通常情況下擬蒙特卡洛模擬的收斂速度更好，則其結(jié)果的準(zhǔn)確性也就更高。但并不能說擬蒙特卡洛模擬在任何情況下都優(yōu)于蒙特卡洛模擬，從擬蒙特卡洛模擬的誤差項(xiàng)中可以看出擬蒙特卡洛模擬的收斂速度與維度d有關(guān)，而低差異序列也只有在低維的情況下才能均勻的分布在單位區(qū)間內(nèi)，且隨著維度的增高，這種均勻性也就開始降低。對(duì)于蒙特卡洛模擬來說，其收斂速度與維度沒有關(guān)系，也就是說，蒙特卡洛模擬適用于任何維度的問題。因此，在擬蒙特卡洛模擬中，在生成序列之前，必須定義維度，一些學(xué)者定義擬蒙特卡洛模擬的維度，一般限制維為40維，有些學(xué)者則認(rèn)為是12或者15維。對(duì)于許多金融問題其問題維度是很高的，而蒙特卡洛模擬的結(jié)果又存在一定的偏差，為了得到更加準(zhǔn)確的結(jié)果，在高維情況下可以采用布朗橋的方法，這個(gè)方法可以使擬蒙特卡洛模擬適用于高維情況。

3 實(shí)證分析

接下來運(yùn)用蒙特卡洛方法和擬蒙特卡洛方法對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，并用Black-Scholes模型結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)來判斷兩種方法的好壞。

將以上參數(shù)帶入Matlab程序，并設(shè)定模擬次數(shù)為50000次，對(duì)于蒙特卡洛模擬用Matlab自帶的隨機(jī)數(shù)生成器來產(chǎn)生股票價(jià)格路徑，擬蒙特卡洛模擬則采用Halton序列來產(chǎn)生股票價(jià)格路徑，再通過前文提及的定價(jià)方法，得到以下結(jié)果：

圖1中擬蒙特卡洛模擬從28.0819的最大值開始逼近真實(shí)值，最終得到20.0036的期權(quán)價(jià)格，與Black-Scholes定價(jià)的結(jié)果的誤差僅為0.015.而蒙特卡洛模擬則是從41.4396的最大值開始逼近真實(shí)值，最終結(jié)果為19.7392，與Black-Scholes定價(jià)的結(jié)果的誤差為0.2494.

圖2中擬蒙特卡洛模擬從0的最小值開始逼近真實(shí)值，最終得到1.4247的期權(quán)價(jià)格，與Black-Scholes定價(jià)的結(jié)果的誤差僅為0.0008.而蒙特卡洛模擬則也是從0的最小值開始逼近真實(shí)值，最終結(jié)果為1.4376，與Black-Scholes定價(jià)的結(jié)果的誤差為0.0137

從圖1，圖2可以看出代表擬蒙特卡洛方法的紅線以更快的收斂速度靠近真實(shí)值，并且最終結(jié)果也更接近真實(shí)值。與此同時(shí)，代表蒙特卡洛方法的藍(lán)線靠近真實(shí)值的收斂速度要稍慢于擬蒙特卡洛方法，并且其最終結(jié)果相對(duì)于真實(shí)值存在一定的偏差。因此可以得出結(jié)論，擬蒙特卡洛方法具有更好的收斂速度和結(jié)果。

接下來應(yīng)用布朗橋方法來產(chǎn)生股票價(jià)格路徑，帶入蒙特卡洛和擬蒙特卡洛方法，得到以下結(jié)果；

圖1中采用布朗橋方法的擬蒙特卡洛模擬從20.5383的最大值開始逼近真實(shí)值，最終得到19.9906的期權(quán)價(jià)格，與Black-Scholes定價(jià)的結(jié)果的誤差僅為0.002.而采用布朗橋方法的蒙特卡洛模擬則是從21.7321的最大值開始逼近真實(shí)值，最終結(jié)果為19.8327，與Black-Scholes定價(jià)的結(jié)果的誤差為0.1559。

