膨脹性土壤降雨入滲產(chǎn)流模型

甘永德，賈仰文，劉 歡，牛存穩(wěn)，仇亞琴

（中國水利水電科學(xué)研究院 流域水循環(huán)模擬與調(diào)控國家重點實驗室，北京 100038）

1 研究背景

降雨入滲是指降雨通過地表向下運動，補給土壤水、地下水的過程，是水文過程的重要環(huán)節(jié)。當(dāng)前，在非膨脹性土壤入滲水分運動過程研究方面，國內(nèi)外學(xué)者已經(jīng)開展了大量室內(nèi)外試驗，并建立了相關(guān)數(shù)學(xué)模型，如 Green&Ampt［1］、Richards［2］、Philip［3］、Jia［4］、甘永德［5］、楊大文［6］和朱磊［7］等。然而，這些針對剛性土壤的研究成果并不適用于膨脹性土壤水分運動過程的研究。我國是世界上膨脹性土壤分布廣泛的國家之一。膨脹性土壤吸水膨脹，失水收縮，這種濕脹干縮特性不僅影響到土壤水分運動過程，也會給工程建設(shè)帶來一系列問題，其已成為工程地質(zhì)學(xué)、水文學(xué)和土力學(xué)等學(xué)科關(guān)注的重點。

土壤膨脹變形主要與初始含水量和上覆荷載有關(guān)，膨脹力和膨脹變形隨土壤增濕程度增加而增加［8］。在吸水膨脹過程中，土壤膨脹變形多表現(xiàn)為垂直向上［9］。Garnier等［10］基于歐拉描述（ED）和拉格朗日描述（LD）模擬分析了變形土壤的水力傳導(dǎo)率。McGarry等［11］研究了土壤含水量與土壤變形量間的關(guān)系，并提出了用于描述土壤濕脹干縮變化特征的三直線模型。土壤應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系一般采用對數(shù)函數(shù)描述［12］。Smiles［13］以達(dá)西-白金漢和連續(xù)方程為基礎(chǔ)，推求了膨脹性土壤中的物質(zhì)能量平衡方程。蘇寧虎［14］采用分?jǐn)?shù)階偏微分方程（fFPE）建立了膨脹性土壤入滲方程。土壤吸水膨脹變形主要受膨脹力和自重應(yīng)力的作用，其中膨脹力隨土壤含水量變化，自重應(yīng)力隨土壤深度變化。土壤受力變形特征隨土壤深度發(fā)生改變，引起土壤飽和含水量、飽和導(dǎo)水系數(shù)、飽和比容積等參數(shù)的變化，進而改變著土壤剖面水分入滲過程。然而，當(dāng)前針對膨脹性土壤變形對降雨入滲產(chǎn)流過程的影響研究仍處于探索階段，相關(guān)模型研究尚不成熟。

本文以Green-Ampt模型為基礎(chǔ)，提出了考慮土壤膨脹變形的降雨入滲產(chǎn)流模型，并通過開展室內(nèi)不同厚度土壤的降雨入滲產(chǎn)流試驗，對該模型作了驗證。相關(guān)研究有助于完善土壤水分運動理論，對膨脹性土壤水分管理與調(diào)控具有一定的指導(dǎo)價值。

