從評價的視角思考初中幾何變換的教學

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【摘要】全日制義務教育數(shù)學新課程強調(diào)了幾何變換的內(nèi)容，突出了變換在圖形認識過程中的作用.2016年南京市中考數(shù)學第20題以幾何變換性質(zhì)為考察內(nèi)容.題目的呈現(xiàn)方式，彰顯變換的特性；體現(xiàn)變換的一致性；強化研究視角的關聯(lián)性；突出三種語言的統(tǒng)一性.學生的錯誤類型主要有不理解題意；結(jié)論寫不全；未定量描述性質(zhì)；合情的推理得出錯誤的結(jié)論；數(shù)學語言不規(guī)范.在幾何變換的教學中，需要強化圖形變換的過程性教學，加強合情推理與演繹推理的融合，重視幾何語言的學習.

【關鍵詞】幾何變換評價

筆者有幸參加了2016年南京市中考數(shù)學閱卷，批閱第20題.親歷了命題者對此題命題意圖及評分標準的解讀，參與收集學生的典型錯誤，并匯報批閱此題的教學啟示.現(xiàn)整理成文，與同行分享，敬請指正.1試題

原題呈現(xiàn)

我們在學完“平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)”三種圖形的變化后，可以進一步研究.請根據(jù)示例圖形，完成下表.

圖形的變化示例圖形與對應線段有關的結(jié)論與對應點有關的結(jié)論

平移

①▲.AA′=BB′；

AA′∥BB′.

軸對稱

②▲.③▲.

旋轉(zhuǎn)

AB=A′B′；對應線段AB和

A′B′所在的直線相交所成的角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補.④▲.

評分標準

①AB=A′B′；AB∥A′B′.

②AB=A′B′；對應線段AB和A′B′所在的直線相交，交點在對稱軸l上.

③l平分AA′；l⊥AA′.

④OA=OA′；∠AOA′=∠BOB′.

每個空中需要填寫相關對象的數(shù)量關系和位置關系.可以使用符號語言，也可以使用文字語言.與本標準答案不同的其它正確答案，參考本標準的精神給分.2命題意圖賞析

2.1立足聯(lián)系，彰顯變換的特性

《數(shù)學課程標準（2011年版）》在課程內(nèi)容中指出，學生通過具體的實例探索圖形軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì).在課程內(nèi)容實施建議部分，以三角形的三種變換為例，闡述如何教學和評價此學習過程.把圖形運動后的結(jié)果歸納在一起讓學生辨認，有利于學生理解三種圖形運動形式的不同之處，從而把握軸對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的基本特征，體驗圖形運動是研究圖形的有力工具[1].本題將線段的三種變換有機的統(tǒng)一，以表格的方式呈現(xiàn)性質(zhì)，異同鮮明，彰顯了變換的特性.

2.2關注要素，體現(xiàn)變換的一致性

這三種變換具有一致性.首先，它們都是全等變換.其次，都是變換要素決定變換性質(zhì).圖形運動的要素不一樣，其變換后的位置也不一樣，因此對應點與變換要素之間存在緊密的關聯(lián).研究其性質(zhì)主要關注變換前后圖形的相對位置及對應點的關系[2].比如，平移變換是沿一個方向移動一定的距離，其要素為定向、定距離，因此連接對應點的線段平行且相等；軸對稱變換的要素是沿對稱軸翻折運動，所以其性質(zhì)與翻折及對稱軸密切相關；旋轉(zhuǎn)變換是繞一定點沿一個方向旋轉(zhuǎn)一定的角度，其要素為定點、方向、角度，其性質(zhì)必然與這“三要素”相關.

本題從“對應線段”和“對應點”兩個方面歸納變換的性質(zhì).前者關注的是變換前后圖形的關系；后者關注的是變換過程中，對應點的幾何特征.這兩個方面的性質(zhì)都與變換要素緊密關聯(lián).

2.3凸顯方法，強化研究視角的關聯(lián)性

平面幾何是研究圖形形狀、大小、位置的學科.一方面，圖形的形狀是其組成元素的位置關系與數(shù)量關系的一種直觀體現(xiàn)，研究圖形形狀就是研究其組成元素的數(shù)量關系與位置關系；另一方面，圖形的位置關系決定數(shù)量關系，數(shù)量關系可以判定位置關系.本題所給性質(zhì)的范例意在引導學生從數(shù)量關系與位置關系兩個角度歸納變換的性質(zhì)，凸顯了研究幾何的一般方法，強調(diào)這兩種研究視角的關聯(lián)性.

