淺議變限定積分

郭勝紅

摘 要：給出了原函數(shù)存在定理的兩個簡單推論，并討論了含有變限定積分的函數(shù)性狀及其應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：原函數(shù)存在定理；變限積分；極限

微積分學(xué)這門學(xué)科在數(shù)學(xué)發(fā)展中的地位是十分重要的，變限積分就是一種特殊的定積分，也是經(jīng)?？疾斓囊粋€知識點。它具有很多特殊的性質(zhì)，比如它的導(dǎo)數(shù)很特殊。特殊性決定了它的重要性，現(xiàn)就它的幾個性質(zhì)加以說明并舉例闡述其應(yīng)用。此外，為了解決在定積分形式下證明連續(xù)函數(shù)必定存在原函數(shù)這一問題，必須引入變限積分這一內(nèi)容。

1知識點

設(shè)函數(shù)在上可積，變限定積分定義了上的一個新函數(shù)。

定理1（原函數(shù)存在定理）如果函數(shù)在上連續(xù)，則變上限積分在內(nèi)可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為.即是被積函數(shù)的一個原函數(shù)。

推論1：若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，為內(nèi)任一定點，則變動上限積分函數(shù)在上處處可導(dǎo)，且，。

此推論是變限積分的最重要的性質(zhì)，掌握此定理需要注意兩點：第一，下限為常數(shù)，上限為參變量（不是含的其他表達式）；第二，被積函數(shù)中只含積分變量，不含參變量。

推論2：若是函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)點時，還在點可導(dǎo)，且。而對函數(shù)，當(dāng)連續(xù)，和可微時，可導(dǎo)且有。

討論含有變限定積分的函數(shù)性狀時，往往利用這些重要的結(jié)論。

2應(yīng)用

2.1求極限

解：令

，。

定義，在（或）上連續(xù)，利用洛必達法則可得：

2.2設(shè)函數(shù)連續(xù)，，存在，求極限

解：令，作代換，有：

，由于連續(xù)，可導(dǎo)，

由于，，以及時，利用洛必達法則可得：

2.3設(shè)函數(shù)在上連續(xù)且遞增，則函數(shù)在內(nèi)遞增

證：容易看出在上連續(xù)，存在，使得，，所以：

，

即函數(shù)在內(nèi)遞增。

2.4設(shè)為上周期是1的連續(xù)函數(shù)，且，函數(shù)在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，又設(shè)，試證明收斂。

證明：令，則可導(dǎo)。

因為在在上連續(xù)，所以，使得，都有

，，而收斂，故由級數(shù)收斂的比較判別法知級數(shù)收斂。

盡管2.4從題目看來與變限積分函數(shù)求導(dǎo)無關(guān)，但是引入變限積分會有柳暗花明又一村的感覺。

有關(guān)變限積分函數(shù)的應(yīng)用是比較多的，本文只給出了變限積分函數(shù)的一些性質(zhì)和應(yīng)用的簡單探討，以上討論只是一個開始，如果進一步對其進行討論，會得到一些更好的結(jié)論，也期望可以從其他的角度來研究變限積分函數(shù)，使得變限積分函數(shù)像初等函數(shù)一樣充分的被討論，并給予足夠的重視。

參考文獻：

[1]華東師大數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（下冊）.高等教育出版社，1991.

[2]錢吉林.數(shù)學(xué)分析題解精粹.崇文書局，2003.

[3]江瑞俠、祝明慧、賈興斌.淺談“變限積分”[J].滄州師范?？茖W(xué)校學(xué)報，2006（2）：51-53.

[4]盧亞麗、李艷華、李戰(zhàn)國、孫書安、李曄.變限積分函數(shù)求導(dǎo)方法研究[J].河南教育學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2004（1）：4-6.