2 膨脹性土壤降雨入滲產(chǎn)流模型

取地面為參照面，以向下為正（圖1）。膨脹性土壤吸水膨脹變形，此時土壤的變形同時受到土壤膨脹力和自重應(yīng)力的作用。土壤吸水膨脹變形后，土壤濕潤區(qū)剖面飽和導(dǎo)水系數(shù)和飽和含水量會隨土壤深度發(fā)生變化。為了便于分析，做如下假設(shè)：（1）變形前的土壤為均質(zhì)土壤；（2）土壤變形為彈性變形，即變形無滯后性；（3）土壤變形只引起土壤孔隙度發(fā)生變化；（4）入滲過程中土壤剖面存在明確的濕潤鋒面，濕潤鋒面將濕潤區(qū)和未濕潤區(qū)截然分開，濕潤區(qū)土壤達(dá)到飽和，未濕潤區(qū)土壤含水量為初始含水量。為了便于描述土壤導(dǎo)水系數(shù)隨土壤深度的變化特性，引入膨脹性土壤導(dǎo)水系數(shù)Ks(e)描述濕潤區(qū)土壤導(dǎo)水系數(shù)；引入膨脹性土壤飽和含水量θT描述濕潤鋒以上土壤飽和含水量。由此，本文基于Green-Ampt模型提出了考慮土壤膨脹性的降雨入滲產(chǎn)流模型GJGAM（Gan and Jia pro?pose a modified Green-Ampt model），與傳統(tǒng)不考慮土壤膨脹性的Green-Ampt模型TGAM（Traditional Green-Ampt model）相比，該模型量化了土壤膨脹變形引起的土壤導(dǎo)水系數(shù)和飽和含水量的變化。

圖1 土壤入滲過程示意圖

土壤吸水膨脹變形是土壤膨脹力和自重應(yīng)力共同作用的結(jié)果，假設(shè)土壤膨脹變形是由土壤孔隙度的變化引起的，則當(dāng)土壤飽和時，土壤膨脹力引起的孔隙度變化量可以表示為：

式中：ρd為土粒密度，g/cm3；e0為土壤初始孔隙度，cm3/cm3；?ew為由土壤吸水膨脹導(dǎo)致的孔隙度變化量，cm3/cm3；ρsw為由土壤吸水膨脹導(dǎo)致的容重變化量，可以采用土壤膨脹特征曲線計算（三直線模型結(jié)構(gòu)段計算［11］）：

式中：c和α3均為三直線模型參數(shù)；U為土壤質(zhì)量含水量，g/g；

同理，土壤自重應(yīng)力引起的孔隙度變化量可以表示為：

式中：?ep為由土壤自重應(yīng)力導(dǎo)致的孔隙度變化量，cm3/cm3；ρsp為由土壤自重應(yīng)力導(dǎo)致的容重變化量，可以采用土壤應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線計算［12］：

式中：γ為土壤濕比重，N/cm3；Z為土壤深度；A和B均為參數(shù)。

在土壤膨脹力和自重應(yīng)力的合力下，土壤孔隙度變化量可以表示為：

當(dāng)土壤飽和時，土壤孔隙被水分充滿，即土壤飽和含水量等于孔隙度，則土壤剖面飽和含水量總量θT可以表示為：

式中：θT為土壤深度Z以上區(qū)域的飽和含水量，cm3/cm3；Z為土壤深度，cm。

受土壤膨脹變形影響，土壤飽和導(dǎo)水系數(shù)隨深度而變化。針對土壤飽和導(dǎo)水系數(shù)，采用改進的Lambe模型［15］計算：

式中：Ks(e)為孔隙度為ez時土壤飽和導(dǎo)水系數(shù)，cm/min；ez為土壤深度為Z時土壤孔隙度；K0為孔隙度為e0時土壤飽和導(dǎo)水系數(shù)，cm/min；m為與土壤孔隙度性質(zhì)有關(guān)的參數(shù)。

由于降雨過程中，雨強是非恒定的。因此，將降雨過程劃分為x個時段，每個時段內(nèi)降雨強度恒定，x（x∈ 0,1,...,n），n為時段數(shù)。同一降雨時段（tx-1～tx）內(nèi)，降雨入滲特性由本時段的降雨強度I、時段初的積水深度h0和潛在入滲強度fpt決定。由于積水深度h0與雨強單位不同，模型計算時，將h0除以相應(yīng)時段，轉(zhuǎn)換為雨強P’。根據(jù)時段內(nèi)降雨強度、時段初積水深和潛在入滲強度，時段內(nèi)入滲過程可以分為以下情景（圖2）：