2.4注重表達，突出三種語言的統(tǒng)一性

章建躍先生指出，數(shù)學思維好比一棵參天大樹，“一個結(jié)構(gòu)，兩個方向，三種語言，四種形式”是根和主干，千變?nèi)f化的具體方法則是其枝和葉.數(shù)學語言是數(shù)學的思維細胞.在此題中，使用圖形描述變換的內(nèi)容，要求學生用符號語言或者文字語言描述性質(zhì).本題考查了學生幾何語言的表達能力，突出三種語言的統(tǒng)一性.3典型錯誤分析

此題需要學生認真閱讀和理解題意，回憶課堂中探索圖形變換性質(zhì)的過程，并正確表述這些性質(zhì).闡述對象與相關對象之間的區(qū)別和聯(lián)系屬于結(jié)果目標中的“理解”層次.命題時將此題定位于全卷中的基礎題，全卷共27題，此題位于第20題.然而，此題全市均分是464分，難度系數(shù)是058，大大超過了命題時的預估難度.學生解決此題的困難何在？有必要分析學生的典型錯誤.

3.1不理解題意

本題的題干和問題以表格的形式呈現(xiàn)，理解題意時需要關注每行每列的內(nèi)容.表格中給出的變換的部分性質(zhì)有示范作用，其表達方式可以幫助學生理解題意.不理解題意，沒有體會示例的作用，不明確研究圖形性質(zhì)的視角和內(nèi)容，都會導致錯誤的解答.

錯誤及分析：（1）將表格中已給的性質(zhì)，換另一種幾何語言重新寫了一遍；（2）用不同的語言重復描述同一個結(jié)論.（3）定性描述示例圖形，沒有定量刻畫圖形的性質(zhì).比如在②空中寫到AB與A′B′關于直線l軸對稱.

3.2結(jié)論寫不全

本題需要填寫的數(shù)學結(jié)論涉及的數(shù)學對象有點、線、角.結(jié)合題目所給范例需從圖形的數(shù)量關系與位置關系兩個角度描述性質(zhì).很多同學概念理解不全混淆結(jié)論，題意理解不清漏寫結(jié)論.

錯誤及分析：（1）不理解“對應點”和“對應線段”的概念及其它們的區(qū)別，要求寫對應線段的性質(zhì)卻寫成對應點連線的性質(zhì)，要求寫對應點連線的性質(zhì)卻寫成對應線段的性質(zhì).（2）不知道從數(shù)量和位置兩個角度刻畫圖形的性質(zhì)，僅從一個角度寫結(jié)論.（3）忽視變換要素的作用.比如忽視對稱軸和旋轉(zhuǎn)中心的作用，僅僅考慮線段AB、A′B′、A′B、AB′的關系，沒有想到對應點、對應線段與對稱軸和旋轉(zhuǎn)中心之間的關系.

3.3未定量描述性質(zhì)

錯誤及分析：（1）用不平行、不相等來描述線段的位置和數(shù)量關系.在②空中寫到AB和A′B′所在直線不平行；在③空中寫到，AA′≠BB′；在④空寫到AA′與BB′不平行.（2）沒有定量描述線段關系.在④空中寫到，AA′和BB′位置和數(shù)量關系無法確定；AA′和BB′相交于一點，沒有定量描述它們夾角的大小關系.

3.4合情推理得出錯誤的結(jié)論

錯誤及分析：（1）在④空中寫到∠AOA′=90°，直觀上認為示例圖形中的旋轉(zhuǎn)角是直角.（2）在④空中，類比對應線段的結(jié)論，寫出線段AA′和BB′所在的直線相交所成的角與旋轉(zhuǎn)角相等或者互補.這是合情推理，但得到的結(jié)論卻是錯誤的，其實應該是與∠AOB相等或者互補.（3）在④空中寫到AA′=BB′；△AA′O≌△BB′O；AA′和BB′關于點O中心對稱；點A到A′和點B到B′所經(jīng)過的路線相等.這些都是依賴直觀得到結(jié)論，沒有結(jié)合變換要素進一步演繹推理，驗證其正確性.