圖2中采用布朗橋方法的擬蒙特卡洛模擬從1.1256的最小值開始逼近真實(shí)值，最終得到1.4241的期權(quán)價(jià)格，與Black-Scholes定價(jià)的結(jié)果的誤差僅為0.0003.而采用布朗橋方法的蒙特卡洛模擬則也是從2.2732的最大值開始逼近真實(shí)值，最終結(jié)果為1.4259，與Black-Scholes定價(jià)的結(jié)果的誤差為0.002。

可以看出在采用了布朗橋方法之后，擬蒙特卡洛模擬和蒙特卡洛模擬的結(jié)果都有所改進(jìn)。

從圖3，圖4中可以看出，代表應(yīng)用布朗橋的擬蒙特卡洛模擬的黑線具有最快的收斂速度，沒有應(yīng)用布朗橋的擬蒙特卡洛模擬的收斂速度較應(yīng)用布朗橋的擬蒙特卡洛模擬的收斂速度要稍微慢一些，同時(shí)，蒙特卡洛模擬的收斂速度是最慢的。對(duì)于最終結(jié)果，應(yīng)用布朗橋方法的擬蒙特卡洛模擬結(jié)果更接近于真實(shí)值，且蒙特卡洛模擬結(jié)果較真實(shí)值的偏離程度比應(yīng)用布朗橋的蒙特卡洛模擬的偏離程度要大。因此，可以得出結(jié)論，擬蒙特卡洛模擬和蒙特卡洛模擬應(yīng)用布朗橋方法可以得到更好的結(jié)果。

4 結(jié)論

論文在給出具體歐式期權(quán)的參數(shù)情況下，分別采用蒙特卡洛和擬蒙特卡洛模擬方法對(duì)具體的歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，并以Black-Scholes歐式期權(quán)定價(jià)模型的結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)對(duì)兩種方法進(jìn)行比較。兩種方法的模擬結(jié)果顯示擬蒙特卡洛模擬方法較蒙特卡洛模擬方法更加有效，收斂速度也更快。但由于論文只對(duì)歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，且問題的維度比較低，因此只能概括出在低維的情況下擬蒙特卡洛模擬更加有效。根據(jù)蒙特卡洛模擬的收斂速度公式，可以看到其有效性與問題的維度沒有太大的關(guān)系，也就是說蒙特卡洛模擬方法適用于所有維度的問題，應(yīng)用面也更廣。而根據(jù)擬蒙特卡洛模擬的收斂速度公式可以推出，當(dāng)問題維度提高的情況下，擬蒙特卡洛方法會(huì)出現(xiàn)一定的偏差，尤其在高緯度問題情況下該方法的偏差也很大，因此為了得到更好的模擬結(jié)果，論文通過布朗橋等恰當(dāng)?shù)穆窂疆a(chǎn)生法結(jié)合運(yùn)用控制變量法等誤差減小方法縮小模擬的誤差，從而改善擬蒙特卡洛模擬在高維情況下的表現(xiàn)，使模擬結(jié)果更加接近真實(shí)值，使該方法適用于高維的問題。

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（編輯：張萌）

Abstract： Varying interest rates， unpredictable cases， and other complications all put forward higher requirements in the financial derivatives pricing methods. Monte Carlo simulation is an appropriate approach for financial derivatives pricing. It uses the pseudorandom sequence to simulate the price path of the underlying asset， then prices the corresponding options. But this method has some drawbacks： its convergence speed is slow and It can not approach true value effectively by increasing the number of simulation. Quasi-Monte Carlo method improves the shortcomings of Monte Carlo method.，using low-discrepancy sequences instead of pseudorandom sequence， then improves the accuracy of the simulations. This paper prices the European vanilla options using Monte Carlo method and Quasi-Monte Carlo method， then does the comparative analysis for the two methods. The results show that under the condition of low dimensional Quasi- Monte Carlo simulation method can get more precise result， and the convergence speed is faster. Under the condition of high dimension the Quasi-Monte Carlo method can arrive the same results by correction.

Keywords：Monte Carlo；Quasi-Monte-Carlo； European options，；Black-Scholes option pricing model