圖2 積水過程和非積水過程轉(zhuǎn)換情景示意圖

圖2（a）h0=0，其中Ks(e)為膨脹性土壤濕潤區(qū)導(dǎo)水系數(shù)；I為雨強；h0為時段初積水深度；fpt為積水入滲率。這種情況下，隨著降雨的持續(xù)進行，地表開始積水，土壤入滲過程可以分為非積水入滲過程和積水入滲過程；圖2（b）h0＞0，P’+I＜Ks(e)≤fpt。這種情況下，隨著入滲過程的進行，土壤積水全部滲入土壤，土壤開始進行非積水入滲過程。土壤入滲過程分為積水入滲過程和非積水入滲過程；圖2（c）h0＞0，P’+I≥fpt≥Ks(e)。這種情況下，土壤持續(xù)進行積水入滲過程；圖2（d）h0=0，I＜Ks(e)≤fpt.。這種情況下，土壤持續(xù)進行非積水入滲過程。

根據(jù)達(dá)西定理有：

積水前：

積水后：

忽略地表積水：

式中：fnpt為積水前入滲強度，cm/min；I為雨強，cm/min；fp為積水后土壤入滲率，cm/min；SW為濕潤鋒土壤水吸力，cm；H0為積水深度，cm；Z為濕潤鋒距離，cm。

由水量平衡原理，可以得出某一時刻t的累計入滲量F可以表示為：

式中：θT為濕潤鋒以上土壤飽和含水量，cm3/cm3；F為土壤累計入滲量，cm。

積分得：

積水時刻確定：

式中：fnpt為非積水時段入滲強度，cm/min；Fp積水發(fā)生時刻土壤累計入滲量，cm；F為土壤累計入滲量，cm；tp為土壤表層積水發(fā)生時間，min；Ip為土壤表層積水發(fā)生時的時段降雨強度，cm/min；I為x時段降雨強度，cm/min；fpt為積水時段土壤入滲率，cm/min；t為時間，min；q0為土壤初始含水量，cm3/cm3；qT為濕潤鋒以上土壤飽和含水量，cm3/cm3；SW為濕潤鋒平均吸力，cm；A為參數(shù)；K（se）為土壤飽和導(dǎo)水系數(shù)，cm/min。

3 模型驗證

3.1 材料與方法

（1）試驗材料：黃土具有膨脹性［16］，以婁土為典型膨脹土壤，土壤經(jīng)風(fēng)干，過5 mm篩備用，采用吸管法測定土壤顆粒組成（表1）。試驗用水取自中科院水利部水土保持研究所所制純凈水。

（2）試驗設(shè)計：膨脹性土壤吸水膨脹變形主要受膨脹力和自重應(yīng)力的影響，導(dǎo)致土壤入滲過程隨著土壤的深度而變化。為了定量分析土壤膨脹變形對土壤降雨入滲產(chǎn)流過程影響，試驗設(shè)置4個土壤厚度，分別為10、20、30和40 cm，每個處理兩個重復(fù)，分別標(biāo)記為：婁土10 cm、婁土20 cm、婁土30 cm和婁土40 cm。

（3）研究方法：試驗時，將經(jīng)5 mm篩的土壤分層（10 cm）均勻裝入土槽中，土槽中間位置深度0、10、25、40 cm處安裝Trime水分傳感器，用以測定土壤水分動態(tài)過程。土槽上設(shè)置兩個出水口，分別為壤中流和地表徑流出水口。土壤裝填時，首先在土槽底部鋪設(shè)具有反濾作用的石子，厚度10 cm；再在石子的上面鋪設(shè)紗布，然后將過5 mm篩后的土壤按定容重（1.4 g/cm3）裝入土槽。

試驗進行前，向土槽內(nèi)注入足夠水量（要求土壤含水量達(dá)到田間持水量以上，并產(chǎn)生大量壤中流）后靜置，待其膨脹量達(dá)到相應(yīng)土壤含水量下的最大膨脹量后進行降雨試驗。