3.5數(shù)學語言不規(guī)范

錯誤及分析：（1）在①空中寫到同旁內(nèi)角互補，對應角相等，描述對象不明確.（2）在③空中寫到，線段AB到l的距離等于線段A′B′到l的距離；A′l=B′l；AA′和BB′平分l；對應線段到對稱軸的連線相等且垂直于對稱軸.不能準確表達點到直線的距離，兩直線間的距離.（3）在④空中寫到，點A、A′在圓O上；點A對應的角與點A′對應的角相等.不能準確表達圓和角.4教學價值引領

評價的主要目的是全面了解學生的數(shù)學學習過程和結(jié)果，改進教學.結(jié)合命題意圖和學生的典型錯誤，反思我們的教學，至少有以下三點啟示.

4.1要強化圖形變換的過程性教學

在典型錯誤中，學生不理解“對應點”和“對應線段”的概念，忽視了變換要素的作用，不能從位置關系和數(shù)量關系兩個角度定量描述性質(zhì).這啟發(fā)我們要重視圖形變換的過程性教學，強調(diào)概念的理解，突出研究幾何性質(zhì)的方法.

首先，要經(jīng)歷概念的形成過程，強化對“變換要素”和“對應”的理解.在圖形變換概念的形成過程中，注意選取生活中典型的例子，感知軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象.借助操作活動，如折紙、剪紙，拉一拉，轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，拼一拼等活動，幫助學生形成初步的表象，感悟其數(shù)學意義.在此基礎上，通過畫變換之后的圖形，歸納變換的基本要素，抽象出圖形軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)的概念.在畫圖的過程中，感受幾何元素的“對應”關系，明確研究的對象——對應點、對應線段[2].

其次，要明確研究圖形變換性質(zhì)的方法.研究圖形變換的性質(zhì)就是研究變換前后圖形的關系.最基本的，應當研究清楚“對應點”之間的關系.關注變換要素與圖形的聯(lián)系，經(jīng)歷定性描述到定量刻畫的過程.這樣的學習過程可以幫助學生學會用概念思考問題；學會用幾何研究的“基本套路”探索問題，形成研究幾何問題的基本活動經(jīng)驗[3].

最后，要給予學生充分探究性質(zhì)的機會，鼓勵不同的探究結(jié)果.在此題中，學生提供了很多與標準答案不同的其它正確答案，反映性質(zhì)的探索過程是一個多樣化的學習過程.比如，在①空中，有四邊形ABB′A是平行四邊形；∠BAA′+∠AA′B′=180°.在②空中，有直線l平分AB和A′B′所在的直線形成的夾角；AB′和A′B所在的直線相交，交點在l上，l平分它們的夾角；線段AB′和A′B的垂直平分線的交點在直線l上；l上任意一點到AB和A′B′的距離相等.在③空中，有l(wèi)上任意一點與點A和A′的距離相等.在④空中，有等腰△AA′O∽等腰△BB′O，對應邊成比例，對應角相等.

4.2要加強合情推理與演繹推理的融合

推理是數(shù)學的基本思維方式.推理一般包括合情推理和演繹推理.在問題解決的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論[1].

在合情推理中，經(jīng)驗和直覺可以幫助我們猜想結(jié)論，但有時候會導致錯誤.比如在④空中，有同學類比對應線段的結(jié)論，猜想線段AA′和BB′所在直線相交所成的角與旋轉(zhuǎn)角相等或互補，類比猜想是否正確？可以進一步作如下的演繹推理：如圖1，設AA′和BB′所在直線相交于點P，由圖1∠AOA′=∠BOB′，可得∠AOB=∠A′OB′；也可得等腰△AA′O∽等腰△BB′O，由相似可得∠AA′O=∠BB′O.所以，在四邊形BOA′P中，∠BPA′=360°-∠B′BO-∠AA′O-∠A′OB=360°-∠B′BO-∠BB′O-（∠B′OB+∠A′OB′）=360°-（∠B′BO+∠BB′O+∠B′OB）-∠A′OB′=180°-∠A′OB′=180°-∠AOB.所以，∠BPA′=180°-∠AOB，∠B′PA′=∠AOB.由推理可以得到：線段AA′和BB′所在直線相交所成的角與∠AOB相等或者互補.從而發(fā)現(xiàn)先前的類比猜想的結(jié)論是錯誤的.因此，需要將合情推理和演繹推理結(jié)合起來，通過演繹推理證明合情推理得到的結(jié)論.