試驗過程中，用降雨系統(tǒng)進行人工降雨，每次降雨歷時控制在350 min左右。試驗中Trime水分測定系統(tǒng)記錄水分動態(tài)。同時，對地表徑流量、壤中流流量進行收集、量測。徑流觀測時間間隔，根據(jù)產(chǎn)流速度而定，由于壤中流退水較慢，因此加長相應(yīng)的觀測時間，假如試驗過程中不產(chǎn)生壤中流，則放棄測定。試驗設(shè)置雨強為30 mm/h，坡度為5°。

試驗主要觀測資料：徑流（地表徑流量、壤中徑流量）、土壤剖面水分動態(tài)、產(chǎn)流歷時、降雨強度等。

為了便于分析入滲過程，采用日本HITACHI公司生產(chǎn)的GR21G離心機測定土壤水分特征曲線，并用Van Genuchten模型［17］進行擬合，擬合結(jié)果見表2；采用比重瓶法測定土密度。

土壤膨脹特征曲線采用游標(biāo)卡尺法測定［16］，并用三直線模型［11］進行擬合，擬合結(jié)果見表3：

式中：ν為比容積，是土壤容重的倒數(shù)，cm3/g；U為質(zhì)量含水量，g/g；α1、α2、α3為土壤膨脹特征曲線斜率；UA、UB、US分別為拐點處質(zhì)量含水量，g/g；a、b、c為參數(shù)。

采用恒壓法測定土壤應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線［12］（由于降雨影響土柱深度小于1 m，自重應(yīng)力不超過25 kPa，因此恒定壓力取值范圍為0～25 kPa），并用對數(shù)函數(shù)進行擬合，擬合結(jié)果見表4：

式中：ρs為土壤容重，g/cm3；p為應(yīng)力，N/cm2；γ為土壤濕比重，N/cm3；Z為土壤深度；A和B為參數(shù)。

采用恒體積法測定土壤容重與對應(yīng)的飽和導(dǎo)水系數(shù)（容重分別為1.1、1.2、1.3、1.4和1.5g/cm3），并用Lambe模型［15］進行擬合，擬合結(jié)果見表5：

式中：Kse為孔隙度為e時的土壤飽和導(dǎo)水系數(shù)，cm/min；e為孔隙度，cm3/cm3；K0為孔隙度為e0時的土壤飽和導(dǎo)水系數(shù)，cm/min；m為參數(shù)。

3.2 模型參數(shù)GJGAM的主要參數(shù)包括土壤飽和含水量、初始含水量、飽和導(dǎo)水系數(shù)和濕潤鋒土壤水吸力（見表6）。受土壤膨脹力和自重應(yīng)力的影響，土壤吸水膨脹后，土壤水分特征參數(shù)隨著土壤的深度而變化，直接測定不同土壤深度下水分特征參數(shù)費時費力，也很難確定。本文基于筆者提出的參數(shù)計算模型，獲得了不同土壤深度下的飽和導(dǎo)水系數(shù)和飽和含水量，計算所需參數(shù)包括土壤膨脹特征曲線、土壤應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線、土密度、土壤初始容重及其對應(yīng)飽和含水量、初始容重對應(yīng)的飽和導(dǎo)水系數(shù)、與孔隙度有關(guān)的參數(shù)m等；土壤初始含水量采用實測值，分不同土壤深度給出；濕潤鋒吸力采用進氣值一半代替，當(dāng)土壤飽和時，濕潤鋒吸力為0。

TGAM模型認(rèn)為土壤剛性，土壤在干濕交替變化過程中土壤結(jié)構(gòu)保持不變。均質(zhì)土壤條件下，土壤飽和含水量、飽和導(dǎo)水系數(shù)均不隨土壤深度發(fā)生變化。當(dāng)TGAM應(yīng)用于膨脹性土壤時，很難確定土壤飽和水分特征參數(shù)。為了獲得土壤飽和水分特征參數(shù)，本文將初始裝填容重所對應(yīng)的土壤飽和導(dǎo)水系數(shù)和飽和含水量應(yīng)用于模型；土壤初始含水量采用實測值，按不同土壤深度實測值給出；濕潤鋒吸力采用進氣值一半代替（表7）。

表1 土壤基本物理性質(zhì)

表2 van Genuchten模型擬合參數(shù)

表3 三直線模型擬合參數(shù)

表4 土壤應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線

表5 Lambe模型擬合參數(shù)

4 結(jié)果與討論

4.1 徑流強度實測和模擬的徑流強度隨時間的變化關(guān)系如圖3所示?？梢钥闯?，對于所有土壤深度處理，穩(wěn)定降雨條件下，徑流強度隨著時間而增大，然后趨于穩(wěn)定。就產(chǎn)流時間而言，GJGAM和TGAM計算得到的徑流產(chǎn)流時間均先于觀測值。就徑流強度而言，當(dāng)土壤深度處理為10 cm時，TGAM較大估計了徑流強度，而當(dāng)土壤深度處理大于10 cm時，TGAM較小估計了徑流強度；GJGAM對徑流強度的模擬值更接近于實測值，兩者較吻合。

表6 GJGAM模型輸入?yún)?shù)

表7 TGAM模型輸入值

徑流強度實測值與模擬值間的相對誤差、均方根誤差和Nash效率系數(shù)統(tǒng)計見表8?？梢钥闯觯瑢τ谒型寥郎疃忍幚?，GJGAM得到的徑流強度模擬值與實測值間的ARE大于-17.0%；RMSE小于0.011 cm/min；Nash效率系數(shù)均大于0.51。TGAM得到的徑流強度模擬值與實測值間ARE在-53.26%～-5.08%；RSME均大于0.014；Nash效率系數(shù)在-18.26～0.20之間，這說明通過考慮土壤膨脹性對降雨入滲產(chǎn)流過程影響，GJGAM極大提高了對徑流強度的模擬精度。

出現(xiàn)這種情況的原因可能是，婁土具有膨脹性，土壤吸水膨脹變形過程是土壤膨脹力和自重應(yīng)力共同作用結(jié)果。當(dāng)土層較薄時，土壤自重應(yīng)力較小，土壤在膨脹力作用下，土壤體積增大，導(dǎo)致孔隙度增大，土壤飽和含水量、飽和導(dǎo)水系數(shù)均增大；隨著土壤厚度的增大，土壤自重應(yīng)力增大，土壤的自重應(yīng)力開始起到主導(dǎo)作用。土壤在自重應(yīng)力作用下，土壤體積減小，孔隙度減小，導(dǎo)致土壤飽和含水量和飽和導(dǎo)水系數(shù)均減小。因此，當(dāng)土層較薄時，TGAM較小估計了土壤入滲量，進而較大估計了徑流強度，反之亦然。

圖3 徑流強度隨時間變化關(guān)系

表8 徑流強度實測值與計算值間相對誤差（ARE）、Nash效率系數(shù)及均方根誤差（RMSE）統(tǒng)計

4.2 土壤累計入滲量實測和模擬的土壤累計入滲量隨時間的變化關(guān)系如圖4所示。可以看出，對于所有土壤深度處理，土壤累計入滲量隨著時間而增大。當(dāng)土壤飽和后，實測和模擬得到的土壤累計入滲量均會發(fā)生突變。出現(xiàn)這種情況的原因在于，土壤飽和后，濕潤鋒處土壤水吸力消失，土壤水在重力作用下移動。

TGAM在整個入滲過程中均較大估計了土壤累計入滲量。GJGAM在入滲初期較大估計了土壤累計入滲量，而隨著時間的變化，GJGAM模擬值開始與實測值接近，逐漸等于實測值。整體而言，GJ?GAM模擬值與實測值接近，兩者較為吻合。