圖形變換性質(zhì)的學習應該是在操作活動和幾何直觀基礎上進行推理，從定性到定量，從合情推理到演繹推理的過程.以蘇科版教材為例，幾何變換的學習，都是先進行圖形直觀的合情推理，然后再演繹推理.比如，在七年級下冊學習完平移的性質(zhì)以后，在八年級下冊“四邊形”一章，結(jié)合平行四邊形的判定和性質(zhì)對平移過程中“對應點的連線平行且相等”的性質(zhì)作出了證明.從合情推理到演繹推理的學習過程，能加深學生對平移的認識，發(fā)展學生的推理能力.教學中，我們需要領會和貫徹教材的編寫意圖.

4.3要重視幾何語言的學習

幾何語言是學習幾何的基礎.正確理解和表達幾何語言對掌握概念、識別圖形、推理論證都有重要的作用.在本題中，學生需要根據(jù)題干中的圖形語言，使用文字語言或符號語言表達圖形的性質(zhì)，需要用角度、距離、長度等幾何量來定量描述圖形位置和數(shù)量關系.學生不能讀懂題意，不能規(guī)范的表達結(jié)論都與其幾何語言薄弱有關.

比如在描述點和點之間的距離、點到直線的距離及兩直線間的距離時，學生區(qū)分不清“三種距離”.在教學時，需要引導學生認識這“三種距離”的區(qū)別和聯(lián)系.首先，明確三者的概念.兩點之間的距離是指“兩點之間線段的長度”；點到直線的距離是指“直線外一點到這條直線的垂線段的長度”；平行線間的距離是指“由兩條平行線中的一條上的任意一點向另一條作垂線，這一點到垂足之間的垂線段的長度”.距離是一個數(shù)量（線段或垂線段的長度）而不是圖形（線段或垂線段本身）.無論點到直線的距離，還是平行線間的距離，其實質(zhì)都是點到點的距離，即已知點到垂足這兩點之間的距離.其次，需要使用三種語言認識和理解概念.可以將“三種距離”的圖形語言、符號語言、文字語言結(jié)合在一起比較辨析，體會三種語言的關系，增強學生在這三種語言之間的轉(zhuǎn)換能力.最后，學生在運用“三種距離”時，要關注和規(guī)范其表達.類似的，學習其它的幾何概念和定理時，也要強化概念和定理的理解和辨析，加強文字語言與結(jié)合圖形的符號語言之間的互譯訓練.

我們也可以看出，學生不規(guī)范的幾何語言中也存在合理性的成分，是介于不會和正確之間的層次，這是規(guī)范學生幾何語言的認知起點.表明我們在平時的教學中需要關注學生語言層次的發(fā)展，分層次遞進訓練.首先是結(jié)合日常化的語言描述幾何對象的特征；然后將文字的語言轉(zhuǎn)換成符號的語言，把概念和性質(zhì)圖形化，符號化；最后將符號的語言運用到幾何推理中[4].

參考文獻

[1]全日制義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]曹培英.“圖形與變換”的備課與教學[J].人民教育，2006（13-14）：59-66.

[3]章建躍.讓學生在幾何學習中學會認識和解決問題的方法——從一堂“圖形旋轉(zhuǎn)課”談起[J].中學數(shù)學教學參考，2013（1-2）：3-6.

[4]陳增寶.初中幾何語言及其教學[J].數(shù)理化解題研究，2009（6）：5-7.

作者簡介金敏（1983—），男，安徽桐城人，中學一級教師，主要從事初中數(shù)學教學的研究.被評為“棲霞區(qū)優(yōu)秀青年教師”，“棲霞區(qū)學科帶頭人”.曾獲南京市優(yōu)質(zhì)課評比一等獎.多篇論文發(fā)表.劉春書，男，南京市優(yōu)秀青年教師，南京市雨花臺區(qū)教師發(fā)展中心教研室教研員.多篇論文發(fā)表.