土壤累計入滲量實測值與模擬值間的相對誤差、均方根誤差和Nash效率系數(shù)統(tǒng)計見表9?？梢钥闯觯瑢τ谒型寥郎疃忍幚?，GJGAM得到的土壤累計入滲量模擬值與實測值間的ARE在-7.99%～18.86%；RMSE小于0.25 cm；Nash效率系數(shù)均大于0.78。TGAM得到的土壤累計入滲量模擬值與實測值間ARE在17.95%～139.72%；RSME均大于0.35；Nash效率系數(shù)在-17.55～0.96之間。這說明，通過考慮土壤膨脹性的影響，GJGAM更適合描述膨脹性土壤的降雨入滲產(chǎn)流過程。

圖4 土壤累計入滲量隨時間變化關(guān)系

表9 土壤累計入滲量實測值與計算值間相對誤差（ARE）、Nash效率系數(shù)及均方根誤差（RMSE）統(tǒng)計

TGAM沒有考慮土壤膨脹變形對土壤入滲的影響，導(dǎo)致模型高估了土壤累計入滲量。另外，GJ?GAM在入滲初期高估了土壤累計入滲量，可能的原因在于土壤膨脹變形不僅與土壤含水量及自重應(yīng)力有關(guān)，而且與時間有關(guān)。土壤入滲過程中，土壤吸水膨脹，但膨脹變形過程很難及時完成，需要持續(xù)一段時間才能達(dá)到對應(yīng)含水量下的變形量。但GJGAM認(rèn)為，土壤變形為彈性變形，與時間無關(guān)，導(dǎo)致了模型無法準(zhǔn)確模擬變形滯后對土壤入滲過程影響。

5 結(jié)論

相較于剛性土壤，膨脹性土壤中含有蒙脫石、蛭石等膨脹性礦物。這些膨脹性礦物吸水膨脹引起土體的整體變形。土壤變形是土壤膨脹力和自重應(yīng)力共同作用的結(jié)果，當(dāng)自重應(yīng)力較小時，土壤在膨脹力作用下，土壤體積增大，導(dǎo)致土壤孔隙度增大，土壤入滲能力增大；隨著土壤深度的增大，自重應(yīng)力增大，導(dǎo)致土壤孔隙度減小（外在表現(xiàn)為濕陷性［18-19］），土壤入滲能力減小。本文引入了考慮土壤膨脹性的飽和含水量和飽和導(dǎo)水系數(shù)，量化了土壤膨脹性對入滲過程的影響，提出了考慮土壤膨脹性的降雨入滲Green-Ampt模型（GJGAM）。

由于GJGAM形式簡單，具有較強的物理機理，便于在大尺度水文模型中應(yīng)用。同時，GJGAM參數(shù)較少，物理意義明確，可以根據(jù)土壤物理性質(zhì)確定，因此GJGAM具有更強的應(yīng)用價值。GJGAM通過了不同厚度膨脹性土壤入滲產(chǎn)流試驗驗證，這說明該模型適用于膨脹性土壤非穩(wěn)定降雨條件下的入滲產(chǎn)流過程模擬。此外，GJGAM具有對積水入滲過程和非積水入滲過程互相轉(zhuǎn)換過程進行模擬的功能，因此該模型不僅適用于非穩(wěn)定降雨入滲產(chǎn)流過程，也適用于穩(wěn)定降雨入滲產(chǎn)流過程及灌溉積水入滲過程。

同時，基于膨脹性土壤室內(nèi)試驗，驗證了GJGAM和TGAM兩模型模擬的精度和可靠性。結(jié)果表明，GJGAM模擬得到的土壤累計入滲量和徑流強度均與實測值較吻合，而TGAM模擬得到的土壤累計入滲量和徑流強度大于或小于實測值，原因在于TGAM認(rèn)為土壤為剛性土壤，土壤飽和含水量和飽和導(dǎo)水系數(shù)均不隨土壤深度發(fā)生變化。

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